期权定价模型

Black-Scholes期权定价模型

Black-Scholes期权定价模型的假设条件

Black-Scholes期权定价模型的七个假设条件如下：

1. 期权标的资产为一风险资产（Black-Sholes期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S。S遵循几何布朗运动，即

dSdtdz S其中，dS为股票价格瞬时变化值，dt为极短瞬间的时间变化值，dz为均值为零，方差为dt的无穷小的随机变化值（dzdt，称为标准布朗运动，代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中取的一个随机值），

为股票价格在单位时间内的期望收益率（以连续复利表示），则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。和都是已知的。

简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化，被称为漂移率，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即dz，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。

2．在期权有效期内，标的资产没有现金收益支付。综合1和2，意味着标的资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。

3. 没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。综合2和3，意味着投资者的收益仅来源于价格的变动，而没有其他影响因素。

4. 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。

5. 在期权有效期内，无风险利率r为常数，投资者可以此利率无地进行借贷。

6．期权为欧式看涨期权，其执行价格为X，当前时刻为t，到期时刻为T。 7．不存在无风险套利机会。 Black-Scholes期权定价模型

（一）Black-Scholes期权定价公式

在上述假设条件的基础上，Black和Scholes得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的一个微分方程：

ff1222frSSrf （1） 2t2SS其中f为期权价格，其他参数符号的意义同前。

通过解这个微分方程，Black和Scholes得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：

1

cSN(d1)Xer(Tt)N(d2) （2）

其中，

d1ln(S/X)(r2/2)(Tt)Tt 2ln(S/X)(r/2)(Tt)d2d1TtTtc为无收益资产欧式看涨期权价格；N（x）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有

N(x)1N(x)。

（二）Black-Scholes期权定价公式的理解

1.期权价格的影响因素

首先，让我们将Black-Scholes期权定价公式与期权价格的影响因素联系起来。我们得知期权价格的影响因素包括：标的资产市场价格、执行价格、波动率、无风险利率、到期时间和现金收益。在式（2）中，除了由于我们假设标的资产无现金收益之外，其他几个参数都包括在内，且影响方向与前文分析的一致。

2.风险中性定价原理

其次我们要谈到一个对于衍生产品定价非常重要的原理：风险中性定价原理。观察式（2），以及期权价格影响因素分析，我们可以注意到期权价格是与标的资产的预期收益率无关的。这对于寻求期权定价的人们来说无疑是一个很大的好消息。因为迄今为止，人们仍然没有找到计算证券预期收益率的确定方法。期权价格与的无关性，显然大大降低了期权定价的难度和不确定性。

进一步考虑，受制于主观风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在期权的价值决定公式中，公式中出现的变量为标的证券当前市价（S）、执行价格（X）、时间（t）、证券价格的波动率（）和无风险利率r，它们全都是客观变量，于主观变量——风险收益偏好。既然主观风险偏好对期权价格没有影响，这使得我们可以利用Black-Scholes期权定价模型所揭示的期权价格的这一特性，作出一个可以大大简化我们工作的简单假设：

在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。

在所有投资者都是风险中性的条件下（有时我们称之为进入了一个“风险中性世界”），所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r，这是因为风险中性的投资者并不需要额外的收益来吸引他们承担风险。同样，在风险中性条件下，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价原理。

应该注意的是，风险中性假定仅仅是一个人为假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。

为了更好地理解风险中性定价原理，我们可以举一个简单的例子来说明。 假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。

2

由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市价。若3个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3个月后该股票价格等于9元，则该期权价值为0。

为了找出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空头和单位的标的股票多头组成的组合。若3个月后该股票价格等于11元时，该组合价值等于（11－0.5）元；若3个月后该股票价格等于9元时，该组合价值等于9元。为了使该组合价值处于无风险状态，我们应选择适当的值，使3个月后该组合的价值不变，这意味着：

11－0.5=9

=0.25

因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和0.25股标的股票。无论3个月后股票价格等于11元还是9元，该组合价值都将等于2.25元。

在没有套利机会情况下，无风险组合只能获得无风险利率。假设现在的无风险年利率等于10%，则该组合的现值应为：

2.25e0.10.252.19元

由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场为10元，因此：

100.25f2.19

f0.31元这就是说，该看涨期权的价值应为0.31元，否则就会存在无风险套利机会。 从该例子可以看出，在确定期权价值时，我们并不需要知道股票价格上涨到11元的概率和下降到9元的概率。但这并不意味着概率可以随心所欲地给定。事实上，只要股票的预期收益率给定，股票上升和下降的概率也就确定了。例如，在风险中性世界中，无风险利率为10%，则股票上升的概率P可以通过下式来求：

