【好题】高中必修一数学上期末模拟试题及答案

一、选择题

1．已知a=21.3，b=40.7，c=log38，则a，b，c的大小关系为（ ） A．acb

B．bca

C．cab

D．cba

2．已知函数fx是定义在R上的偶函数，且在0,上是增函数，若对任意

x1,，都有fxaf2x1恒成立，则实数a的取值范围是( )

A．2,0

B．,8 C．2, D．,0 12xcosx的图象大致为nn 3．函数fxx12A．

B．

C．

D．

4．已知奇函数yf(x)的图像关于点(则当x(,0)对称，当x[0,)时，f(x)1cosx，

225,3]时，f(x)的解析式为（ ） 2A．f(x)1sinx B．f(x)1sinx C．f(x)1cosx D．f(x)1cosx 5．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg0.2≈﹣0.7，1g0.3≈﹣0.5，1g0.7≈﹣0.15，1g0.8≈﹣0.1） A．1

B．3

C．5

D．7

6．德国数学家狄利克在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格述是其它形式已知函数f（x）由右表给出，则f10f的值为

12（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

7．若x0＝cosx0，则（ ）

，） B．x0∈（，） C．x0∈（，） D．x0∈（0，） 32436468．函数f(x)的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C，函数g(x)的图像与函数

A．x0∈（

图像C关于yx成轴对称，那么g(x)（ ） A．f(x1)

B．f(x1)

C．f(x)1

D．f(x)1

29．若二次函数fxaxx4对任意的x1,x21,，且x1x2，都有

fx1fx20，则实数a的取值范围为（ ）

x1x21A．,0

2B．1, 2C．1,0 2D．1, 210．若函数y＝aax (a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则loga( )

A．1

548＋loga＝65B．2 C．3 D．4

11．设fx是R上的周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有fxfx0，当

1x1,0时，fx1，若关于x的方程fxlogax10(a0且a1)

2恰有五个不相同的实数根，则实数a的取值范围是( ) A．3,5

xB．3,5 C．4,6 D．4,6

12．已知定义在R上的函数fx在,2上是减函数，若gxfx2是奇函数，且g20，则不等式xfx0的解集是（ ）

C．,42,

A．,22, D．,40,

B．4,20,

二、填空题

13．若函数fxmxx1有两个不同的零点，则实数m的取值范围是______. x114．已知函数fx满足2fxx1f1x，其中xR且x0，则函数fxx的解析式为__________

x2ax,x1,15．已知函数f(x){若x1,x2R,x1x2，使得f(x1)f(x2)成立，

ax1,x1,则实数a的取值范围是 ．

16．函数ylog0.5x2的单调递增区间是________

17．若函数fx x1mx26x3在x2时取得最小值，则实数m的取值范围是______；

a18．已知a1,,1,2,3，若幂函数fxx为奇函数，且在0,上递减，则a12的取值集合为______.

19．定义在R上的奇函数fx，满足x0时，fxx1x，则当x0时，

fx______．

20．fxsincosx在区间0,2上的零点的个数是______.

三、解答题

21．随着我国经济的飞速发展，人们的生活水平也同步上升，许许多多的家庭对于资金的管理都有不同的方式.最新调查表明，人们对于投资理财的兴趣逐步提高.某投资理财公司做了大量的数据调查，调查显示两种产品投资收益如下： ①投资A产品的收益与投资额的算术平方根成正比； ②投资B产品的收益与投资额成正比.

公司提供了投资1万元时两种产品的收益，分别是0.2万元和0.4万元.

（1）分别求出A产品的收益f(x)、B产品的收益g(x)与投资额x的函数关系式； （2）假如现在你有10万元的资金全部用于投资理财，你该如何分配资金，才能让你的收益最大？最大收益是多少？ 22．求下列各式的值. （1）4log2a1213223(aa)a(a0)；

2（2）21g21g4lg5lg25.

