一元二次方程及其应用单元复习核心考点归纳导学案教学设计教案+单元检测试卷含答案复习指南

【扫描教材·知识梳理】

知识模块1 一元二次方程的概念 一二方的念 元次程概定义 形如ax2＋bx＋c＝0 (其中a、b、c为常数，a≠0)，含有 个未知数，未知数的最高项次数是 次，这样的 方程，叫做一元二次方程 一般形式 ax2＋bx＋c＝0 (其中a、b、c为常数，a≠0) 一元二次使一元二次方程左右两边 的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫一元方程的解 二次方程的 ．

知识模块2 一元二次方程的解法 一元二次方程的解法 直接开平方法 配方法 公式法 形式为x2＝p或（mx＋n）2＝p（p≥0）的形式，得到x＝ 或 ＝±P . 解题步骤：①二次项系数化成1；② ；③ ；④求解 解题步骤：①先将方程化为 ，②准确确定a、b、c的值，并求出 的值；③当b2－4ac≥0时，可以运用求根公式求出方程的根；如果b2－4ac＜0，则该方程无实根.④套求根公式：x＝ 步骤是:①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解成 ；③令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程，达到 的目的；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 因式分解法 知识模块3 b4ac与一元二次方程的根的关系 一元二次方程根的判别式 根的判别式的模型 根的判别式与跟的关系 2△=b4ac 2b24ac>0ax2bxc0(a0)方程 实数根 b24ac＝0ax2bxc0(a0)方程 实数根 b24ac<0ax2bxc0(a0)方程 实数根

知识模块4 根与系数的关系（选学） 若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根 x1＋x2＝ x1x2＝

知识模块5 一元二次方程的实际应用

主要应用模型 增长率 等量关系 1. 增长率=增量/基础量 ; 下降率=下降量/基础量 2. a1xb（正增长）a1xb（负增长） 22销售利润 1. 2. 3. 毛利润=售价-进价 纯利润=售价-进价-其它费用 利润率=利率/进价 面积问题 图1 图2 图3 S空白=（a-2x）（b-2x） S空白=（a-x）（b-x） S阴=（a-b）b/2(栏杆总长为a） 握手、互赠物品 温馨提示 握手总次数为n(n1)（n2）；互赠物品份数为n（n-1） 2列一元二次方程解应用题的一般步骤可归纳为审、 、列、 、 、答

【梳理重难点•提炼方法】

重难点1：一元二次方程的解法

例1 ．(1)（2018·兰州）解方程：3x2x20． (2)．（2018·齐齐哈尔）解方程：2(x－3)＝3x(x－3) 1．x1＝

21717，x2＝ ． 3322．x1＝，x2＝3

3重难点2：一元二次方程根的判别式 例2 1．（2018·成都）若关于x的一元二次方程x2－(2a+1)x+a2=0有两个不相等的实数根，求a的取值范围. 2．（2018·北京）关于x的一元二次方程ax2bx10．

（1）当ba2时，利用根的判别式判断方程根的情况；

（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，并求此时方程的根． b的值，例2 1． a>－

1 42．（1）解：由题意：a0．

∵b24aa24aa240， ∴原方程有两个不相等的实数根．

（2）答案不唯一，满足b24a0（a0）即可，例如：

解：令a1，b2，则原方程为x22x10， 解得：x1x21．

重难点3：一元二次方程的应用【链接徐州2016T8】

例3 (2018·沈阳)某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进生产技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．

例3（1）设该公司每个月生产成本的下降率为x，根据题意得出400(1－x)2＝361．解得x1

2＝139＝5%，x2＝＝1.95＞1(不合题意，需舍去)，因此只取x＝5%． 2020答：每个月生产成本的下降率为5%． （2）361×(1－5%)＝342.95(万元)

答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．

【考点训练•查漏补缺】

考点1 一元二次方程的解

1．(2018·郴州市，13，3分)已知关于x的一元二次方程x2+kx-6=0有一个根为-3，则方程

的另一个根为 ． 1．2

2．（2018·曲靖，12，3分）关于x的方程ax4x20(a0)有实数根，那么负整数a＝___________（一个即可） 2．－2或－1

考点2 解一元二次方程 3．（2018·淮安）（2018·柳州）一元二次方程x2－9＝0的解是________． 3．x1＝3、x2＝－3(或±3) 4．（2015·徐州）（1）解方程：x2﹣2x﹣3=0； 4．解得：x1=﹣1，x2=3；

5.（2014徐州）解方程：x2+4x－1＝0. 5．x1＝－2＋5，x2＝－2－5.

