不等式与不等关系

正余弦定理、数列、不等式

教学过程 一、不等式的主要性质： (1)对称性：abba (2)传递性：ab,bcac (3)加法法则：abacbc； ab,cdacbd (4)乘法法则：ab,c0acbc； ab,c0acbc ab0,cd0acbd (5)倒数法则：ab,ab0n11 abn(6)乘方法则：ab0ab(nN*且n1) (7)开方法则：ab0nanb(nN*且n1) 22二、一元二次不等式axbxc0和axbxc0(a0)及其解法 注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 0 0 0 二次函数 yax2bxca(xx1)(xx2)yax2bxc a(xx1)(xx2)yax2bxc yax2bxc （a0）的图象 1 / 8

一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 ax2bxc0a0的根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集三、均值不等式 x1,x2(x1x2)b x1x2 2a xx无实根 xxxx1或xx2x1xx2b 2a R  1.均值不等式：如果a,b是正数，那么abab(当且仅当ab时取\"\"号). 22、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数），即 a2b2ab2（当a = b时取等） ab1122ab四、含有绝对值的不等式 1．绝对值的几何意义：|x|是指数轴上点x到原点的距离；|x1x2|是指数轴上x1,x2两点间的距离 2、如果a0,则不等式： |x|axa或xa |x|axa或xa |x|aaxa |x|aaxa 3．当c0时， |axb|caxbc或axbc， |axb|ccaxbc； 当c0时，|axb|cxR，|axb|cx． 4、解含有绝对值不等式的主要方法： ①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解； ②去掉绝对值的主要方法有： 2 / 8

（1）公式法：|x|a (a0)axa，|x|a (a0)xa或xa． （2）定义法：零点分段法； （3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． 五、其他常见不等式形式总结： ①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 f(x)0f(x)g(x)0;g(x)f(x)g(x)0 f(x)0g(x)g(x)0②无理不等式：转化为有理不等式求解 f(x)0 定义域f(x)g(x)g(x)0f(x)g(x)f(x)0f(x)0 f(x)g(x)g(x)0或g(x)02f(x)[g(x)]f(x)0 f(x)g(x)g(x)02f(x)[g(x)]③指数不等式：转化为代数不等式 af(x)ag(x)(a1)f(x)g(x);af(x)ag(x)(0a1)f(x)g(x) af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb④对数不等式：转化为代数不等式 f(x)0logaf(x)logag(x)(a1)g(x)0;f(x)g(x)f(x)0 logaf(x)logag(x)(0a1)g(x)0f(x)g(x) 一元一次不等式 1. 3x22x8 2. 32x94x 3. 2(2x3)5(x1) 4. 193(x7)0 3 / 8

5. 7. 3x22x5 8. 一元二次不等式 2x2x1x53x2 6. 12322x42 311、不等式ax25xc0解集为xx31，则a、c的值为（ ） 2 A、a6，c1 B、a6，c1 C、a1，c6 D、a1，c6 4 / 8

2、已知集合Mxx24，Nxx22x30，则集合MN=（ ） A、xx2 B、xx3 C、x1x2 D、x2x3 3、不等式x2x20的解集为（ ） A、xx2或x1 B、x2x1 C、x2x1 D、 4、不等式4x24x10的解集为（ ）  A、 B、R C、xx11 D、xx 22 5、不等式2x2x10的解集为（ ） 11 A、 B、R C、xx1 D、xx 42 6、已知集合Mx0x2，Nxx22x30，则MN=（ ） A、x0x1 B、x0x2 C、x0x1 D、x0x2 5 / 8



7、已知集合Ax3x2x20，Bxxa0，且BA，则a的取值范围为（ ） A、a1 B、1a2 C、a2 D、a2 8、不等式2x37x24x0的解集为（ ） 111 A、xx或0x4 B、xxo或x4 C、xx4 D、 222 二元一次不等式组 例1：画出不等式x+4y<4表示的平面区域。 解：先画直线x4y4（画成虚线）.取原点（0，0），代入x+4y-4,∵0+4×0-4=-4＜0, ∴原点在x4y4表示的平面区域内，不等式x4y4表示的区域如图： 归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。当C0时，常把原点作为此特殊点。 6 / 8

变式1、画出不等式4x3y12所表示的平面区域。 变式2、画出不等式x1所表示的平面区域。 y3x12x2y例2 用平面区域表示.不等式组的解集。 分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。 变式1、画出不等式组 例题及练习 xy50xy0x3表示的平面区域。 x4y3例1.设x,y满足约束条件3x5y25,求目标函数z=6x+10y的最大值，最小值。 x1 7 / 8

xy20例2.已知xy40， 2xy50（1） 求zx2y的最大和最小值。 （2） 求zy的取值范围。 x（3） 求zx2y2的最大和最小值。

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