23．记关于的不等式（1）若（2）若

，求集合； 且

的解集为，不等式

，求的取值范围．

的解集为．

24．即将开工的南昌与周边城镇的轻轨火车路线将大大缓解交通的压力，加速城镇之间的流通．根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果一列火车每次拖7节车厢，每天能来回10次，每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数． （1）写出与的函数关系式；

（2）每节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数（注：营运人数指火车运送的人数）

25．如图，OAB是等腰直角三角形，ABO90o，且直角边长为22，记OAB位于直线xtt0左侧的图形面积为ft，试求函数ft的解析式.

26．某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入.政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，在对市场进行调研分析发现养鱼的收益M、养鸡

a36,14a25,15剟aNa20.设甲合的收益N与投入（单位：万元）满足M249,36a„57,作社的投入为x（单位：万元），两个合作社的总收益为f(x)（单位：万元）. （1）若两个合作社的投入相等，求总收益；

（2）试问如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大?

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一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】

利用指数函数y2与对数函数ylog3x的性质即可比较a，b，c的大小． 【详解】

xQclog382a21.3b40.721.4，

cab．

故选：C． 【点睛】

本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

2．A

解析：A 【解析】 【分析】

根据偶函数的性质，可知函数在,0上是减函数，根据不等式在x1,上恒成

立，可得：xa2x1在1,上恒成立，可得a的范围. 【详解】

Qfx为偶函数且在0,上是增函数

fx在,0上是减函数

对任意x1,都有fxaf2x1恒成立等价于xa2x1

2x1xa2x1 3x1ax1

3x1maxax1min

当x1时，取得两个最值

31a11 2a0 本题正确选项：A 【点睛】

本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题，关键在于能够通过单调性确定自变量之间的关系，得到关于自变量的不等式.

3．C

解析：C 【解析】

12xcosxx=函数f（x）=（），当时，是函数的一个零点，属于排除A，B，当x∈x212（0，1）时，cosx＞0，

12x12x＜0，函数f（x）=（）cosx＜0，函数的图象在x轴下方． xx1212排除D． 故答案为C。

4．C

解析：C 【解析】 【分析】 当x5,3时，3x0,,结合奇偶性与对称性即可得到结果. 22,0对称，所以fxfx0， 2【详解】

因为奇函数yfx的图像关于点且fxfx，所以f当xxfx，故fx是以为周期的函数.

5,3时，3x0,，故f3x1cos3x1cosx 22因为fx是周期为的奇函数，所以f3xfxfx

故fx1cosx，即fx1cosx，x故选C 【点睛】

5,3 2本题考查求函数的表达式，考查函数的图象与性质，涉及对称性与周期性，属于中档题.

5．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型0.7x0.2 求解. 【详解】

因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg/mL, x小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg/mL的，

由题意知100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车， 所以130%x0.2，

0.7x0.2，

两边取对数得，

lg0.7xlg0.2 ，

xlg0.214 ，

lg0.73所以至少经过5个小时才能驾驶汽车. 故选：C 【点睛】

本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于基础题.

6．D

解析：D 【解析】 【分析】

采用逐层求解的方式即可得到结果. 【详解】

1，∴f∵ ，则10f1211， 21110f(10f())f10， ，∴22，∴f103，故选D． 又∵102，【点睛】

本题主要考查函数的基础知识，强调一一对应性，属于基础题．

7．C

解析：C 【解析】 【分析】

画出yx,ycosx的图像判断出两个函数图像只有一个交点，构造函数

fxxcosx，利用零点存在性定理，判断出fx零点x0所在的区间

【详解】

画出yx,ycosx的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像只有一个交点，构造函数fxxcosx，f30.5230.8660.3430，6622f0.7850.7070.0780，根据零点存在性定理可知，fx的唯一442零点x0在区间故选：C

,. 64

【点睛】

本小题主要考查方程的根，函数的零点问题的求解，考查零点存在性定理的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

8．D

解析：D 【解析】 【分析】

首先设出yg(x)图象上任意一点的坐标为(x,y)，求得其关于直线yx的对称点为

(y,x)，根据图象变换，得到函数f(x)的图象上的点为(x,y1)，之后应用点在函数图象

上的条件，求得对应的函数解析式，得到结果. 【详解】

设yg(x)图象上任意一点的坐标为(x,y)， 则其关于直线yx的对称点为(y,x)， 再将点(y,x)向左平移一个单位，得到(y1,x)， 其关于直线yx的对称点为(x,y1)， 该点在函数f(x)的图象上，所以有y1f(x)， 所以有yf(x)1，即g(x)f(x)1， 故选：D. 【点睛】

该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线yx对称，属于简单题目.