10e0.10.25[11P9(1P)]

P=62.66%。

又如，如果在现实世界中股票的预期收益率为15%，则股票的上升概率可以通过下式来求：

10e0.150.25[11P9(1P)]

P=69.11%。

可见，投资者厌恶风险程度决定了股票的预期收益率，而股票的预期收益率决定了股票升跌的概率。然而，无论投资者厌恶风险程度如何，从而无论该股票上升或下降的概率如何，该期权的价值都等于0.31元。 Black-Scholes期权定价公式的计算

（一） Black-Scholes期权定价模型的参数

我们已经知道，Black-Scholes期权定价模型中的期权价格取决于下列五个参数：标的资产市场价格、执行价格、到期期限、无风险利率和标的资产价格波动率（即标的资产收益率的标准差）。在这些参数当中，前三个都是很容易获得的确定数值。但是无风险利率和标的资产价格波动率则需要通过一定的计算求得估计值。

3

1. 估计无风险利率

在发达的金融市场上，很容易获得对无风险利率的估计值。但是在实际应用的时候仍然需要注意几个问题。首先，我们需要选择正确的利率。一般来说，在美国人们大多选择美国国库券利率作为无风险利率的估计值。由于美国国库券所报出的利率通常为贴现率（即利息占票面价值的比例），因此需要转化为通常的利率，并且用连续复利的方式表达出来，才可以在Black-Scholes公式中应用。其次，要小心地选择国库券的到期日。如果利率期限结构曲线倾斜严重，那么不同到期日的收益率很可能相差很大，我们必须选择距离期权到期日最近的那个国库券的利率作为无风险利率。

我们用一个例子来说明无风险利率的计算。假设一个还有84天到期的国库券，其买入报价为8.83，卖出报价为8.77。由于短期国库券市场报价为贴现率，我们可以推算出其中间报价对应的现金价格（面值为100美元）为

8.838.7784P100TB97.947美元

2360进一步应用连续复利利率的计算公式得到相应的利率：

erTt100100er0.23r0.0902 P97.947TB2. 估计标的资产价格的波动率

估计标的资产价格的波动率要比估计无风险利率困难得多，也更为重要。估计标的资产价格波动率有两种方法：历史波动率和隐含波动率。

（1） 历史波动率

所谓历史波动率就是从标的资产价格的历史数据中计算出价格收益率的标准差。以股票价格为例，表1列出了计算股票价格波动率的一个简单说明。很显然，计算波动率的时候，我们运用了统计学中计算样本均值和标准差的简单方法。其中，Rt为股票价格百分比收益率，R（或者为）则为连续复利收益率（估计）均值，VarR（或者2）则是连续复利收益率（估计）方差，就是相应的（估计）标准差（波动率），即Black-Scholes公式计算时所用的参数。在表1中，共有11天的收盘价信息，因此得到10个收益率信息。

RtPtPt11TRlnRtTt11TVarRlnRtRT1t12

表1 历史波动率计算

天数 0 1

Pt 100.00 101.50

Rt 1.0150

lnRt

0.0149

lnRtR

0.0001

2 4

2 3 4 5 6 7 8 9 10 98.00 96.75 100.50 101.00 103.25 105.00 102.75 103.00 102.50

0.9655 0.9872 1.0388 1.0050 1.0223 1.0169 0.9786 1.0024 0.9951 总计 -0.0351 -0.0128 0.0380 0.0050 0.0220 0.0168 -0.0217 0.0024 -0.0049 0.0247 0.001410 0.000234 0.0012 0.000006 0.000382 0.000205 0.000582 0.000000 0.000053 0.004294

