数学在高中物理学习中的应用

河南 临颍二高 田晓博

中学物理的学习离不开数学知识的运用，其中最典型的是物理学习中经常涉及到一些求极值的问题，此类问题的综合性较强、灵活性大，使有的同学感到无从下手。本文单独对利用数学知识求解极值问题的方法进行阐述，希望对大家有一定的帮助。

一、运用二次函数的极值求解

此方法主要根据二次函数yaxbxc(a0)，当x2b时，有极值2a4acb2ym，其中当a0时，ym为最大值，当a0时，ym为最小值。

4a例1. 在电场强度为E的水平匀强电场中，以初速度v0竖直向上发射一个质量为m，电量为q的小球，求小球从运动开始需多少时间速度达到最小值，并求出最小值。

解析：设物体的运动时间为t时，竖直向上的速度为v1，水平匀加速运动的速度为v2，则有

v1v0gtv2qEt/m

22 v1v2小球的合速度为：v由以上三式得：vm2g2q2E222 t2gvtv002mm2g2q2E22m2g2q2E22t2gv0tv0，因为0，故y有最小值；且当令y22mm2m2gv0q2E2v0时，ymin22。将ymin代入原式得小球的最小速度 t222222mgqEmgqEvmin

qEv0mgqE2222

二、利用均值不等式求解

此方法主要根据均值不等式ab2ab，a0，b0；当ab时取等号，对不等式的左边有最小值，对右边有最大值。

例2. 如图1所示，为一稳压电路，电源电动势为E，内阻为r，负载电阻为R，求当R取何值时电源的输出功率为最大值，并求出最大值？

图1

解析：设电源的输出功率为P，则有

E2E PR2rRrR2rR22因为(r/R)·Rr（定值），故当r/RR时，即Rr时，r/RR有最小值

2222r，这时P为最大值Pmax，即Pmax

E2 4r三、运用三角公式asinbcosa2b2sin求解

此方法主要根据三角函数sin1时，asinbcos有最值，且tgb/a。 例3. 如图2所示，用力F拉一物体在水平地面上匀速前进，物体的质量为m，物体与地面间的动摩擦因数为μ，欲使F为最小，则F应与竖直方向成多大的夹角？最小的力为多大？

图2

解析：设F与竖直方向的夹角为θ，物体匀速前进则有

FsinmgFcos

即Fmgmg 2sincos1sin其中tg，当9090arctg时，F有最小值Fmin

Fmin

mg12

四、运用判别式法求解

此方法主要根据一元二次方程ax2bxc0的判别式b24ac来确定各物理量之间的相互关系进行求解。

例4. 如图3所示，处于平直轨道上的甲、乙两物体相距S，同时开始向右运动。甲以速

度v做匀速运动，乙做初速度为零的匀加速运动，加速度为a。试求a应该满足什么条件才能使两物体相遇？

图3

解析：设经过时间t两物体相遇，相遇时两物体位移分别为

S甲vtS乙at2/2

根据题意可知：S甲S乙S

2即vtat/2S

或写成at22vt2S0

要使两物体相遇，上方程的判别式须满足△≥0，即4v28aS0，由此可得：

v2a

2S

五、运用导数求解

此方法主要应用函数yf(x)的一阶导数y'0，y有极值进行求解。

例5. 如图4所示，M、N为两个等量同种电荷，其间的距离已知，在其连线的中垂线上有一P点，PM与MN的夹角为θ。求θ为何值时P点的场强E为最大值，并求出最大值？

图4

解析：设MN2a，M、N两电荷的电量都为q，两电荷在P产生的场强分别为E1、E2，根据点电荷的场强公式可得：

E1E2kqcos2/a2

由平行四边形定则，P的场强为

E2E1sin2kqcos2sin/a22kqsinsin3/a2

令xsin，ysinsinxx，关于y对x求导得：

33y'13x2

当y'0时，解得：x3/3

此为y有极值时x的位置。至于y此时为极大值或为极小值，在数学上应分别由y\"0或y\"0而定。本题从物理意义上可确定此时为极大值，读者亦可由上原则核查。所以

ymax3323 3393时 33当y取最大值时，E为最大值，即arcsinEmax

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