9．A

解析：A 【解析】 【分析】

，上单调递减，结合二次函数的开口方向及对称轴的位置即由已知可知，fx在1可求解． 【详解】

2∵二次函数fxaxx4对任意的x1,x21,，且x1x2，都有

fx1fx20，

x1x2，上单调递减， ∴fx在1∵对称轴x1， 2aa01a0，故选A． ∴ ，解可得1122a【点睛】

本题主要考查了二次函数的性质及函数单调性的定义的简单应用，解题中要注意已知不等式与单调性相互关系的转化，属于中档题.

10．C

解析：C 【解析】

【分析】

先分析得到a＞1，再求出a=2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】

由题意可得a－ax≥0，ax≤a，定义域为[0，1]， 所以a>1，

y＝aax在定义域为[0，1]上单调递减，值域是[0，1]， 所以f(0)＝a1＝1，f(1)＝0， 所以a＝2，

548548＋loga＝log2＋log2＝log28＝3. 6565故选C 【点睛】

所loga

本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

11．D

解析：D 【解析】

x1由fxfx0，知fx是偶函数，当x1,0时，fx1，且2fx是R上的周期为2的函数，

作出函数yfx和ylogax1的函数图象，关于x的方程

fxlogax10(a0且a1)恰有五个不相同的实数根，即为函数yfx和ylogax1的图象有5个交点，

a1所以loga311，解得4a6.

log511a故选D.

点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．

12．C

解析：C 【解析】 【分析】

由gxfx2是奇函数，可得fx的图像关于2,0中心对称，再由已知可得函数fx的三个零点为-4，-2，0，画出fx的大致形状，数形结合得出答案. 【详解】

由gxfx2是把函数fx向右平移2个单位得到的，且g2g00，

f4g2g20，f2g00，画出fx的大致形状

结合函数的图像可知，当x4或x2时，xfx0，故选C. 【点睛】

本题主要考查了函数性质的应用，作出函数简图，考查了学生数形结合的能力，属于中档题.

二、填空题

13．【解析】【分析】令可得从而将问题转化为和的图象有两个不同交点作出图形可求出答案【详解】由题意令则则和的图象有两个不同交点作出的图象如下图是过点的直线当直线斜率时和的图象有两个交点故答案为：【点睛】本 解析：(0,1)

【解析】

【分析】

令fx=0，可得mxx1，从而将问题转化为ymx和yx1的图象有两个不同交点，作出图形，可求出答案. 【详解】

由题意，令fxmxx10，则mxx1， 则ymx和yx1的图象有两个不同交点， 作出yx1的图象，如下图，

()ymx是过点O0,0的直线，当直线斜率m0,1时，ymx和yx1的图象有两

个交点. 故答案为：0,1.

()

【点睛】

本题考查函数零点问题，考查函数图象的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.

14．【解析】【分析】用代换可得联立方程组求得再结合换元法即可求解【详解】由题意用代换解析式中的可得……（1）与已知方程……（2）联立（1）（2）的方程组可得令则所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函 解析：fx【解析】 【分析】

用x代换x，可得2f131(x1) x1x1xx1f1x，联立方程组，求得

xx11fx，再结合换元法，即可求解. x3【详解】

由题意，用x代换解析式中的x，可得2fx1xx1f1x，…….（1） xx1与已知方程2fxx1f1x，……（2） x联立（1）（2）的方程组，可得f令tx11x， x31x111,t1，则x=，所以ft，

t-1x3t111(x1). 所以fx3x111(x1). 故答案为：fx3x1【点睛】

本题主要考查了函数解析式的求解，解答中用x代换x，联立方程组，求得

x11fx是解答的关键，着重考查了函数与方程思想，以及换元思想的应用，属x3于中档试题.

