空间索形自锚式悬索桥初始平衡状态分析

第３８卷第５期　同济大学学报（自然科学版）　ＶｏＩ．３８　Ｎｏ．５　２０１０年５月　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＴＯＮＧＪＩ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（ＮＡＴＵＲＡＩ，ＳＣＩＥＮＣＥ）　Ｍａｙ　２０１０　文章编号：０２５３—３７４Ｘ（２０１０）０５—０６２５—０７　ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．０２５３—３７４ｘ．２０１０．０５．００１　空间索形自锚式悬索桥初始平衡状态分析　王晓明，贺耀北，石雪飞，阮　欣　（同济大学桥梁工程系，上海２０００９２）　摘要：通过缆索系统与塔梁系统的整体分析，对空间索形自　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｓｐａｔｉａｌ　ｃａｂｌｅ—ｈａｎｇｅｒ　ｓｙｓｔｅｍ；ｓｅｌ￣ａｎｃｈｏｒｅｄ；　锚式悬索桥的初始平衡状态展开研究．主要研究空间缆索系　Ｓｔｅｆｆｅｎｓ・Ｎｅｗｔｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ；ｉｎｉｔｉａｌ　ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ　ｓｔａｔｅ；ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ　统的吊索——主缆耦合特性，以及自锚式的自平衡特性．先　ｂｒｉｄｇｅ　建立空间缆索竖平面为抛物线、水平面为节段线的简化模　型，结合最小势能原理推导了解析简化公式．后采用　Ｓｔｅｆｆｅｎｓ－Ｎｅｗｔｏｎ法求解耦合的缆索真实模型，结合有限元给　空间索形自锚式悬索桥，既有空间缆索抗扭刚　出全桥平衡态的数值迭代方法，并编制了程序ｓＡｓＢ—ＩＥＳＡ．两　度大、造型新颖的优势，又有自锚式无庞大锚碇、布　种算法分别求解算例，对比了二者精度，指出其各自适用性．　置灵活的特点，逐步成为研究热点．目前该类桥已建　关键词：空间索形；自锚式；Ｓｔｅｆｆｅｎｓ—Ｎｅｗｔｏｎ法；初始平衡　的有韩国永宗大桥、美国奥克兰海湾新桥、天津富民　状态；悬索桥　桥以及在建的南京长江隧道工程右汊桥等．　中图分类号：Ｕ　４４８．２５　文献标识码：Ａ　关于空间缆索体系，国内、外已有研究主要分三　类：①假定成桥后主缆和吊索位于一个斜平面　Ｉｎｉｔｉａｌ　Ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ　Ｓｔａｔｅ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　Ｓｅｌｆ－　上［１　］，建立平面上的平衡方程，用斜平面内的抛物　ａｎｃｈｏｒｅｄ　Ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ　Ｂｒｉｄｇｅ　ｗｉｔｈ　Ｓｐａｔｉａｌ　Ｃａｂｌｅｓ　线法求解；②以主缆缆段为研究对象，建立悬索空间　三向坐标表达式＿３－４ｊ，通过缆段间力的平衡关系，构　ＷＡＮＧ　Ｘｉａｏｍｉｎｇ，ＨＥ　Ｙａｏｂｅｉ，ＳＨＩＸ￣ｆｅｉ，ＲＵＡＮＸｉｎ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｂｒｉｄｇｅ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｔｏｎ￣ｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ　建主缆整体方程；③以主缆与吊索的节点为研究对　２０００９２，Ｃｈｉｎａ）　象，建立节点的平衡方程　－６］，典型代表有节线　法Ｅ５］，即假定节点间缆段为直线．　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｃａｂｌｅ—ｈａｎｇｅｒ　ｓｙｓｔｅｍ　悬索桥自锚式体系，主缆锚固于主梁端部，其拉　ａｎｄ　ｔｏｗｅｒ—ｂｅａｍ　ｓｙｓｔｅｍ，ｔｈｅ　ｉｎｉｔｉａｌ　ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ　ｓｔａｔｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｉｓ　力会引起塔、梁的受压和变形．