2013年中考数学压轴题真题分类汇编：二次函数

2013年中考数学压轴题真题分类汇编：二次函数

四、二次函数

1．（北京）已知二次函数y＝(t＋1)x＋2(t＋2)x＋

2

3

在x＝0和x＝2时的函数值相等． 2

（1）求二次函数的解析式；

（2）若一次函数y＝kx＋6的图象与二次函数的图象都经过点A（－3，m），求m和k的值； （3）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y＝kx＋6向上平移n个单位．请结合图象回答：平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围．

y

1

x O 1

2．（北京模拟）已知抛物线y＝－x＋(m－2)x＋3(m＋1)． （1）求证：无论m为任何实数，抛物线与x轴总有交点；

（2）设抛物线与y轴交于点C，当抛物线与x轴有两个交点A、B（点A在点B的左侧）时，如果∠CAB或∠CBA这两角中有一个角是钝角，求m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，P是抛物线的顶点，当△PAO的面积与△ABC的面积相等时，求该抛物线的解析式．

2

3．（上海模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝－

12

x＋bx＋c的图象经过点A（－1，1）和点B（2，3

2），该函数图象的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D． （1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴； y （2）求证：∠ABO＝∠CBO；

B （3）如果点P在直线AB上，且△POB与△BCD相似，求点P的坐标． A 1

-1 O 1 x

-1 4．（安徽）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a(x－6)＋h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．

（1）当h＝2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；

2

（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．

y

A

2 球网 6 2

O 边界 18 x 9 5．（安徽某校自主招生）已知二次函数y＝x－2mx＋1．记当x＝c时，相应的函数值为yc，那么，是否存在实数m，使得对于满足0≤x≤1的任意实数a、b，总有ya＋yb≥1．如果存在，求出实数m的取值范围；如果不存在，请说明理由．

6．（浙江模拟）已知二次函数y＝x＋ax＋a－2．

2

（1）证明：不论a取何值，抛物线y＝x＋ax＋a－2的顶点P总在x轴的下方；

2

（2）设抛物线y＝x＋ax＋a－2与y轴交于点C，如果过点C且平行于x轴的直线与该抛物线有两个不同的交点，并设另一个交点为点D，问：△QCD能否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数解析式；若不能，请说明理由；

2

（3）在第（2）的条件下，设抛物线与x轴的交点之一为点A，则能使△ACD的面积等于

1

的抛物线有几条？请证4

明你的结论．

7．（江苏镇江）对于二次函数y＝x－3x＋2和一次函数y＝－2x＋4，把y＝t(x－3x＋2)＋(1－t)(－2x＋4)称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E． 现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（－1，n），请完成下列任务： 【尝试】

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（1）当t＝2时，抛物线y＝t(x－3x＋2)＋(1－t)(－2x＋4)的顶点坐标为____________； （2）判断点A是否在抛物线E上； （3）求n的值；

【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，坐标为____________．

2

【应用1】二次函数y＝－3x＋5x＋2是二次函数y＝x－3x＋2和一次函数y＝－2x＋4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由；

【应用2】以AB为边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，若抛物线E经过A、B、C、D其中的三点，求出所有符合条件的t的值．

y

1

x O 1 A 8．（江苏模拟）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于

22

坐标原点，把发射后的炮弹看成点，其飞行的高度y（千米）与飞行的水平距离x（千米）满足关系式y＝kx－

2

2

1

(1＋k20

)x（k＞0），其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

y(千米)

O x(千米)

9．（江苏模拟）已知一次函数y＝kx＋b与二次函数y＝2ax＋2mx＋c（m为整数）的图象交于A（2－22，3－22）、

2

B（2＋22，3＋22）两点，二次函数y＝2ax＋2mx＋c和y＝ax＋mx＋c－1的最小值的差为l．

22

（1）若一次函数y＝kx＋b与二次函数y＝ax＋mx＋c－1的图象交于C、D两点，求|CD|值．

2

（2）问是否存在点P，从点P作一射线分别交两个二次函数的图象于M，N，使得

PM

为常数？若存在，求出点PPN

的坐标和该常数；若不存在，请说明理由． 10．（四川某校自主招生）一开口向上抛物线与x轴交于A（m－2，0）、B（m＋2，0）两点，顶点为C，AC且⊥BC． （1）若m为常数，求抛物线解析式；

（2）点Q在直线y＝kx＋1上移动，O为原点，当m＝4时，直线上只存在一个点Q使得∠OQB＝90°，求此时直线解析式．

11．（湖南娄底）已知二次函数y＝x－(m－2)x－2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1＜x2，与y

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轴交于点C，且满足

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＋＝． x1x22

（1）求这个二次函数的解析式；

y

（2）探究：在直线y＝x＋3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．

x O

12．（湖北荆州、荆门）已知：y关于x的函数y＝(k－1)x－2kx＋k＋2的图象与x轴有交点． （1）求k的取值范围；

2

（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k－1)x1＋2kx2＋k＋2＝4x1x2．

①求k的值；②当k≤x≤k＋2时，请结合函数图象确定y的最大值与最大值． 13．（湖北随州）在－次数学活动课上，老师出了－道题：

2

（1）解方程x－2x－3＝0．

巡视后，老师发现同学们解此题的方法有公式法、配方法和十字相乘法（分解因式法）． 接着，老师请大家用自己熟悉的方法解第二道题：

2

（2）解关于x的方程mx＋(m－3)x－3＝0（m为常数，且m≠0）．

老师继续巡视，及时观察、点拨大家．再接着，老师将第二道题变式为第三道题：

2

（3）已知关于x的函数y＝mx＋(m－3)x－3（m为常数）．

2

y轴上的两个定点y轴上的定点为C）①求证：不论m为何值，此函数的图象恒过x轴、（设x轴上的定点为A，；

②若m≠0时，设此函数的图象与x轴的另一个交点为B，当△ABC为锐角三角形时，求m的取值范围；当△ABC为钝角三角形时，观察图象，直接写出m的取值范围．

y 请你也用自己熟悉的方法解上述三道题.． 6

3

－3 0 3 6 x

2

－3 －614．（广东肇庆）已知二次函数y＝mx＋nx＋p图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，tan∠CAO－tan∠CBO＝1． （1）求证：n＋4m＝0； （2）求m、n的值；

（3）当p＞0且二次函数图象与直线y＝x＋3仅有一个交点时，求二次函数的最大值． 15．（福建模拟）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝2x和函数y2＝－x＋6，不论x取何值，y0都取y1与y2二者之中的较小值．

（1）求y0关于x的函数关系式；

（2）现有二次函数y＝x－8x＋c，若函数y0和y都随着x的增大而减小，求自变量x的取值范围； （3）在（2）的结论下，若函数y0和y的图象有且只有一个公共点，求c的取值范围．

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