15．【解析】【分析】【详解】故答案为 解析：

【解析】 【分析】 【详解】

故答案为.

16．【解析】【分析】先求得函数的定义域然后利用同增异减来求得复合函数的单调区间【详解】依题意即解得当时为减函数为减函数根据复合函数单调性同增异减可知函数的单调递增区间是【点睛】本小题主要考查复合函数的单

解析：1,0

【解析】 【分析】

先求得函数的定义域，然后利用“同增异减”来求得复合函数的单调区间. 【详解】

x20依题意，即0x21，解得x1,0U0,1.当x1,0时，x2为减函2log0.5x0数，log0.5x为减函数，根据复合函数单调性“同增异减”可知，函数y递增区间是1,0. 【点睛】

本小题主要考查复合函数的单调区间的求法，考查函数定义域的求法，属于基础题.

log0.5x2的单调17．【解析】【分析】根据条件可化为分段函数根据函数的单调性和函数值即可得到解不等式组即可【详解】当时当时且当时且当时且若函数在时取得最小值根据一次函数的单调性和函数值可得解得故实数的取值范围为故答案为： 解析：5,

【解析】 【分析】

m70m50m50根据条件可化为分段函数，根据函数的单调性和函数值即可得到解不等式

m70m2712m7组即可. 【详解】

当x1时，fx1x2mmx186x192mm7x， 当1x2时，fxx12mmx186x172mm5x， 且f112m，

当2x3时，fxx1mx2m186x172mm5x， 且f27，

当x3时，fxx1mx2m6x18192mm7x， 且f3m2，

若函数fx x1mx26x3在x2时取得最小值，

m70m50m50根据一次函数的单调性和函数值可得，解得m5，

m70m2712m7故实数m的取值范围为5, 故答案为：5, 【点睛】

本题考查了由分段函数的单调性和最值求参数的取值范围，考查了分类讨论的思想，属于中档题.

18．【解析】【分析】由幂函数为奇函数且在上递减得到是奇数且由此能求出的值【详解】因为幂函数为奇函数且在上递减是奇数且故答案为：【点睛】本题主要考查幂函数的性质等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程思想 解析：1

【解析】 【分析】

由幂函数fxx为奇函数，且在(0,)上递减，得到a是奇数，且a0，由此能求

a出a的值． 【详解】

a因为a1,,1,2,3，幂函数为奇fxx函数，且在(0,)上递减，

12a是奇数，且a0， a1．

故答案为：1． 【点睛】

本题主要考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

19．【解析】【分析】由奇函数的性质得设则由函数的奇偶性和解析式可得综合2种情况即可得答案【详解】解：根据题意为定义在R上的奇函数则设则则又由函数为奇函数则综合可得：当时；故答案为【点睛】本题考查函数的奇 解析：xx1

【解析】 【分析】

由奇函数的性质得f00，设x0，则x0，由函数的奇偶性和解析式可得

fxfxxx1，综合2种情况即可得答案．

【详解】

解：根据题意，fx为定义在R上的奇函数，则f00， 设x0，则x0，则fxx1x， 又由函数为奇函数，则fxfxxx1， 综合可得：当x0时，fxxx1； 故答案为xx1 【点睛】

本题考查函数的奇偶性以及应用，注意f00，属于基础题．

20．5【解析】【分析】由求出的范围根据正弦函数为零确定的值再由三角函数值确定角即可【详解】时当时的解有的解有的解有故共有5个零点故答案为：5【点睛】本题主要考查了正弦函数余弦函数的三角函数值属于中档题

解析：5 【解析】 【分析】

由x0,2，求出cosx的范围，根据正弦函数为零，确定cosx的值，再由三角函数值确定角即可. 【详解】

Qcosx,

fxsincosx0时, cosx0,1,1，

当x0,2时，cosx0的解有

322,，

cosx1的解有， cosx1的解有0,2,

故共有0,2,,3,25个零点， 2故答案为：5 【点睛】

本题主要考查了正弦函数、余弦函数的三角函数值，属于中档题.