这会导致：①由于缆　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｓｅｌｆ—ａｎｃｈｏｒｅｄ　ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ　ｂｒｉｄｇｅ　ｗｉｔｈ　ｓｐａｔｉａｌ　索张力对微小的几何变形非常敏感＿７］，塔、梁变形需　ｃａｂｌｅｓ．Ｔｈｅ　ｍａｉｎ　ｓｔｕｄｙ　ｆｏｃｕｓｅｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｃｏｕｐｌｉｎｇ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ　ｏｆ　ｓｐａｔｉａｌ　ｃａｂｌｅ—ｈａｎｇｅｒ　ｓｙｓｔｅｍ　ａｎｄ　ｓｅｌｆ－ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ　要考虑，压力对塔、梁弯曲刚度的影响需要计入．因　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ　ｏｆ　ｓｅｌｇａｎｃｈｏｒｅｄ　ｓｙｓｔｅｍ．Ａ　ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ　ｍｏｄｅ１　ｉＳ　此，与地锚式悬索桥不同，自锚式悬索桥包括缆索、　ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ　ｉｎ　ｗｈｉｃｈ　ｓｐａｔｉａｌ　ｃａｂｌｅ—ｈａｎｇｅｒ　ｉｓ　ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ　ａｓ　塔梁的整个结构体系都必须同时一起分析．②塔、梁　ｐａｒａｂｏｌａ　ｉｎ　ｖｅｒｔｉｃａｌ　ｐｌａｎｅ　ａｎｄ　ｓｅｇｍｅｎｔａｌ　ｌｉｎｅｓ　ｉｎ　ｈｏｒｉｚｏｎｔａｌ　变形，导致缆索系统边界的改变，从而偏离设计线　ｐｌａｎｅ，ａｎｄ　ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ　ａｎａｌｙｔｉａｃｌ　ｆｏｒｍｕｌａｓ　ａｒｅ　ｄｅｄｕｃｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　形．为了保证设计线形的实现，在模型中除了缆索系　ｍｉｎｉｍｕｍ　ｐｏｔｅｎｔｉａｌ　ｅｎｅｒｇｙ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ．　Ｓｔｅｆｆｅｎｓ—Ｎｅｗｔｏｎ　统的初内力，还需引入塔梁系统的初内力．反应到工　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｉｓ　ｅｍｐｌｏｙｅｄ　ｔｏ　ｓｏｌｖｅ　ａｃｔｕａｌ　ｃａｂｌｅ—ｈａｎｇｅｒ　ｃｏｕｐｌｉｎｇ　程实践中，就是要将塔、梁的无应力尺寸做为施工控　ｍｏｄｅ１，ａｎｄ　ＦＥＡ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉＳ　ｉｎｃｏｒｐｏｒａｔｅｄ　ｔｏ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｉｔｅｒａｔｉｖｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｅｎｔｉｒｅ　ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｍｕ　ｓｔａｔｅ．Ｔｈｅ　ｐｒｏｇｒａｍ　制数据＿８］．另外，对于后续的结构效应分析，系统初　ＳＡＳＢ—ＩＥＳＡ　ｉＳ　ｗｒｉｔｔｅｎ．Ａ　ｎｕｍｅｒｉｃａ１　ｅｘａｍｐｌｅ　ｉＳ　ｓｏｌｖｅｄ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　内力对刚度的影响也必须计人．　ｔｗｏ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ，ａｎｄ　ｔｈｅｉｒ　ａｐｐｌｉｃａｂｉｌｉｔｙ　ｉｓ　与梁或刚架不同，索结构设计阶段只是确定了　ｐｏｉｎｔｅｄ　ｏｕｔ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ａ　ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔ　ａｃｃｕｒａｃｙ．　