新课程背景下高中函数教学的几点思考

作者：金丙建

来源：《儿童大世界·教学研究》 2018年第1期

1 高考函数问题的新趋势

随着新课程改革在全国范围的实施，高考对函数问题的考察时常考常新，尤其是“算法”和“零点”等新型问题进入中学数学教材之后，给函数问题注入了生机与活力，拓宽了函数问题的命题空间，下面大致谈谈高考函数的几个新热点。

1.1 高等数学背景下的问题

以高等数学中的凹凸函数、不动点等为背景，通过设置新情境，考察学生的阅读、理解、和知识的迁移能力，以及灵活运用函数知识求解恒成立不等式的能力，在高等数学与高中数学的知识交汇处命题，是近几年高考命题的一种趋势。

1.2 函数结合算法的问题

这时新课标引入后出现的新的问题。由于计算机的普及，算法出现在了高中教材中，而算法的本质就是函数问题。读懂算法就如同读懂一个函数一样。如算法具有顺序，选择，循环三种结构，其中顺序结构就可以看做一般函数，选择结构可以看做分段函数，而循环结构可以看做周期函数来做。在后几年的高考将会出现算法的题目，算法与函数问题相结合的问题也值得我们关注。

1.3 函数与方程的解

随着对零点的引入，二分法的学习。对于方程的解（近似解）我们都可以转化为函数求零点的问题，这也给函数的考察引入了一个新的题型。

2 函数教学的建议

2.1 整体把握，不断加深学生对函数思想的理解

函数是学生在数学学习过程中第一次遇到的最具有一般意义的抽象概念，在这个概念下可以派生出许多不同层次的具体函数。学生对于这种多层次的抽象概念的理解是需要一定时间和经验积累的，必须要多次接触、反复体会、螺旋上升、逐步理解，才能真正的掌握和灵活运用。因此，函数教学应整体设计，分步实施。教师应整体规划整个高中阶段的函数教学，对函数教学有一个全面的整体的设计，明确在不同时段、不同内容学生对函数的理解所达到的程度，在与函数有关的内容的教学进程中，通过运用函数不断加深学生对函数思想的理解。

2.2 关注认识函数的三个层面，引导学生全面理解函数的本质

高中数学新课程中，对于函数是从三个层面来认识的。第一，函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型，即变量说。在现实生活和其他学科中，存在着大量的变量和变量之间的依赖关系。例如，买苹果时，价钱变量随着苹果的重量变量的变化而变化；在物理学中刻画物体运动时，加速度变量随着作用力变量的变化而变化，等等。这种变量之间的依赖关系具有一个突出的特征，即当一个变量取定一个值时，依赖于这个变量的另一个变量有唯一确定的值，这种依赖关系就是函数。基于这种认识，就可以用函数来表示和刻画自然规律，这是我们认识现实世界的重要视角，也是数学联系实际的基础。

第二，函数是连接两类对象的桥梁，即映射说。对函数的这种认识反映了数学中的一种基本思想，在数学的后续学习中具有基础作用。数学中的许多重要概念都是这种认识的推广和拓展。例如，代数学中的同构、同态是构架两个代数结构的桥梁，拓扑学中的同胚也是构架两个拓扑结构的桥梁，等等，都是映射的特例。

第三，函数是“图形”，即关系说。函数关系是平面上点的集合，因而可以看做平面上的一个“图形”。在很多情况下，函数是满足一定条件的曲线。

了解函数的形式定义，仅仅是理解函数的一部分。理解函数的一个重要方法，就是在头脑中“留住”一批具体函数的模型，这些模型是理解函数和解决其他函数问题的基础。在教学中，对于上述基本函数模型应有一个全面的设计，要帮助学生在头脑中留下三方面的东西。第一，背景，即要熟悉这些函数模型的实际背景，从实际背景的角度把握函数。第二，图象，即从几何直观的角度把握函数。第三，基本变化，即从代数的角度把握函数的变化情况。只有在学生头脑中“留住”这样一批具体的函数模型，才能逐步实现对函数本质的理解，并灵活运用函数思考和解决问题。

2.3 揭示函数与其他内容的内在联系

函数作为高中数学的一条主线，贯穿于整个高中数学课程中。在方程、不等式、线性规划、算法、随机变量等内容中都突出地体现了函数思想。

2.4 抓住数学本质，突出重点

高中数学在内容的处理上突出了函数、几何、运算、算法等主线，对“双基”赋予了新的内涵。以函数为主线展开内容时，函数的知识、函数的思想以及研究函数的微积分思想就成为基础，而方程、不等式等则作为研究函数的特例，解方程和不等式所需要的分解因式的技能技巧则予以淡化。在函数概念的学习中，判断、确定一个函数和描述一个函数是重要的。在中学阶段，一些基本函数解析式的定义域并不复杂，例如，指数函数、对数函数、三角函数、简单幂函数（包括线性函数、一元二次函数等）、简单的分段函数等等，它们的定义域都是十分明显的。在以往的教学中，常常把讨论函数解析式的定义域问题作为研究函数的主要问题，函数定义域问题本质上是讨论解析式有意义的范围，绝大多数都是人为制造的，没有实际意义，对于理解函数更没有多大意义。在高中数学新课程教学中，应该把主要精力放在理解函数的图象、性质和变化规律上，应淡化求函数定义域与值域的训练。