湖南卷文科数学

绝密★启封并使用完毕前 2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（文史类） 一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1．复数2等于 1iA． 1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i 2． 下列命题中的假命题是 ．．．A．xR,lgx0 B．xR,tanx1 C．xR,x30 D．xR,2x0 3． 某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是 A． y10x200 B． y10x200 C． y10x200 D． y10x200 ^^^^x1t4． 极坐标pcos和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是 y2tA．直线、直线 B． 直线、圆 C． 圆、圆 D． 圆、直线 5． 设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是 A．4 B．6 C．8 D．12 6． 若非零向量a，b满足|a||b|, (2ab)b0，则a与b的夹角为 A．300 B．600 C．1200 D．1500 7．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=2a，则 A．a＞b B．a＜b C． a＝b D．a与b的大小关系不能确定 8．函数y=ax2+ bx与y= logbx (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图象可能是 ||a 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应的题号后的横线上。 9．已知集合A={1，2，3}，B={2，m，4}，A∩B={2，3}，则m= 10．已知一种材料的最佳加入量在100g到200g之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是 g - 1 - 11．在区间[－1，2]上随即取一个数x，则x∈[0，1]的概率为 。 12．图1是求实数x的绝对值的算法程序框图，则判断框①中可填 13．图2中的三个直角三角形是一个体积为20cm2的几何体的三视图，则h= cm 14．若不同两点P，Q的坐标分别为（a，b），（3－b，3－a），则线段PQ的垂直平分线l的斜率为 ，圆(x－2)2+(y－3)2=1关于直线l对称的圆的方程为 。 15．若规定E=a1,a2,...,a10的子集ak1,ak2,...,akn称为E的第k个子集，h其中k=2k112k212k312kn1 ，则 5主视图6侧视图（1）a1,,a3是E的第______个子集； （2）E的第211个子集是_______ 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、说明过程或演算步骤。 16． （本小题满分12分） 已知函数f(x)sin2x2sin2x （I）求函数f(x)的最小正周期。 (II) 求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的集合。 17． （本小题满分12分） 俯视图为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人） （I） （II） 18．（本小题满分12分） 如图所示，在长方体ABCDA1BC11D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点 （Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M1 求x，y ; 若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率。 - 2 - 19．（本小题满分13分） 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km的A、B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图4）。考察范围到A、B两点的距离之和不超过10Km的区域。 （I） （II） 求考察区域边界曲线的方程： 如图4所示，设线段PP12 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0．2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍。问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？ 20．（本小题满分13分） 给出下面的数表序列： 其中表n（n=1，2，3 ）有n行，第1行的n个数是1，3，5，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。 （I）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n≥3）（不要求证明）； （II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12，记此数列为 bn 求和： b3bb4n2 b1b2b2b3bnbn1 21．（本小题满分13分） 已知函数f(x)ax(a1)lnx15a,其中a<0，且a≠－1． x（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性； 2x33ax26ax4a26a, x≤1（Ⅱ）设函数g(x)（e是自然数的底数）。是否存在a，使xef(x), x1g(x)在[a，－a]上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。 - 3 - 湖南卷文科参考答案 一．选择题： 题号 答案 二、填空题 9．3 10．161.8或138.2 11．1 A 2 C 3 A 4 D 5 B 6 C 7 A 8 D 1 12．x0或x0?或x0或x0? 313．4 14．－1；x2(y1)21 15．（1）5； （2）a1,a2,a5,a7,a8} 16．解（I）因为f(x)sin2x(1cos2x)=2sin(2x 所以函数f(x)的最小正周期为T（II）由（I）知，当2x4)1 2 2，即xkx42k28（kZ）时，f(x)取最大值 21。因此函数f(x)取最大值时x的集合为{xxkxx2y，所以x1,y3 1836548,kZ}. 17．解（I）由题意可得，（II）记从高校B抽取的2人为b1,b2，从高校C抽取的3人为c1， c2， c3，则从高校B，C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有(b1,b2)，(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1)， (b2,c2)，(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3)共10种 设选中的2人都来自高校C的事件为X，则X包含的基本事件有(c1,c2)，(c1,c3)，(c2,c3)共3种，因此P（X）=33，故选中的2人都来自高校C的概率为。 101018．解（I）如图，因为C1D1∥B1A1，所以MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角。 因为A1B1⊥平面BCC1B1，所以A1B1M=90° 而A1B1=1， B1M=B1C1MC1222，故tanMA1B1B1M2 A1B1即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为2 （II）由A1B1⊥平面BCC1B1，BM平面BCC1B1，得A1B1⊥BM.① 由（I）知，B1M2，又BM=BC2CM22，B1B2，所以 B1M2BM2B1B2，从而BMB1M，② 又A1B1B1M=B1，再由①，②得BM⊥平面A1B1M。而BM平面ABM，因此平面ABM⊥平面A1B1M. - 4 - 19．解（I）设边界曲线上点P的坐标为（x，y），则有PAPB10知，点P在以AB为焦点，长轴上位2a=10的椭圆上，此时短半轴长b52423 x2y21 所以考察区域边界曲线（如图）的方程为259 （II）易知过点P1，P2的直线方程为4x－3y+47=0。因此点A到直线P1P2的距离为 d164731 2254(3)解得n=5，即经过5年，点A恰好在冰川边界线上。 20． 解（I）表4为 它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列。 将这一结论推广到表n（n3），即 表n（n3）各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列。 首先，表n（n3）的第1行1，3，5，…，2n－1是等差数列，其平均数为13(2n1)n； n其次，若表n的第k（1≤k≤n－1）行a1,a2,,ank1是等差数列，则它的第k+1行a1a2,a2a3,ankank1也是等差数列。由等差数列的性质知，表n的第k行中的数的平均数与第k+1行中的数的平均数分别是a1ank1a1a2ankank1,a1ank1 22由此可知，表n（n3）各行中的数都成等差数列，且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列。 （II）表n的第1行是1，3，5，…，2n－1，其平均数是 135（2n-1）n n 由（I）知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列（从而它的第k行中的数的平均数是n2k1）于是，表n中最后一行的唯一一个数为bnn2n1 bk2(k2)2k1k2因此 k1kk2bkbk1k2(k1)2k(k1)2 2(k1)k11(k1,2,3,,n) k2k3k2k(k1)2k2(k1)2 故b3bb111 4n24b1b2b2b3bnbn1122(n1)2n2(n1)2n2- 5 - 21．解（I）f(x)的定义域为（0，）， f(x)=aa1(xa)(x1)1 22xxx（1）若－1＜a＜0，则当0＜x＜-a时，f(x)＞0；当-a＜x＜1时，f(x)＜0； 当x＞1时，f(x)＞0，故f(x)分别在（0，-a），（1，）上单调递增，在（-a，1）上单调递减。 （2）若a＜－1，仿（1）可得f(x)分别在（0.，1），（-a，）上单调递增，在（1，-a）上单调递减。 （II）存在a，使g（x）在[a，－a]上为减函数。 事实上，设h(x)(2x33ax26ax4a26a)ex(xR),则 h(x)[2x33(a2)x212ax4a2]ex 再设m(x)2x33(a2)x212ax4a2(xR)，则当g(x)在[a，－a]上单调递减时， h(x)在a,1上位减函数，且h(1)ef(1) 由（I）知，当a2时，f(x)在1,a上位减函数。 ① 又h(1)ef(1)4a13a303a21 ② 4不难知道，xa,1,h(x)0xa,1,m(x)0 因m(x)6x26(a2)12a6(x2)(xa),令m(x0),则xa,或 x2,而a2,于是 （1）a2时，若ax2，则m(x)＞0；若2x1，m(x)＜0。因而 m(x)在(a,2)上单调递增，在（－2，1）上单调递减。 2综合（1）（2）知，当a2时，m(x)在a,1上的最大值为m(2)4a12a8 所以xa,1,m(x)0m(2)04a212a80a2。③ 又对xa,1，m(x)0只有当a2时在x=－2取得，即h(x)0只有当a2时在x=－2取得。因此，当a2时，h(x)在a,1上位减函数。从而由①，②，③知，3a2 综上所述，存在a，使g(x)在a,a上为减函数，且a的取值范围为3,2 - 6 -