恒载下变形后的构形（初始平衡线形），与此对应的　收稿日期；２００９—０３—０４　基金项目：“十一五”国家科技支撑计划资助项目（２００６ＢＡＧＯ４Ｂ０１）　作者简介：王晓明（１９８３一），男，博士生，主要研究方向为桥梁施工控制与信息技术．Ｅ—ｍａｉｌ１．．ｗｘｍ５１２０６１２２８＠ｇｍａｉｌ．ｃｏｒｎ　石雪飞（１９６４一），男，教授，博士生导师，工学博士，主要研究方向为桥梁施工控制与信息技术．Ｅ—ｍａｉｌ．．ｓｈｉｘｆ＠ｔｏｎｇｊｉ．ｅｄｕ．ｃｎ　同济大学学报（自然科学版）　第３８卷　无变形构形未定义．这是因为索的刚度由施加荷载　１．１．２无应力尺寸　决定．为了确定形成初始平衡构形的无应力长度和　加劲梁与桥塔在主缆强大压力作用下，发生压　初拉力，需要进行初始平衡状态分析．作为其他作用　缩．为了保证成桥时达到设计线形，需要以无应力尺　下结构效应分析的依据状态，初始平衡状态分析是　寸作为施工控制数据．加劲梁的无应力尺寸为　索结构设计的关键．　本文以空间索形自锚式悬索桥为对象，针对空　Ｌ＋△Ｌ＝Ｌ＋　ＬＨ，　（３）　间缆索的主缆一　吊索耦合特性、自锚式的自平衡　特征，对其初始平衡状态展开研究．先推导解析简化　同理，桥塔的无应力尺寸可表示为　＋△　：　十　（４）　公式，后给出高精度迭代方法，从而得出缆索、塔梁　系统初始平衡状态的构形与相应初内力，以及对应　的无变形构形几何和力学参数．为后续结构效应分　析提供完备的数据．　１解析简化公式　将吊杆切开，全桥分为塔梁系统与缆索系统．以　吊杆下端竖向力Ｐ　ｉ（　＝１，２，…，　）为基本未知量，　分别以两个系统为研究对象进行分析，通过最小势　能原理求解Ｐ　．从而可以确定缆索体系的三维坐　标，及塔梁系统的初始内力．　为了建立解析公式，做如下假定：　（１）加劲梁全跨为等截面直梁，简支于桥塔之上；　（２）初始平衡状态下，边跨与主跨水平力相等，　桥塔无顺桥向弯矩，且其受压能力强大［９ｌ；　（３）恒载沿跨长均布＿１０＿；　（４）成桥状态下吊索仅沿横桥向倾斜，忽略施　工过程中吊索纵桥向倾斜误差［８］．　１．１塔梁系统分析　１．１．１系统势能　由假设（２），桥塔受压能力强大，故不将其作为　优化目标．仅以加劲梁为研究对象，忽略加劲梁剪切　变形和吊杆横桥向力的影响，其势能为　＝　¨　ｄ　㈤　其中：Ｍ为恒载作用下加劲梁任意截面的总弯矩；Ｌ　为加劲梁设计全长，Ｌ＝ｌ　＋２ｆ　，ｆ　与ｆ　分别为中、　边跨度；Ｅ，　和Ａ分别为加劲梁弹性模量、截面惯性　矩和截面积；Ｈ一为梁端所受纵桥向压力．　设Ｐ　ｉ＝１单独作用时，产生的加劲梁弯矩为　ｍ　；自重作用下加劲梁基本结构的弯矩为Ｍ　；　为　吊杆数，则考虑吊杆力后，任意截面的总弯矩为　Ｍ＝Ｍ　＋＞：Ｐ　ｍ　（２）　其中：ｈ为桥塔设计高度；Ｅ　和Ａ　为桥塔弹模与面　积；ｑ为全桥恒载集度．　１．２缆索系统分析　１．２．１竖直投影面　根据假定（２），主缆竖向坐标采用抛物线法确　定．以下推导只给出主跨公式，边跨可根据Ｈ　不变　来确定．　（５）　４知（Ｚ１一　）　—　一　（６）　其中：ｑ＝　＋∑Ｐ　／Ｌ，是恒载集度；Ｗ为主缆单　ｉ＝１　位长度质量；ｆ为主缆的矢高．　１．２．２水平投影面　根据假定（４），横桥向，主缆在各节点处受吊杆　横向分力Ｐ　的作用，两端受鞍座水平分力作用，如　图１所示．　图ｌ主缆水平投影面计算图式　Ｆｉｇ．１　Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｃｈａｒｔ　ｏｆ　ｍａｉｎ　ｃａｂｌｅ　ｐｒｏｊｅｃｔｅｄ　Ｏｎ　ｔｈｅ　ｈｏｒｉｚｏｎｔａｌ　ｐｌａｎｅ　主缆（　一１，ｉ）段的横桥向分力为　Ｈｌ　ｔａｎ　ａｉ：Ｈｌ　ｉ一　。１　同理可得（　，　＋１）段主缆横桥向分力为　Ｈｌ　ｔａｎ％１：Ｈｌ　ｉ＋１一　第５期　壬晓明，等：空间索形自锚式悬索桥初始平衡状态分析　当把斜吊索简化为斜杆　时，吊索ｉ横桥向分　垂面上，只是各缆段在水平面上的投影与桥轴线的　力为　Ｐ　：Ｐ　ｈ　—Ｙｉ　夹角不同．因此各缆段在各自铅垂面内满足式　（１０），如　式中：Ｙｎ　与　分别为吊索下端节点竖向与横向　坐标．　以节点ｉ为研究对象．在水平投影面内，节点ｉ　ａｒｃｓｉｎ　（　）一　（１０）　在主缆与吊索的横桥向分力作用下保持平衡，即　Ｈ．　二　一Ｈ　：　ｉ一　１　Ｘｉ＋１一　Ｐ　二　ｉ：１～　（７）　ｈ　一Ｙｉ　主缆梁端坐标已知，故未知量有　个，与方程数　相同，可以确定主缆各节点横向坐标Ｚ　．　１．３最小势能法求解　『　由最小势能原理，要使Ｕ最小，必要条件为　：０　（８）　ａＰ　此时令　＝ｊ’：　ｄ　＋—６４ｆ　　ＥＡ—Ｌ，并且　ｊ’：　６４ｌｆ堡ｑ　　ＥＡ，将　）与　）代入　式（１），由式（８）可得　∑Ｐ　＋△　０，　＝１～ｎ　（９　ｉ＝１　由上述ｎ个方程，可解出初始平衡状态下吊索　下端竖向力Ｐ　．