矩阵的对角化的应用

矩阵的对角化的应用

摘要：矩阵是高等代数中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象。对角矩阵作为一种特殊的矩阵，在理论研究和矩阵性质推广中有重要意义。本文对可对角化矩阵做出了全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的求解方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂﹑利用特征值求行列式的值﹑由特征值和特征向量反求矩阵﹑判断矩阵是否相似﹑向量空间﹑线性变换等方面的应用.

关键词：对角化；特征值；特征向量；相似

一、概念

所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似

定义1：如下形式的n×n矩阵=diag(,

,,)

= 称为对角矩阵简记为

定义2：把矩阵A（或线性变换）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A（或线性变换）的初等因子。

定义3：设A是数域P上的n级矩阵，如果数域P上的多项式f(x)使得f(x)=0，则称

f(x)以A为根，在以A为根的多项式中，次数最低且首项系数为1的多项式称为A的最小多项式。

定义4：设V是P上的线性空间，是V上的一个变换，如果对任意都有

，则称为V的一个线性变换

V和P

定义5：设是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果存在P中的一个数和V中非零元素使得特征向量，由

，则称为的一个特征值，而称为的属于特征值的一个

的属于特征值

的全部特征向量再添上零元素构成的集合

构成V的一个子空间，称为的一个特征子空间。

定义6:设A,B为数域P上的两个n级矩阵，如果存在数域P上的n级可逆矩阵X使得B=

AX，则称A相似于B，记为AB，并称由A变到B得变换为相似变换，称X为

相似变换矩阵。

二．矩阵对角化条件

常用的充要条件

（1）可对角化当且仅当 有个线性无关的特征向量；

（2）可对角化当且仅当特征子空间维数之和为；

（3）可对角化当且仅当的初等因子是一次的；

（4）可对角化当且仅当的最小多项式无重根。[2-5]

三. 实对称矩阵对角化的一种简化方法

设是实对称矩阵，求正交矩阵使为：

的问题，一般方法可简述

（1）求特征值；

（2）求对应的特征向量；

（3）将特征向量正交标准化；

（4）写出及.

但是在特征值出现重跟的情况下，需用Schmidt正交方法求正交特征向量，计算较为复杂。现利用向量内积构造齐次线性方程组，求出每个特征值对应的特征向量，从而求出正交矩阵.

首先给出四条引理：

（1）设是实对称矩阵，则的特征值都是实数，且的不同特征值的特征向量相互正交；

（2）设是实对称矩阵，则一定相似于对角矩阵，且存在正交矩阵有

；

（3）设是实对称矩阵，是的重特征值，则对应于特征值，有个线性无关的特征向量；

（4）设，为的所有互不相同的特征值，若可对角化，则

的特征向量，且列向量组的极大无关组是特征向量空间

的列向量为矩阵对应于特征值的一个基。

那么，

定理 关于实对称矩阵，有特征值，特征向量，记

是由

生成的向量空间，

；

是由

对应于特征值的

生成的向量空间。

（1），

（2）设，，

令，

则满足，，…，，的，即线性方程组

的解，

其中，…，

与

是

，且是对应于特征值

的一组正交基。

的特征向量。这样，

该定理由上述四条引理可以证明。[7]

现通过实例说明其应用：

例4.2设征值。

，求，使，其中是特

解：由，得特征值，.

因为是实对称矩阵，由（2）可知一定可以对角化。的最小多项式

，由（4）及

征向量

，

，

.

，可得对应于特征值的特

又由

，令

，可得对应于特征值；由定理可得

，

的特征向量为

.

标准化，，，，可得

，，

，.

从而得正交矩阵 .

可以验证.