样本均值＝0.0247/100.00247 样本方差20.004294/90.000477 样本标准差0.021843

在Black-Scholes公式所用的参数中，有三个参数与时间有关：到期期限、无风险利率和波动率。值得注意的是，这三个参数的时间单位必须相同，或者同为天、周，或者同为年。年是经常被用到的时间单位，因此，我们常常需要将诸如表1中得到的天波动率转化为年波动率。在考虑年波动率时，有一个问题需要加以重视：一年的天数究竟按照日历天数还是按照交易天数计算。一般认为，证券价格的波动主要来自交易日。因此，在转换年波动率时，应该按照一年252个交易日进行计算。这样，表1中计算得到的天波动率相应的年波动率为

yearday2520.3467。

在我们的例子中，我们使用的是10天的历史数据。在实际计算时，这个天数的选择往往很不容易。从统计的角度来看，时间越长，数据越多，获得的精确度一般越高。但是，资产价格收益率的波动率却又常常随时间而变化，太长的时间段反而可能降低波动率的精确度。因此，计算波动率时，要注意选取距离今天较近的时间，一般的经验法则是设定度量波动率的时期等于期权的到期期限。因此，如果要为9个月的期权定价，可使用9个月的历史数据。

（2）隐含波动率

从Black-Scholes期权定价模型本身来说，公式中的波动率指的是未来的波动率数据，这使得历史波动率始终存在着较大的缺陷。为了回避这一缺陷，一些学者将目光转向隐含波动率的计算。所谓的隐含波动率，即根据Black-Scholes期权定价公式，将公式中除了波动率以外的参数和市场上的期权报价代入，计算得到的波动率数据。显然，这里计算得到的波动率可以看作是市场对未来波动率的预期。当然，由于Black-Scholes期权定价公式比较复杂，隐含波动率的计算一般需要通过计算机完成。

（二）Black-Scholes期权定价公式的计算

下面用一个简单的例子，来说明这一模型的计算过程。

例 假设某种不支付红利股票的市价为50元，无风险利率为12%，该股票的年波动率为10%，求该股票协议价格为50元、期限1年的欧式看涨期权和看跌期权价格。

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在本题中，可以将相关参数表达如下： S＝50，X＝50，r=0.12,σ=0.1,T=1, 计算过程可分为三步：

第一步，先算出d1和d2。

d1ln(50/50)(0.120.01/2)11.250.11

d2d10.111.15 第二步，计算Nd1和Nd2。

Nd1N1.250.44Nd2N1.150.8749

第三步，上述结果及已知条件代入公式（2），这样，欧式看涨期权和看跌期

权价格分别为：

c500.44500.8749e0.1215.92美元

p5010.8749e0.1215010.440.27美元

在本例中，标的资产执行价格和市场价格正好相等，但是看涨期权的价格却与看跌期权的价格相差悬殊。其中的原因在于利率和到期期限对期权价格的影响。在本例中，利率高达12%，到期期限长达一年。在这种情况下，执行价格的现值将大大降低。对于欧式看涨期权来说，这意味着内在价值的大幅上升；而对欧式看跌期权来说，却意味着内在价值的大幅降低。因此，在计算了执行价格的现值以后，看涨期权是实值期权而看跌期权则是一个虚值期权。事实上，由于实际中的市场短期利率通常较低，期权到期期限一般不超过9个月，因此如果标的资产市场价格与执行价格相等，同样条件下的看涨期权价格和看跌期权价格一般比较接近。

二叉树模型

Black-Scholes模型的提出，对期权定价的研究而言，是一个开创性的研究。然而，由于该模型涉及到比较复杂的数学问题，对大多数人而言较难理解和操作。1979年，J. Cox、S. Ross和M. Rubinstein三人发表《期权定价：一种被简化的方法》一文，用一种比较浅显的方法导出了期权定价模型，这一模型被称为“二叉树模型（the Binomial Model）”或“二叉树模型”，是期权数值定价方法的一种。二叉树模型的优点在于其比较简单直观，不需要太多的数学知识就可以加以应用。同时，它不仅可以为欧式期权定价，而且可以为美式期权定价；不仅可以为无收益资产定价，而且可以为有收益资产定价，应用相当广泛，目前已经成为金融界最基本的期权定价方法之一。 二叉树模型的基本方法

我们从简单的无收益资产期权的定价开始研究二叉树模型，之后再逐步加以

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扩展。

二叉树模型首先把期权的有效期分为很多很小的时间间隔t，并假设在每一个时间间隔t内证券价格只有两种运动的可能：从开始的S上升到原先的u倍，即到达Su；下降到原先的d倍，即Sd。其中，u1，d1，如图1所示。价格上升的概率假设为q，下降的概率假设为1q。