进而通过式（６）和式（７）确定缆索系　统的三维坐标；通过式（２）和式（５）确定塔梁系统的　初始内力；无应力尺寸可以由式（３）和式（４）确定．　２　迭代法　悬索桥缆索实际上是一个分段悬链线，空间索　形也不例外．在荷载和吊索力共同作用下，此类桥型　两吊点间的缆段与桥轴线有一夹角，且不同缆段这　个角度也不同［３］．因此要真实模拟空间索形，必须将　平面索形的分段悬链线法推广到三维模型中来．　先推导空间索形主缆平衡方程，建立了吊索二分　力、主缆三分力耦合体系，然后给出基于Ｓｔｅｆｆｅｎｓ—　Ｎｅｗｔｏｎ法ｌ１　的迭代方法，并进行数值求解．　２．１缆索体系目标线形　２．１．１主缆平衡方程　图２给出空间索形的计算图式．对空间缆索而　言，由于节间只有自重作用，因此，缆段总在一个铅　Ｉ　ｌｈｉ：　Ｓｉ（　譬）＋吉［　一　【　￣／Ｈ　＋（　ｉ—ｑＳ　）　］　其中：Ｓ　，Ｅ和Ａ分别为缆段的无应力长度、弹性模　量和面积；Ｈｉ＝￣／Ｈ　＋Ｈ　，如确定了这２个水平分　力，即确定了缆段所在铅垂面的空间走向．缆段横桥　向端点距离差可以表示为　“（１１）　‰　、缆（　　一　＼＼槲　／ｊ＼　图２篡　空间索形主缆计算图式　Ｆｉｇ．２　Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｃｈａｒｔ　ｏｆ　ｓｐａｔｉａｌ　ｃａｂｌｅｓ　空间索形的吊索沿横桥向倾斜，只有将吊索看　成弹性悬链线才能保证计算精度．如图３所示，主缆　～　一　各缆段始端分力的递推关系为　Ｈｎ＝Ｈｈ一１：Ｈｌ０　Ｈ　ｉ＝Ｈ　㈠一Ｐ“＝Ｈ　。一∑Ｐ　１　Ｖｉ＝Ｖｉ　１一ｇＳｉ一１一Ｐ　ｉ—ｑｈ　Ｓｈ　＝　ｉ一１　ｉ　ｉ　。一ｑ∑ｓ㈡一∑Ｐ　—ｑｈ∑ｓ　０　１　１　（　＝１，２，…）　（１２）　对于每根吊索，已知量有：上下端横、竖向距离　一　，‰ｉ—　ｉ，吊索自重集度ｑｎ和下端竖向分力　Ｐ　；未知量有无应力长度Ｓ　和横向分力Ｐ　由式　（１０）可以求解（此时Ｙ　＝０）．由于吊索上端坐标Ｙ　，　由对应主缆的端点力决定，所以Ｐ　＝Ｐ　（Ｈ　㈠，　Ｈｔｉ　１，　一１），Ｓｈ　＝Ｓｈ（Ｈｌｉ　１，Ｈｔ　一１，　一１），Ｓ　ｌ＝　Ｓ（Ｈｌｉ一１，Ｈ“一１，Ｖｉ　１）．　式（１０）～（１２）构成了空间索形主缆的基本平衡　方程．三个未知量为主缆左端三分力：Ｈ．ｏ，Ｈ　ｏ，Ｖｏ；　同济大学学报（自然科学版）　第３８卷　三个收敛条件为主缆左右两端的坐标差值Ａｙ，△　，　２．１．２迭代方法：Ｓｔｅｆｆｅｎｓ—Ｎｅｗｔｏｎ法　从式（１０）～（１２）可见，空间索形缆索是吊索二分　以及设计控制点和左端的竖向差值，．由于是三元　非线性方程组，需要采用迭代法求解．寻求高效的初　力、主缆三分力耦合体系．用数值解析法求解其初始　值修正量求解算法，成为空问索形计算核心．　平衡状态，面临收敛困难，算法要求严格的问题．因此　给出基于Ｓｔｅｆｆｅｎｓ－Ｎｅｗｔｏｎ法的空间索形迭代法．　目标函数Ｆ（ｘ）见式（１３），计算目标是使得　Ｆ（Ｘ）＝Ｆ（Ｈ１０，Ｈｔ０，Ｖｏ）＝０．　ｆ　（Ｈ。。，Ｈ　。，Ｖｏ），ｅ　＝∑ｈｉ—Ａｚ　ｊ　ｌ　。＂　　ｌ图３倾斜吊索计算图式　Ｆｉｇ．３　Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｃｈａｒｔ　ｏｆ　ｏｂｌｉｑｕｅ　ｈａｎｇｅｒ　ｆ２（Ｈ１（Ｊ’Ｈ　Ｖｏ），ｅ　＝∑Ｙ　—Ａｙ（１３）　ｉ　【－厂３（Ｈ．。，Ｈ　。，Ｖｏ），ｅ，＝∑ｈ　—ｆ　求解矩阵Ｊ（ｘ，Ｒ），得　ｚｔ，（Ｘ，Ｒ）＝　Ｅ）一＿厂ｌ（　］　￣ＥＡ（ｘ＋ＲＩＥ１）～　（ｘ）］　去［　（ｘ＋Ｒ。　）一Ａ（ｘ）３　Ｉ－Ａ（ｘ＋Ｒ１Ｅ１）一　（　］　去［厂２（ｘ＋Ｒｚ　Ｅ２）一厂２（剐　去　ｘ＋ＲｓＥ３）一　（　］　击　ｘ＋Ｒ１Ｅ１）一Ａ（ｘ）３　去［，３（ｘ＋Ｒｚ　）一ｆ３（ｘ）３　击［，３（ｘ＋Ｒ。Ｅ３）一　（　（１４）　１［＿厂１（ｘ＋Ｒ根据上述算法，应用Ｍａｔｌａｂ编制缆索系统计算　模块ＥＣＦＳ，流程见图４．　ＨＪ　Ｈ留¨　ｊＪ　＝Ｊｌ　Ｈ品Ｊ　—　（ｘ　，Ｒ　）　ｊｌ　ｅ　］Ｊｌ　：。０，　１，…　ＨＬｖｏ　ｂ笙＋　ｌ』＝ｌ　Ｈｂ　］Ｊ—　ｃｘ　，Ｒ　一　『Ｈ】０＝　ｃ０ｓ（ｔａｎ＿ｌ（　ｃ））　Ｈｔｏ＝　ｑ１　２　川１（口　）　（１６）　图４缆索系统计算模块董　ＦＳ流程图　Ｆｉｇ．４　Ｆｌｏｗ　ｃｈａｒｔ　ｏｆ　ｃａｂｌｅ－ｈａｎｇｅｒ　ｓｙｓｔｅｍ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｍｏｄｕｌｅ（ＥＣＦｓ）　第５期　王晓明，等：空间索形自锚式悬索桥初始平衡状态分析　２．