二次根式

一、课前准备

1. 数学是研究 和 的科学

2. 数学核心素养包含抽象数学、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析

3. 初中生应具备的数学素养：数感、几何直观、空间观念、数据分析观念、模型思想、运算能力、推理能力、符号意识、应用意识和创新意识

4. 初中数学四个学习领域：数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合运用 5. 数与代数：

正整数整数零负整数有理数实数有限小数分数无限循环小数数无理数：无限不循环小单项式：数或字母的积整式和多项式：几个单项式的有理式代数式A分式：中，A、B都是整式，且B中含有字母B表达式的开方运算，且表达式中含有字母无理式：代数式中含有 一元一次方程方程二元一次方程一元二次方程等式一次（正比）函数函数 关系式反比例函数二次函数一元一次不等式不等式一元二次不等式分式不等式6. 运算：相反数、倒数、绝对值、加和减、乘和除、乘方和开方，这三组分别互为逆运算 例1：（1）a的相反数记作 。

（2）3的相反数记作 ，化简得 。 （3）a是负数这个说法对吗？

例2：（1）一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，用“| |”表示

- 1 -

（2）3的绝对值记作 ，化简得 。 （3）2的绝对值记作 ，化简得 。 （4）a的绝对值记作 ，化简得

 故：a 拓展：ab,,,,,,,,,,

,,

,,

例3：（1）|323||32||31| （2）若|mn|nm，|m|3，|n|2，则m 。 7. 乘方：求n个相同因数乘积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂 例：幂(a1)m2n中，底数是 ，指数是 。

，(xy)2

完全平方公式：(xy)2平方差公式：(xy)(xy)8. 平方与开平方

平方：aa记作a，读作a的二次方（或a的平方） 平方根：如果xa，那么x叫做a的平方根。（其中a0）

2例：39，故 是 的一个平方根， (3)9，故 是 的一个平方根，故9的

222平方根是 。

故：正数a的平方根有两个，且互为相反数

算术平方根： 正数a的正的平方根，记作a；0的平方根也叫做0的算术平方根，记作0 平方根：非负数a的平方根记作a

例：25的算术平方根记作 ，化简得 。

25的平方根记作 ，化简得 。25的算术平方根记作 ，化简得 。

2n例：若(m3)n20，则m 。

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第一节 二次根式

我们已经学过：a表示非负数a的算术平方根，也就是说，a是一个非负数，它的平方等于a。 由算术平方根的定义知：（1）a0(a0) （2）1、概念：形如a(a0)的式子叫做二次根式，其中“2、在二次根式中，被开方数（式）必须是非负数 考点1：二次根式的概念

例1：在式子3，x21，a1，

aa

2叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数。 ”y(y0)，2x(x0)，和a21中，二次根式有 个 3例2：若a1是二次根式，则a的取值范围是 。 考点2：二次根式有意义的条件 例1：若代数式

例2：函数y

例3：已知x42xy0，则xy 。

例4：已知y 考点3：

x有意义，则x的取值范围是 。 x1x5(8x)0中，自变量x的取值范围是 。

x22x3，则(xy)2019 。

aa

22例1：计算



3228 ， ，32 ，25 42- 3 -

例2：在实数范围内分解因式

（1）x9 （2）x4x4

考点4：aa 填空：

244232 ，32 ，52 ，52 ，

概括：当a0时，a2a 当a0时，a2a 例1：计算

4 ， 9621 ，  ，

8225

2 ，9a2 ，9a4 ，

例2：x22x1x26x9(1x3) 。

例3：若1xx8x16的化简结果为2x5，则x的取值范围是 。

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练习

1、

6211 。

22、式子a2a成立的条件是（ ）

2A.a是全体实数 B.a0 C.a0 D.a0 3、在实数范围内分解因式：

（1）x25 （2）x6x9 4、若

5、若3a5是整数，写出3个正整数a的值 。

6、已知函数y(m3)xn2(m,n为常数)的图像不经过第二象限，化简：m3n4n4

7、已知(a6)2b22b30，则2b4ba 。

244211有意义，则点A(x,y)落在第 象限。

xy3xy2 - 5 -