三、解答题

21．(1) fx21159xgxx x0(2) AB，；当投资产品万元，产品 x0516165161. 40万元时，收益最大为

【解析】 【分析】

（1）设出函数解析式，待定系数即可求得；

（2）构造全部收益关于x的函数，求函数的最大值即可. 【详解】

（1）由题可设：fxk1x，又其过点1,0.2， 解得：k10.2

同理可设：gxk2x，又其过点1,0.4， 解得：k20.4

2xx0 x0，gx5x 5（2）设10万元中投资A产品x，投资B产品10x，故：

故fx总收益yfxg10x =x2+10x 7a 55 令xt，则t0,10，则： 21yt2t4

5521161 =t

5440故当且仅当t211161. ，即x时，取得最大值为

416401159161. 万元，B产品万元时，收益最大为

161640综上所述，当投资A产品【点睛】

本题考查待定系数法求函数解析式、以及实际问题与函数的结合，属函数基础题. 22．（1）0；（2）2 【解析】 【分析】

直接利用指数和对数的运算法则化简求值即得解. 【详解】

log（1）42a12521logaa2a3a322a3a3aa0 22（2）2lg2lg4lg5lg252lg2(lg2lg5)2lg52(lg2lg5)2

【点睛】

本题主要考查指数和对数的运算法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

23．（1）【解析】 试题分析：（1）当

（2）

；（2）根据一元二

时，利用分式不等式的解法，求得

，由于.

，故，则

次不等式的求解方法，解得

.

试题解析：（1）当时， 原不等式为：

集合

（2）易知：

，∴的取值范围

人.

，

为24．(1) 【解析】

；由，则

;（2）每次应拖挂节车厢才能使每天的营运人数最多为

，将点

试题分析：（1）由于函数为一次函数，设出其斜截式方程代入，可待定系数，求得函数关系式为为

；（2）结合（1）求出函数的表达式

，这是一个开口向下的二次函数，利用对称轴求得其最大值.

试题解析：(1)这列火车每天来回次数为次，每次拖挂车厢节， 则设∴

. 将点.

代入，解得

（2）每次拖挂节车厢每天营运人数为， 则当

时，总人数最多为

， 人．

人．

故每次应拖挂节车厢才能使每天的营运人数最多为

122t,0t21225．ftt4t4,2t4

24,t4【解析】 【分析】

分0t2、2t4和t4三种情况讨论，当0t2时，直线xt左边为直角边长为t的等腰直角三角形；当2t4时，由AOB的面积减去直角边长为4t的等腰直角三角形面积得出ft；当t4时，直线xt左边为AOB.综合可得出函数yft的解析式. 【详解】

等腰直角三角形OAB中，ABO90o，且直角边长为22，所以斜边OA4， 当0t2时，设直线xt与OA、OB分别交于点C、D，则OCCDt，

1ftt2；

2

当2t4时，设直线xt与OA、AB分别交于点E、F，则EFEA4t，

1112ft22224tt24t4.

222

当t4时，ft4.

122t,0t212综上所述，ftt4t4,2t4.

24,t4【点睛】

本题考查分段函数解析式的求解，解题时要注意对自变量的取值进行分类讨论，注意处理好各段的端点，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 26．（1）87万元；（2）甲合作社投入16万元，乙合作社投入56万元 【解析】 【分析】

（1）先求出x36，再求总收益；（2）（2）设甲合作社投入x万元(15x57)，乙合作社投入72x万元，再对x分类讨论利用函数求出如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大. 【详解】

（1）两个合作社的投入相等，则x36，

1f(36)43625362087（万元）

2（2）设甲合作社投入x万元(15x57)，乙合作社投入72x万元.

当15x36时，f(x)4x25令t11(72x)20x4x81， 221212x，得15t6，则总收益g(t)t4t81(t4)89，

22当t4即x16时，总收益取最大值为89； 当36x57时，f(x)4911(72x)20x105， 22f(x)在(36,57]上单调递减，所以f(x)f(36)87.

因为8987，

所以在甲合作社投入16万元，乙合作社投入56万元时，总收益最大，最大总收益为89万元. 【点睛】

本题主要考查函数的应用和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和应用能力.