高三文科数学圆的方程以及直线与圆 直线的一般式方程

高三文科数学圆的方程以及直线与圆 直线的一

般式方程

高三文科数学圆的方程以及直线与圆、圆与圆的位置关系知识点复习

一、有关圆的基础知识要点归纳

1、圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆、 定点即为圆心，定长为半径、

2、圆的标准方程

① 圆的标准方程：由圆的定义及求轨迹的方法，得+=r2，其中圆心坐标为，22

半径为r ；当a =0, b =0时，即圆心在原点时圆的标准方程为x2+y2=r2；

② 圆的标准方程的特点：是能够直接由方程看出圆心与半径，即突出了它的几何意义。

3、圆的一般方程

①圆的一般方程：展开圆的标准方程，整理得，x2+y2+Dx +Ey +F =0D2+E2-4F >0；

② 圆的一般方程的特点：x2, y2项系数相等且不为0；没有xy 这样的二次项

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③ 二元二次方程Ax2+Bxy +Cy2+Dx +Ey +F =0表示圆的必要条件是A =C ≠0且B =0； 二元二次方程Ax2+Bxy +Cy2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是A =C ≠0且B =0且

D2+E2-4AF >0 4、圆方程之间的互化

x +y +Dx +Ey +F =0⇔2222配方D ⎫⎫E ⎫D2+E2-4F ⎫即圆心 x +⎫+ x +⎫=2⎫⎫2⎫4⎫22

1E ⎫⎫D D2+E2-4F⎫，半径r =22⎫⎫2 5、确定圆方程的条件

圆的标准方程、圆的一般方程都有三个参数，因此要确定圆方程需要三个的条件，而确定圆的方程我们常用待定系数法，根据题目不同的已知条件，我们可适当地选择不同的圆方程形式，使问题简单化。如已知条件中涉及圆心与半径有关等条件，一般设圆的标准方程，即列出a , b , r 的方程组，求出a , b , r 的值，也可根据圆的特点直接求出圆心，半径r 。当圆心位置不能确定时，往往选择圆的一般方程形式，由已知条件列出D , E , F 的三个方程，显然前者解的是三元二次方程组，后者解的是三元一次方程组，在运算上显然设一般式比标准式要简单。

6、点与圆的位置关系

设圆C :+=r2，点M 到圆心的距离为d ，则有： d >r ⇔点M 在圆外；22

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d =r ⇔点M 在圆上； d 7、直线与圆的位置关系

设圆C :+=r2，直线l 的方程为Ax +By +C =0，圆心，判别式为△，则有：

几何特征：由圆心到直线的距离d 与半径r 的大小来判断 ① d r ⇔直线与圆相离；

代数特征：由直线方程与圆方程联立方程组，研究其解的个数来判断位置关系

① △＞0⇔有两组不同的实数解⇔ 直线与圆相交； ② △=0⇔有两组相同的实数解⇔ 直线与圆相切； ③ △＜0⇔无实数解⇔ 直线与圆相离、 直线与圆相交的弦长问题

①直线与圆相切时，要考虑过切点与切线垂直的半径；22 ②求弦长时，要用半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形，即设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，则有⎫l ⎫22 ⎫+d =r 、 ⎫2⎫

③弦长公式：设直线交圆于A , B ，则AB =+k AB ⋅x Ay B 、 k2

圆的切线方程：

① 设切点公式法：已知圆O1:x2+y2=r2；O2:+=r2；22 D E ++F =0、22

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②设切线斜率用判别式法：用点斜式写出直线方程并与圆方程联立方程组，消x ，再用判别式∆=0解O3:x2+y2+Dx +Ey +F =0，则以M 为切点的圆O1切线方程为：x 0x +y 0y =r2；圆O2切线方程为：+=r2；圆O3切线方程为xx 0+yy 0+出切线斜率k ；若点在圆上，切线一条，点在圆内无切线，点在圆外，有两条切线；对切线斜率不存在的情况，可单独考虑。

③设切线斜率用圆心到切线距离等于圆的半径法

④若M 在圆O1外，到圆O1有两条切线，若切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的方程：x 0x +y 0y =r

2、

9、圆与圆的位置关系

设圆C1:+=r2，C2:+=R2且设两圆圆心距为d 、2222 几何特征：由圆心距与半径r 、R 的大小来判断 ① d =R +r ⇔两圆外切； ② d =Rr

代数特征：由两圆方程联立方程组，研究其解的个数来判断位置关系

① △＞0⇔有两组不同的实数解⇔ 两圆相交； ② △=0⇔有两组相同的实数解⇔ 两圆相切； ③ △＜0⇔无实数解⇔ 两圆相离、 10、两圆的公切线

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① 两圆相离时，四条公切线； ② 两圆相外切时，有三条公切线；

③ 两圆相交时，有两条公切线； ④两圆相内切时，有一条公切线；

⑤ 两圆内含时，无公切线。 11、圆系方程

① 设两相交圆C1:x2+y2+D1x +E1y +F1=0 C1:x2+y2+D2x +E2y +F2=0

则C3:x2+y2+D1x +E1y +F1+λ =0表示过两圆交点的圆 ； 当λ=-1时x +y +F1-F2=0表示两圆的公共弦所在的直线方程、

②x +y +Dx +Ey +F +λ=0表示过圆x +y +Dx +Ey +F =0与直线2222

ax +by +c =0交点的圆、 ③ +=k2为圆心的同心圆系。 22

④ 端点圆方程：一个圆的直径的端点是A , B ，则+=0为端点圆方程。

二、有关圆问题的注意事项

1、在用待定系数法求圆方程时，一定要注意分析已知条件中圆的特点及规律，并能运用数形结合的思想，即利用平面知识充分挖掘其几何特征，联立待定系数的方程组，使问题简单化。

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2、在讨论直线与圆，圆与圆的位置问题时，一般不用∆>0, ∆=0, ∆

3、要重视基本思想、方法、规律：如数形结合的思想、化归的思想、分类讨论的思想、函数与不等式的思想、待定系数法等、

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