２全桥初始平衡状态　２．２．１　初内力　量刚度方程为　ｋＴ△　＋ｌ＝Ｒ～Ｐ　一Ｆ（　）　（１７）　并不相等．通过反复计算直至收敛，获得整体结构的　初始平衡状态．图６和图７分别示出程序ＳＡＳＢ－　用集中力代替缆索（见图５），自锚式悬索桥的增　ＩＥＳＡ的流程与界面．　其中：ｋＴ，Ｒ，Ｆ（　）和　分别为塔梁系统的切线刚　度、等效节点荷载、第ｎ步抗力和节点自由度；Ｐ　为　吊索与主缆对塔梁的作用力．通过静力凝聚，消去与　缆索系统无关的自由度，式（１７）可写为　１、△　１＝　一Ｐ　一　（　）　（１８）　这里，△　＋　表示缆索节点第　＋１步自由度增量．　由式（１０）可知，缆索节点力由节点坐标和无应　力长度ｆ。决定，则缆索第ｎ＋ｌ步节点力Ｐ　＋　为　Ｐｎ＋ｌ＝Ｐ　＋△Ｐ　＝Ｐ　＋ｋ。△　ｌ＋尼　△ｆ０　（１９）　将式（１９）代人式（１８），可得自锚式悬索桥的增　量方程，即　（　Ｔ＋ｋ　）△　，，＋１＋　。△ｆ０＝　一Ｐ　—　（　）　（２０）　由式（２０）可见，自锚式悬索桥的缆索系统与塔　梁系统通过相互作用力Ｐ　（包括吊索力Ｐ、主缆梁　端和塔顶作用力丁　和Ｔ　）彼此影响，存在耦合效　应．因此采用迭代逼近的思路．如图５所示，塔梁系　统受到的吊索力Ｐ，其竖向分力在力学上可等效为　支反力　］．　图５　自锚式悬累桥竖平面计算图式　Ｆｉｇ．５　Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｃｈａｒｔ　ｏｆ　ｓｅｌｆ－ａｎｃｈｏｒｅｄ　ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ　ｂｒｉｄｇｅ　ｏｎ　ｖｅｒｔｉｃａｌ　ｐｌａｎｅ　其中，Ｐｖ　，Ｔｖ　和ｒｆｖ　分别是Ｐ，Ｔ　和Ｔ　的竖平面分力．　编制空间梁单元分析模块ＳＢＳＡ求解图５的塔　梁等效模型，通过支反力来确定吊索下端竖向力．调　用模块ＥＣＦＳ求解空间缆索系统．将主缆和吊杆的　力按静力荷载加载到由主塔和加劲梁组成的杆系结　构上，计算加劲梁和索塔墩的初始内力，并将其作用　在整体结构上．由于耦合效应，前后两次得到的Ｐ　图６全桥初始平衡状态分析程序（ＳＡＳＢ—ＩＥＳＡ）流程图　Ｆｉｇ．６　Ｆｌｏｗ　ｃｈａｒｔ　ｏｆ　ｉｎｉｔｉａｌ　ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ　ｓｔａｔｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｐｒｏｇｒａｍ（ＳＡＳＢ—ＩＥＳＡ）　图７　ＳＡＳＢ—ＩＥＳＡ程序界面　Ｆｉｇ．７　Ｉｎｔｅｒｆａｃｅ　ｏｆ　ｐｒｏｇｒａｍ　ＳＡＳＢ—ＩＥＳＡ　２．２．２零位移　初始平衡状态下，结构只受自重作用．当没有其　他荷载时，不会再发生位移，即所谓的“零位移”状　态．如果输入的初内力是真实的成桥内力，则内力与　外力平衡，结构不会发生位移．值得强调的是：这里　的外力只针对自重．　为了验证所输入的初内力是否满足初始平衡状　态，可进行如下操作：首先，对外力引起的单元节点　力与初内力进行对比，求得不平衡力．然后，在不平　衡力作用下，进行全桥模型的非线性分析，计算位移　和内力．如果初内力是真实的，则不平衡力为零，位　移也自然为零．如果初内力不真实，则把新求的内力　作为初内力，附给构件，重新进行计算［５］．迭代几次，　位移就趋于零了．　同济大学学报（自然科学版）　第３８卷　受力．　３算例分析　７×　一座双塔三跨空间索形自锚式悬索桥（如图８　ｇ　６×　５×　×　所示），跨径布置１２５＋３００＋１２５　ｍ，中跨竖向矢跨比　为１：５，塔顶ＩＰ点与吊杆下锚点横向距离为１６　ｍ．　匣３×　主要构件的材料特性和截面特性见表１．　图８计算模型　Ｆｉｇ．８　Ｔｈｒｅｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｆｉｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｍｏｄｅｌ　表１材料特性　Ｔａｂ．１　Ｍａｔｅｒｉａｌ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　分别由本文简化公式和程序ＳＡＳＢ—ＩＥＳＡ对该　桥求解，结果见图９和图１０，图中的柱状代表简化公　式相对Ｓｔｅｆｆｅｎｓ—Ｎｅｗｔｏｎ迭代法的差值百分比．由图　９和图ｌ０可见，简化公式结果总在迭代法的一侧，说　明前者存在系统误差．