Su q S 1-q Sd 图1 t时间内资产价格的变动

相应地，期权价值也会有所不同，分别为fu和fd。

注意，在较大的时间间隔内，这种二值运动的假设当然不符合实际，但是当时间间隔非常小的时候，比如在每个瞬间，资产价格只有这两个运动方向的假设是可以接受的。因此，二叉树模型实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动。 （一）单步二叉树模型

运用单步二叉树为期权定价，可以有两种方法：无套利方法和风险中性定价方法。

1.无套利定价法

由于期权和标的资产的风险源是相同的，在如图1的单步二叉树中，我们可以构造一个证券组合，包括股资产多头和一个看涨期权空头。如果我们取适当的值，使

SufuSdfd

则无论资产价格是上升还是下跌，这个组合的价值都是相等的。也就是说，

ffd当u时，无论股票价格上升还是下跌，该组合的价值都相等。显然，

SuSd该组合为无风险组合，因此我们可以用无风险利率对Sufu或Sdfd贴现来求该组合的现值。在无套利机会的假设下，该组合的收益现值应等于构造该组合的成本，即

SfSufuert

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将fufd代入上式就可得到：

SuSdfertertdertdfu1fd

udud （3）

2.风险中性定价法

我们可以在二叉树模型中应用风险中性定价原理，确定参数p、u和d，从而为期权定价。这是二叉树定价的一般方法。

在风险中性世界里：

（1） 所有可交易证券的期望收益都是无风险利率； （2） 未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。

在风险中性的条件下，标的证券的预期收益率应等于无风险利率r，因此若期初的证券价格为S，则在很短的时间间隔t末的证券价格期望值应为Sert。因此，参数p、u和d的值必须满足这个要求，即：

SertpSu(1p)Sd （4）

ertpu(1p)d (5)

二叉树模型也假设证券价格遵循几何布朗运动，那么在一个小时间段t内证券价格变化的方差是Se222(Tt)[e2(Tt)1]。根据方差的定义，变量Q的方差等于

EQ2EQ，因此：

S2e2(Tt)[e22(Tt)1]pS2u2(1p)S2d2S2[pu(1p)d]2

2e2(Tt)[e(Tt)1]pu2(1p)d2pu(1p)d (6)

式（4）和(5)给出了计算p、u和d的两个条件。第三个条件的设定则可以有所不同， Cox、Ross和Rubinstein所用的条件是：

u1 （7） d从以上三个条件求得，当t很小时：

ertdp （8）

ud 8

uede从而

t （9） （10）

tfertpfu1pfd

（11）

比较以上两种方法，我们可以看到，无套利定价法和风险中性定价法实际上

具有内在一致性。在无套利定价过程中，我们并没有考虑资产价格上升和下降的实际概率，由于资产预期收益率等于不同情况下收益率以概率为权重的加权平均值，在无套利定价法下无需考虑概率就意味着资产预期收益具有无关性，这正好符合风险中性的概念。其次，如果将式（8）代入（4），最后的期权公式（4）和（11）实际上是完全相同的。那么要如何理解公式（11）中的概率p呢？这里的概率实际上是风险中性世界中的概率而非实际的概率，因此资产的预期收益率仍然对期权定价是无关的。

一般来说，在运用二叉树方法时，风险中性定价是常用的方法，而无套利定价法则主要是提供了一种定价思想。

（二）多步二叉树模型：证券价格的树型结构

以上所述的单步二叉树模型虽然比较简单，但已包含着二叉树定价模型的基本原理和方法。因此，可以进一步拓展到多步二叉树模型。应用多步二叉树模型来表示证券价格变化的完整树型结构如图2所示。

Su4 Su3Su2 SuS SdSd2Sd3 Sd4SSSd Sd2SuSu2

图2 资产价格的树型结构

当时间为0时，证券价格为S。时间为t时，证券价格要么上涨到Su，要么下降到Sd；时间为2t时，证券价格就有三种可能：Su2、Sud（等于S）和Sd2，以此类推。一般而言，在it时刻，证券价格有i1种可能，它们可用符号表示为：

Sujdij 其中j0,1,,i

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1，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。 d（三）倒推定价法