四.主要结论：

4.1A可对角化当且仅当A有n个线性无关的特征向量。

证明：必要性

设在基下具有对角矩阵，这就是说，因此

，

就是的n个线性无关的特征向量。反过来，如果有n个线性无关的特征向量

那么就取为基，显然在这组基下的矩阵是对角矩阵。

推论1.1.1如果在n维线性空间V中，线性变换的特征多项式在数域P中有n个不同的根，即有n个不同的特征值，那么在某组基下的矩阵是对角形的。

推论1.1.2在复数域上的线性空间中，如果线性变换的特征多项式没有重根，那么在某组基下的矩阵是对角形的。

例：已知在一组基下的矩阵为基变换的过渡矩阵T。

，试问A是否可对角化？若能，写出相应的

解：由于解方程组

。当

对应的特征向量为

所以特征值为

，求得它的基础解系是

时，解方程组

，因此对应的的

。当时，

的特征向量为，因此

，又

，求得它的基础解系是

。综上可知的特征值为7，-2对应的特征向量为

，即过渡矩阵T=且有

4.2A可对角化当且仅当A的所有重特征值对应的线性无关的特征向量的个数等于其重数。

证明：若所对应的矩阵可对角化，则有V=有互不相同的特征根，取每个

的一组基，

，这里是的所

，合起来就是V的一组基，那么在

这组基下的矩阵显然是对角形。A=

，显然

维数，必要性得证。

。于是的特征多项式为

的

的根都在F内，且每个特征根的重数恰是

反之，若设那么

是的特征多项式的全部根，它们的重数分别设为

，取每个V的一组基

，

，合起来凑成一个含有n个向量的向量组

，从而是V的一组基，故在这组基下的矩阵为对角阵。

例：判断矩阵A=阵。

是否可对角化，若可以，求可逆矩阵T使为对角

解：设,且

故A的特征值为（二重），，其中

，又中的零行数=2=的重数，

的零行数=1=的重数，故A可对角化，由是

A

属于

2

可得

的线性无关的特征向量，由

可得是A属于-4的线性无关的特征向量，令

T=，则.

4.1.A是实对称矩阵，则A可对角化。

定理4.1.1在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵，即对于任意一个对称矩阵A都可找到一个可逆矩阵C使

AC成对角阵。

例：化二次型成标准型。

解：的矩阵为，取

再取

再取

，正是对角矩阵，

因此令

。

，就有，作非退化线性替换X=CY，即得

五：求一组基，使线性变换再该基下的矩阵为对角矩阵的计算。

第一步，取n维线性空间V的一组基，求线性变换在该基下的矩阵A。

第二步，求n级可逆矩阵X，使为对角矩阵。

第三步，由阵为对角矩阵.

求出V的另一组基，则在该基下的矩

例：设是四维线性空间V的一组基，线性变换在这组基下的矩阵为

A=

1）求在基下的矩阵

2）求一可逆矩阵T，使成对角形。

解：因为=，而

故在基下的矩阵为B=

2）因为相似矩阵有相同的特征多项式，所以

，即特征值为

应特征值0的线性无关的特征向量为向量为

，对应特征值的特征向量为

，对

，对应特征值1的特征

3）由得，且

六：可对角化矩阵的应用。

1.求方阵的高次幂

例设V是数域P上的一个二维线性空间，A=

，试计算

。

是一组基，线性变换在下的矩阵

解：首先计算在V的另一组基下的矩阵为

，再利用上面得到的关系

下的矩阵，这里，且在显然

我们可以得到2.利用特征值求行

列式的值。

例：设n阶实对称矩阵=A满足，且A的秩为r，试求行列式的值。

解：设AX=X，X0，是对应特征值的特征向量，因为从而有

，因为X0，所以

，则，

，即=1或0，又因为A是实对称矩阵，

=B，其中

是

所以A相似于对角矩阵，A的秩为r，故存在可逆矩阵P，使r阶单位矩阵，从而

3由特征值与特征向量反求矩阵。

若矩阵A可对角化，即存在可逆矩阵P使，其中B为对角矩阵，则

例 设3阶实对称矩阵A的特征值为，对应的特征向量为，求矩阵A。

解：因为A是实对称矩阵，所以A可以对角化，即A由三个线性无关的特征向量，设对应于

的特征向量为

，它应与特征向量

正交，即，它们即是对

，该齐次方程组的基础解系为

应于的特征向量。取，则，于是

4判断矩阵是否相似

例 下述矩阵是否相似

解：矩阵需判断

的特征值都是 (二重)，，其中已是对角阵，所以只解齐次线性方程组

得

是否可对角化，先考查

，由于

，对于特征值是

其基础解系为的二重特征值，却只对应于一个特征向量，故

不可对角化或者说与不相似。

再考查线性方程组性方程组以

，对于特征值，解齐次线性方程组得基础解系，对于特征值解齐次

，对于

，由于

特征值解齐次线

，得基础解系，得基础解系与相似。

有三个线性无关的特征向量，所

可对角化，即

5求特殊矩阵的特征值

例 设A为n阶实对称矩阵，且，又，

求（1）A的全部特征值，（2）行列式的值

解：（1）设为A的任一特征值，为A的对应特征值的特征向量，所以有

，又因为

，所以

，所以

，由此可得

，或0，

因为A是实对称矩阵，所以A必能对角化即

的个数为A的秩数，即A的特征值为r个2及(n-r)个0

，且，故2

（2）因为由（1）可得A~B，即存在可逆矩阵C，使得，故有

,=