如图９，求解竖向坐标时边跨　误差达８．７２％，且从塔到边墩递增；而中跨误差较　小，最大为０．３３％．这主要因为采用了恒载沿跨长均　布的假设，边跨由于边墩支撑、主缆斜率大等原因与　该假设偏离更大造成．如图１０，在横向坐标的求解　中，中跨最大误差达一２．６９％，从塔到跨中递增；边　跨最大误差为一０．２９％．这主要因为简化公式将吊　索简化为无质量斜杆，只考虑了吊索下端竖向力对　应的横桥向水平分力，而忽略了吊索自重引起的分　力，误差从塔顶向跨中累积．　综上，简化公式通过物理模型假设，解耦方便且　误差不超９％，可以在初步设计中采用．而基于真实　模型的Ｓｔｅｆｆｅｎｓ—Ｎｅｗｔｏｎ迭代法，更适用于施工设　计和监控中．　根据程序ＳＡＳＢ—ＩＥＳＡ计算的缆索无应力长度、　坐标、张力，以及塔梁初内力等参数，在结构有限元　程序分别建立两种模型：模型工仅考虑缆索系统的　张力，不考虑塔梁系统的初内力；模型Ⅱ同时计入了　塔梁系统的初内力．表２列出全桥控制点的位移与　２ｘ　畦１×　１×　图９吊点竖向坐标值　Ｆｉｇ．９　Ｎｏｄａｌ　ｖｅｒｔｉｃａｌ　ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ　ｌ＼蜷剖厦蜷　蛭难　ｌ　ｌ　１　ｌ　１　８　６　４　２　寸。　可。可。　０　图ｌ０吊点横桥向坐标值　Ｐｉｇ．１０　Ｎｏｄａｌ　ｔｒａｎｓｖｅｒｓａｌ　ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ　表２全桥初始平衡状态分析　Ｔａｂ．２　Ｒｅｓｕｌｔｓ　ｏｆ　ｉｎｉｔｉａｌ　ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ　ｓｔａｔｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｔｏｔａｌ　ｂｒｉｄｇｅ　ｓｙｓｔｅｍ　从表２可见，尽管在模型Ｉ中考虑了精确的缆　索坐标、无应力长度与张力，但全桥的变形是无法避　免的．这是由于主缆给加劲梁施加了巨大的轴力．塔　顶鞍座向跨中移动了５．０８　ｃｍ，而主缆锚点向跨中移　动了３．７６　ｃｍ．这样，缆索系统的边界条件发生了变　化，随之而来的，缆索系统的成桥线形与张力也会改　变．相对成桥索形而言，主缆主跨跨中竖向下挠达　第５期　王晓明，等：空间索形自锚式悬索桥初始平衡状态分析　６３１　７．７８　ｃｍ；主缆纵桥向水平力也有不同程度的降低，　最大降低８９５．３５５　２　ｋＮ；此外，吊杆力都在降低，而　且受力趋向不均匀．　［４］栗怀广，郑凯锋，文曙东，等．自锚悬索桥空问主缆线形精确计　算方法及其应用研究［Ｃ］∥第十七届全国桥梁学术会议．重　庆：人民交通出版社２００６．１０６０—１０６５　ＬＩ　Ｈｕａｉｇｕａｎｇ，ＺＨＥＮＧ　Ｋａｉｆｅｎｇ，ＷＥＮ　Ｓｈｕｄｏｎｇ，ｅｔ　ａ１．Ｓｐａｔｉａｌ　ａｂｌｃｅ　ａｃｃｕｒａｔｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｎｄ　ａｐｐｌｉａｔｉｃｏｎ　ｏｆ　ｓｅｌｆ—　由于模型Ⅱ中引入了真实的成桥内力，不仅有　缆索系统的张力，还有塔梁系统的内力，因此在自重　作用下，不会发生位移．此时，缆索系统线形满足设　ａｎｃｈｏｒｅｄ　ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ　ｂｒｉｄｇｅ［Ｃ］／／Ｔｈｅ　１７ｔｈ　ｓｅｓｓｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｂｒｉｄｇｅ　Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ．Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ：Ｃｈｉｎａ　Ｃｏｍｍｕｎｉａｔｉｃｏｎｓ　Ｐｒｅｓｓ．２００６．１０６０—１０６５　计所有要求，而且内力与自重达到了自平衡的真实　［５］Ｋｉｍ　Ｈｏｋｙｕｎｇ，Ｌｅｅ　Ｍｙｅｏｎｇｊａｅ，Ｃｈａｎｇ　Ｓｕｎｇｐｉｌ．Ｎｏｎ—ｌｉｎｅａｒ　状态．　４　结语　空间索形自锚式悬索桥近年来国内、外建设较　多，初始平衡状态是其设计的核心．空间索的吊索二　分力、主缆三分力耦合特性，以及自锚式的自平衡特　征是此桥型的两个主要特点．分别采用简化物理模　型与Ｓｔｅｆｆｅｎｓ—Ｎｅｗｔｏｎ迭代法对其耦合特性进行解　耦；同时分别应用最小势能原理和有限元迭代分析　其自平衡特征．