得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。由于在到期T时刻的预期

注意：由于u期权价值是已知的，例如看涨期权价值为max(STX,0)，看跌期权价值为

max(XST,o)，因此在风险中性条件下在求解Tt时刻的每一结点上的期权价值时，都可通过将T时刻的期权价值的预期值在t时间长度内以无风险利率r贴现求出。同理，要求解T2t时的每一结点的期权价值时，也可以将Tt时的期权价值预期值在时间t内以无风险利率r贴现求出。依此类推。采用这种倒推法，最终可以求出零时刻（当前时刻）的期权价值。 以上是欧式期权的情况，如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行期权和继续再持有t时间，到下一个时刻再执行期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值。 例 假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价为50元,波动率为每年40%，无风险连续复利年利率为10%，该股票5个月期的美式看跌期权协议价格为50元，求该期权的价值。

为了构造二叉树，我们把期权有效期分为五段，每段一个月（等于0.0833年）。根据式（8）到（10），可以算出：

uedett1.12240.09 ertdp0.5076ud1p0.4924据此我们可以画出该股票在期权有效期内的树型图，如图3所示。在每个结点处有两个值，上面一个表示股票价格，下面一个表示期权价值。股价上涨概率总是等于0.5076，下降概率总是等于0.4924。

在it时刻，股票在第j个结点（j0,1,,i）的价格等于Sujdij。例如，F结点（i4,j1）的股价等于501.12240.09339.69元。在最后那些结点处，期权价值等于max(XST,0)。例如，G结点（i5,j1）的期权价格等于50－35.36=14.。

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70.70062.9956.1250A 4.482.14.556.950.63503.7639.69B10.35D56.121.30C44.556.3735.3614.79.35062.990502.66.07070.70056.120E44.555.45F10.31 35.3639.69 G31.5114.18.5028.0721.93

图3 不付红利股票美式看跌期权二叉树

从最后一列结点处的期权价值可以计算出倒数第二列结点的期权价值。首先，我们假定在这些结点处期权没被提前执行。这意味着所计算的期权价值是t时间内期权价值期望值的现值。例如，E结点（i4,j2）处的期权价值等于：

(0.507600.49245.45)e0.10.08332.66元 而F结点处的期权价值等于：

(0.50765.450.492414.)e0.10.08339.90元

然后，我们要检查提前执行期权是否较有利。在E结点，提前执行将使期权价值为0，因为股票市价和协议价格都等于50，显然不应提前执行。因此E结点的期权价值应为2.66元。而在F结点，如果提前执行，期权价值等于50.00－39.69元，等于10.31元，大于上述的9.90元。因此，若股价到达F结点，就应提前执行期权，从而F结点上的期权价值应为10.31元，而不是9.90元。

用相同的方法我们可以算出各结点处的期权价值，并最终倒推算出初始结点处的期权价值为4.48元。

如果我们把期权有效期分成更多小时段，结点数会更多，计算会更复杂，但得出的期权价值会更精确。当t非常小时，期权价值将等于4.29元。 （四）二叉树方法的一般定价过程

下面我们给出用数学符号表示的二叉树期权定价方法，仍然举无收益证券的美式看跌期权为例。假设把该期权有效期划分成N个长度为t的小区间，令

fij(0iN,0ji)表示在时间it时第j个结点处的美式看跌期权的价值，我们将fij称为结点(i,j)的期权价值。同时用Sujdij表示结点(i,j)处的证券价格。由于美式看跌期权在到期时的价值是max(XST,o)，所以有：

fN，jmax(XSujdNj,0)，其中j0,1,,N

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当时间从it变为(i1)t时，从结点(i,j)移动到结点(i1,j1)的概率为p，移动到(i1,j)的概率为1p。假定期权不被提前执行，则在风险中性条件下：

fijert[pfi1,j1(1p)fi1,j]

其中0iN1,0ji。如果考虑提前执行的可能性的话，式中的fij必须与期权的内在价值比较，由此可得：

fijmax{XSujdij,ert[pfi1,j1(1p)fi1,j]}

按这种倒推法计算，当时间区间的划分趋于无穷大，或者说当每一区间t趋于0时，就可以求出美式看跌期权的准确价值。根据实践经验，一般将时间区间分成30步就可得到较为理想的结果。 【参考文献】

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2．[美]约翰·赫尔著，张陶伟译. 期权、期货和衍生证券. 中译本. 北京：华夏出版社，1997

3．郑振龙主编. 金融工程. 第1版. 北京：高等教育出版社，2003

4．Black, F., and Scholes (1973) “The Pricing of Options and Corporate Liabilities”, Journal of Political Economy, 81( May-June), p. 637-659

5．J. Cox, J., Ross, S., and Rubinstein: Option Pricing (1979) “a Simplified Approach”, Journal of Financial Economics, September

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