考点3 一元二次方程根的判别式 6．（2018·菏泽，5，3分）关于x的一元二次方程(k＋1)x2－2x＋1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）

A．k≥0 B．k≤0 C．k＜0且k≠－1 D．k≤0且k≠－1 6．D， 7．（2015·徐州）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个相等的实数根，则k值为 ． 7．﹣3．

28. (2018·宁夏) 关于x的方程 2x3xc0 有两个不相等的实数根，则c的取值范围是 ． 9答案：c＜．

82考点4 一元二次方程根与系数关系 9．（2018·荆州）关于x的一元二次方程x2－2kx＋k2－k＝0的两个实数根分别是x1，x2，且

x12＋x22＝4，则x12－x1x2＋x22的值是 . 9．4

10．（2018·眉山）若α，β是一元二次方程3x2＋2x－9＝0的两根，则

4 274 2758 27＋的值是（ ） 

D．

58 27A．10．C

B．－ C．－

考点5 一元二次方程的应用

11．（2018•黑龙江）某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（ ） A．4 11．C

12．（2018·眉山）我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地

产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ）

A．8% B．9% C．10% D．11% 12．答案：C

13．（2016江苏省徐州市，8，3分）下图是由三个边长分别为6、9和x的正方形所组成的

图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（ ） A． 1或9 B． 3或5 C． 4或6 D． 3或6

B．5

C．6

D．7

BxA13．D

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单元检测：第七课 一元二次方程及其应用 （时间：45分钟 总分100分 得分：______）

一、选择题（每题4分，共32分）

1．（2018•铜仁市）关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（ ） A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 1．C

2．（2018•台湾）若一元二次方程式x2﹣8x﹣3×11=0的两根为a、b，且a＞b，则a﹣2b之值为（ ） A．﹣25 B．﹣19 C．5 2．D

3．（2018•安顺）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ） A．12 3．A

4．（2018•广西）某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ） A．80（1+x）2=100 4．A

B．100（1﹣x）2=80 C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=100

B．9

C．13

D．12或9 D．17

D．x1=﹣1，x2=﹣3

1)＋ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值5.(2018·安徽)若关于x的一元二次方程x(x＋为（ ）

A．－1 B．1 C．－2或2 D．－3或1 5．A

6. （2018河南）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ） A．x2＋6x＋9＝0 B．x2＝x C．x2＋3＝2x D．(x－1)2＋1＝0 6．B

7．(2018·宁夏) 若23是方程x2－4x＋c＝0的一个根，则c的值是（ ） A．1 B． 33

C．13

D． 23

7．A

8 ．2017-2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行现场比赛），

比赛总场数为380场.若设参赛队伍有x支，则可列方程为（ ） 11

A.x(x-1)=380 B.x(x-1)=380 C.x(x+1)=380 D. x(x+1)=380 228．B

二、填空题（每题4分，共28分）

9. （2018·扬州）若m是方程2x3x10的一个根，6m9m2015的值

为 ． 9．2018 10．（2018·苏州，13，3分）若关于x的一元二次方程x2＋mx＋2n＝0有一个根是2，则m＋n ＝ ． 10．﹣2

11．（2018•泰州）已知3x﹣y=3a2﹣6a+9，x+y=a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为 ． 11．3

12．（2018•荆门）已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为 ． 12．﹣3

22113.（2018·南通）若关于x的一元二次方程x2－2mx－4m＋1＝0有两个相等的实数根，则

2(m－2)2－2m(m－1)的值为____________． 13．

7 214．（2018·毕节）已知关于x的一元二次方程x2xm10有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是___________.

514．m＜

4

15．(2018·南京)设x1，x2是一元二次方程x2－mx－6＝0的两个根，且x1＋x2＝1，则x1

＝ ，x2＝ ． 15．－2，3，

三、解答题（每题10分，共40分）

16． （1）（2018•徐州）解方程：2x2x10；（2）（2018·兰州）解方程：3x2x20． 16．（1）解：把方程左边因式分解得：（2x＋1）(x－1)＝0， ∴x1＝，x2＝1．

（2）解：移项，得3x2－2x＝2, 配方，得3（x－

122127）＝, 33解得x1＝

1717，x2＝ ． 33217．（2018·玉林）已知关于x的一元二次方程：x2xk20有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）给k取一个负整数值，解这个方程．

17．（1）∵方程x2xk20有两个不相等的实数根， ∴⊿＝b4ac44(k2)124k＞0， 解得，k＞－3；

（2）在k＞－3范围内取k＝－2，原方程变为x2x0， 即，x(x2)0， ∴x10,x22.

18．（2018·盐城）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩

大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若降价3元，则平均每天销售数量为 件；

（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 18．（1）26 20＋3×2＝26；

（2）设：每件商品降价x元，则每件盈利（40－x）元，平均每天销售数量为（20＋2x）件，

由题意得：（40－x）（20＋2x）＝1200 解得：x1＝10，x2＝20，

当x＝10时，40－x＝40－10＝30＞25，

当x＝20时，40－x＝40－20＝20＜25，不符合题意，舍去， 答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元

19．已知关于x的一元二次方程x2－5x+ 2m＝ 0有实数根，(1)求m的取值范围；

2225时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径. 2252519．（1）∵方程有实数根，∴△＝（－5）2－4×2m≥0∴m≤∴当m≤时，原方程有实

88 (2)当m＝数根.

（2）当m＝5，x1·x2＝5

∴该矩形对角线长为：

5时，原方程可化为x2－5x+5＝0设方程的两个根分别为x1，x2,则x1+x2＝2x1x2＝2510＝15∴该矩形外接圆的直径是15．

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