基于此，推导了解析简化公式，给出　了基于Ｓｔｅｆｆｅｎｓ—Ｎｅｗｔｏｎ法的高精度迭代方法，能够　得出缆索、塔梁系统初始平衡状态的构形与相应初　内力，以及对应的无变形构形几何、力学参数，为后　续结构效应分析提供完备的数据，可分别服务于此　桥型今后的初步设计和施工设计与监控．　参考文献：　［１］张志国，靳明君，肖进月．空间曲线主缆悬索桥施工控制计算　［Ｊ］．石家庄铁道学院学报，２００３，１６（４）：５．　ＺＨＡＮＧ　Ｚｈｉｇｕｏ，ＪＩＮ　Ｍｉｎｇｊｕｎ，ＸＩＡ０　Ｊｉｎｙｕｅ．Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｆｏｒ　ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ　ｂｒｉｄｇｅ　ｗｉｔｈ　ｓｐａｃｅ　ｃｕｒｖｅ　ｍａｉｎ　ｃａｂｌｅｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｈｉｊｉａｚｈｕａｎｇ　Ｒａｉｌｗａｙ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ，　２００３，１６（４）：５．　［２］干坚定．悬索桥主缆索夹位置计算及放样ＥＪ］．桥梁建设，　１９９９，２：３３．　ＧＡＮ　Ｊｉａｎｄｉｎｇ．Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ　ａｎｄ　ｌａｙｉｎｇ　ｏｕｔ　ｔｈｅ　ｌｏｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍａｉｎ　ｃａｂｌｅ　ｃｌａｍｐ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ　ｂｒｉｄｇｅ［Ｊ］．Ｂｒｉｄｇｅ　ｏＣｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ，１９９９，２：３３．　［３］罗喜恒，肖汝诚，项海帆．空间缆索悬索桥的主缆线形分析　［Ｊ］．同济大学学报：自然科学版，２００４，３２（１０）：１３４９．　ＬＵ０　Ｘｉｈｅｎｇ，ＸＩＡ０　Ｒｕｃｈｅｎｇ，ＸＩＡＮＧ　Ｈａｉｆａｎ．Ｃａｂｌｅ　ｓｈａｐｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ　ｂｒｉｄｇｅ　ｗｉｔｈ　ｓｐａｔｉａｌ　ｃａｂｌｅｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｔｏｎｇｊｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，２００４，３２（１０）：１３４９．　ｓｈａｐｅ—ｆｉｎｄｉｎｇ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ａ　ｓｅｌｆ—ａｎｃｈｏｒｅｄ　ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ　ｂｒｉｄｇｅＥＪ］．　Ｅｎｇｉｎｅｅｒ　Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，２００２，２４：１５４７．　［６］文曙东，郑凯锋，栗怀广．空间索自锚式悬索桥线形精确计算　方法研究口］．中南公路工程，２００７，３２（４）：１２７．　ＷＥＮ　Ｓｈｕｄｏｎｇ，ＺＨＥＮＧ　Ｋａｉｆｅｎｇ，ＬＩ　Ｈｕａｉｇｕａｎｇ．Ｓｔｕｄｙ　ｏｆ　ａｎ　ａｃｃｕｒａｔｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｓｐａｔｉａｌ　ｃａｂｌｅ　ｃｕｒｖｅｓ　ｏｆ　ｓｅｌｆ－　ａｎｃｈｏｒｅｄ　ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ　ｂｒｉｄｇｅ［Ｊ］．Ｃｅｎｔｒａｌ　Ｓｏｕｔｈ　Ｈｉｇｈｗａｙ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２００７，３２（４）：１２７．　［７］　Ｋｉｍ　Ｋｉｓｅｏｋ，Ｌｅｅ　Ｈａｅｓｕｎｇ．Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｔａｒｇｅｔ　ｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎｓ　ｕｎｄｅｒ　ｄｅａｄ　ｌｏａｄｓ　ｆｏｒ　ｃａｂｌｅ—ｓｕｐｐｏｒｔｅｄ　ｂｒｉｄｇｅｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ　ａｎｄ　Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，２００１，７９：２６８１．　