北师大版七年级上册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
丰富的图形世界（提高）知识讲解
【学习目标】
1．认识常见几何体的基本特征，能对这些几何体进行正确的识别和简单的分类，并能从组合图形中分离出基本几何体；
2．认识点、线、面、体的基本含义，了解点、线、面、体之间的关系； 3．能辨认和画出从不同方向观察立方体及其简单组合体得到的形状图；
4．了解直棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作立体模型． 【要点梳理】
要点一、立体图形 1． 定义：
图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体、圆柱、圆锥、球等．棱柱、棱锥也是常见的立体图形． 要点诠释：
常见的立体图形有两种分类方法：
2． 棱柱的相关概念：
在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱． 通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……（如下图）
要点诠释：（1）棱柱所有侧棱长都相等．棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平
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行四边形．
（2）长方体、正方体都是四棱柱．
（3）棱柱可分为直棱柱和斜棱柱．直棱柱的侧面是长方形，斜棱柱的侧面是平行
四边形．
3．点、线、面、体：
长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点．从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系． 此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体． 要点二、展开与折叠
有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．
要点诠释：(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形．
(2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，
也可得到不同的平面图．
要点三、截一个几何体
用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形或圆等等．
要点四、从三个方向看物体的形状
一般是从以下三个方向：(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看．从这三个方向看到的图形分别称为正视图(也称主视图)、左视图、俯视图．（如下图）
【典型例题】 类型一、立体图形
1．将图中的几何体进行分类，并说明理由．
【思路点拨】首先要确定分类标准，可以按组成几何体的面的平或曲来划分，也可以按柱、锥、球来划分． 【答案与解析】
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解：若按形状划分：(1)(2)(6)(7)是一类，组成它的各面全是平面；(3)(4)(5)是一类，组成它的面至少有一个是曲面．
若按构成划分：(1)(2)(4)(7)是一类，是柱体；(5)(6)是一类，即锥体；(3)是球体． 【总结升华】先根据立体图形的底面的个数，确定它是柱体、锥体还是球体，再根据其侧面是否为多边形来判断它是圆柱(锥)还是棱柱(锥)． 类型二、点、线、面、体
2. 18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是_______ _；
(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是________； (3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱．设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．
【思路点拨】根据四面体、长方体、正八面体，正十二面体的顶点数、面数和棱数，总结出顶点数（v）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式，再用这个关系式解答后面的问题． 【答案与解析】
解：(1)6， 6， V+F-E＝2；
(2)20；
(3)这个多面体的面数为x+y，棱数为
24336条， 2根据V+F-E＝2可得24+(x+y)-36＝2， ∴ x+y＝14．
【总结升华】欧拉公式：V（顶点数）+F（面数）-E（棱数）＝2 【变式】（2014•宁波）如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（ ）
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五棱柱 B. 六棱柱 C. 七棱柱 D. 八棱柱 【答案】B
解：九棱锥侧面有9条棱，底面是九边形，也有9条棱，共9+9=18条棱， A、五棱柱共15条棱，故A误； B、六棱柱共18条棱，故B正确； C、七棱柱共21条棱，故C错误； D、八棱柱共24条棱，故D错误；
3．将如右图所示的两个平面图形绕轴旋转一周，对其所得的立体图形，下列说法正确的是（ ）
A．从正面看相同 B．从左面看相同 C．从上面看相同 D．三个方向都不相同 【答案】D
【解析】首先考虑三角形和长方形旋转后所得几何体的形状，然后再根据两种几何体从不同方向看所得到的图形做出判断．
【总结升华】“面动成体”，要充分发挥空间想象能力判断立体图形的形状． 举一反三：
【变式】如图把一个圆绕虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A． 【答案】B
B． C． D．
类型三、展开与折叠
4．（2015•广安）在市委、市府的领导下，全市人民齐心协力，将广安成功地创建为“全国文明城市”，为此小红特制了一个正方体玩具，其展开图如图所示，原正方体中与“文”字所在的面上标的字应是（ ）
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A. 全 B. 明 C. 城 D. 国 【答案】 C
【解析】由正方体的展开图特点可得：与“文”字所在的面上标的字应是“城”．
【总结升华】培养空间想想能力的方法有两种，一是通过动手操作来解决；二是通过想象进行确定． 举一反三：
【变式】说出下列四个图形(如图所示)分别是由哪个立体图形展开得到的?
【答案】 (1)正方体；(2)圆柱；(3)三棱柱；(4)四棱锥． 类型四、截一个几何体
5．用一个平面去截一个正方体，如果截去的几何体是一个三棱锥，请回答下列问题： （1）截面一定是什么图形？ （2）剩下的几何体可能有几个顶点？
【思路点拨】当截面截取由三个顶点组成的面时可以得到三角形，剩下的几何体有7个点，当截面截取一棱的一点和两底点组成的面时可剩下几何体有8个点，当截面截取由2条棱中点和一顶点组成的面时剩下几何体有9个顶点．当截面截取由三棱中点组成的面时，剩余几何体有10个顶点． 【答案与解析】
（1）如果截去的几何体是一个三棱锥，那么截面一定是一个三角形；
（2）剩下的几何体可能有7个顶点、或8个顶点、或9个顶点、或10个顶点，如图所示．
【总结升华】截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关． 类型五、从三个方向看物体的形状
6．（2016春•潮南区月考）如图所示的是某个几何体的三视图． （1）说出这个立体图形的名称；
（2）根据图中的有关数据，求这个几何体的表面积．
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【思路点拨】（1）从三视图的主视图看这是一个矩形，而左视图是一个扁平的矩形，俯视图为一个三角形，故可知道这是一个直三棱柱；（2）根据直三棱柱的表面积公式计算即可． 【答案与解析】 解：（1）这个立体图形是直三棱柱； （2）表面积为：×3×4×2+15×3+15×4+15×5=192．
【总结升华】本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的表面积等相关知识，考查学生的空间想象能力．
举一反三：
【变式】用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体只有一种吗？它最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？ 俯视图
主视图
【答案】几何体的形状不唯一，
最少需要小方块的个数： 3222110， 最多需要小方块的个数： 3323116．
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