有关函数的最大最小值的教学教案

有关函数的最大最小值的教学教案

（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

一、引入课题

画出以下函数的图象，并根据图象解答以下问题：

○1 说出=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；

○2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能表达函数的什么特征？

（1） （2）

（3） （4）

二、新课教学

（一）函数最大（小）值定义

1．最大值

一般地，设函数=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；

（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M

那么，称M是函数=f(x)的最大值（Maxiu Value）．

思考：仿照函数最大值的定义，给出函数=f(x)的最小值（Miniu Value）的定义．（学生活动）

注意：

○1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；

○2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．

2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法

○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

○2 利用图象求函数的最大（小）值

○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值

如果函数=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减那么函数=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增那么函数=f(x)在

x=b处有最小值f(b)；

（二）典型例题

例1．（教材P36例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．

解：（略）

说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．

稳固练习：如图，把截面半径为

25c的圆形木头锯成矩形木料，

如果矩形一边长为x，面积为

试将表示成x的函数，并画出

函数的大致图象，并判断怎样锯

才能使得截面面积最大？

例2．（新题讲解）

旅 馆 定 价

一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：

房价（元）住房率（%）

16055

14065

12075

10085

欲使每天的的营业额最高，应如何定价？

解：根据数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．

设 为旅馆一天的客房总收入， 为与房价160相比降低的房价，因此当房价为 元时，住房率为 ，于是得

=150 ．

由于 ≤1，可知0≤ ≤90．

因此问题转化为：当0≤ ≤90时，求 的最大值的问题．

将 的两边同除以一个常数0.75，得 1=－ 2＋50 ＋17600．

由于二次函数 1在 =25时取得最大值，可知 也在 =25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．

所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比拟合理的）

例3．（教材P37例4）求函数 在区间[2，6]上的最大值和最小值．

解：（略）

注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式．

稳固练习：（教材P38练习4）

三、归纳小结，强化思想

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：

取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论

四、作业布置

1．书面作业：课本P45 习题1．3（A组） 第6、7、8题．

提高作业：快艇和轮船分别从A地和C地同时开出，如以下图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45 /h和15 /h，AC=150，经过多少时间后，快艇和轮船之间的间隔最短？