［８］王晓明．空问索形自锚式悬索桥初始平衡状态分析［Ｄ］．西安：　长安大学，２００７．　ＷＡＮＧ　Ｘｉａｏｍｉｎｇ．Ｉｎｉｔｉａｌ　ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ　ｓｔａｔｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｓｅｌｆ—　ａｎｃｈｏｒｅｄ　ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ　ｂｒｉｄｇｅ　ｗｉｔｈ　ｓｐａｔｉａｌ　ｃａｂｌｅ［Ｄ］．Ｘｉ’ａｎ：　Ｃｈａｎｇａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２００７．　［９］黄琼，叶梅新．自锚式悬索桥简化计算方法研究Ｉ－Ｊ］．铁道学　报，２００８，３０（１）：１２２．　ＨＵＡＮＧ　Ｑｉｏｎｇ，ＹＥ　Ｍｅｉｘｉｎ．Ｓｔｕｄｙ　ｏｎ　ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｓｅｌｆ・ａｎｃｈｏｒｅｄ　ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ　ｂｒｉｄｇｅ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｃｈｉｎａ　Ｒａｉｌｗａｙ　Ｓｏｃｉｅｔｙ，２００８，３０（１）：１２２．　［１０１项海帆．高等桥梁结构理论［Ｍ］．北京：人民交通出版社，２００２．　ＸＩＡＮＧ　ｈａｉｆａｎ．Ａｄｖａｎｃｅｄ　ｂｒｉｄｇｅ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｔｈｅｏｒｙ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：　Ｃｈｉｎａ　Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ　Ｐｒｅｓｓ，２００２．　［１１］现代应用数学手册计算与数值分析卷［Ｍ］．北京：清华大学出　版社，２００５．　Ｈａｎｄｂｏｏｋ　ｏｆ　ｍｏｄｅｒｎ　ａｐｐｌｉｅｄ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　ｎｕｍｅｒｉａｃｌ　ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｔｓｉｎｇｈｕａ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｐｒｅｓｓ，２００５．　［１２］郑权，刘停战．斯蒂芬森～牛顿类迭代法的二阶收敛性［刀．吉　林大学学报：理学版，２００３，４１（２）：１３４．　ＺＨＥＮＧ　Ｑｕａｎ，ＬＩＵ　Ｔｉｎｇｚｈａｎ．Ｔｈｅ　ｑｕａｄｒａｔｉｃ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｔｅｆｆｅｎｓｅｎ．ｎｅｗｔｏｎ．１ｉｋｅ　ｉｔｅｒａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｊｉｌｉｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ，２００３，４１（２）：１３４．　［１３］肖海波，俞亚南，高庆丰．自锚式悬索桥主缆成桥线形分析　口］．浙江大学学报：工学版，２００４，３８（１１）：１４７０．　ＸＩＡＯ　Ｈａｉｂｏ，ＹＵ　Ｙａｎａｎ，ＧＡＯ　Ｑｉｎｇｆｅｎｇ．Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｆｉｎｉｓｈｅｄ　ｍａｉｎ　ｃａｂｌｅ　ｓｈａｐｅ　ｏｆ　ｓｅｌｆ—ａｎｃｈｏｒｅｄ　ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ　ｂｒｉｄｇｅｓ［Ｊ］．　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｚｈｅｊｉａｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，２００４，３８　（１１）１１４７０．