向量在解析几何中的应用

作者：嵩明县第一中学：吴学伟

解析几何是历年数学高考舞台上必唱“主角”之一。近年来命题人往往以解析几何的传统内容为载体，融合向量等其它相关知识，设计出与轨迹问题的交汇与整合、向量与二次曲线方程问题的交汇与整合、向量与有关证明或范围问题的交汇与整合。

一、向量基础知识

（1）、向量的数量积定义：ab|a||b|cos （2）、向量夹角公式：a与b的夹角为，则cosab

|a||b|（3）、向量共线的充要条件：b与非零向量a共线存在惟一的R，使ba。 （4）、两向量平行的充要条件：向量a(x1,y1),b(x2,y2)平行x1y2x2y10 （5）、两向量垂直的充要条件：向量abab0x1x2y1y20 （6）、向量不等式：|a||b||ab|，|a||b||ab|

（7）、向量的坐标运算：向量a(x1,y1),b(x2,y2)，则abx1x2y1y2 二、向量的应用

1、利用向量证明等式

材料一：已知、是任意角，求证：cos()coscossinsin。 证明：在单位圆上，以x轴为始边作角，终边交单位圆于A，以x轴为始边作角，终边交单位圆于B，有OA(cos,sin),OB(cos,sin)，所以有：

OAOBcoscossinsin

又OAOB|OA||OB|cosAOBcos() 即cos()coscossinsin

点评：对于某些恒等式证明，形式中含有cos()或符合向量的坐标运算形式，可运用向量的数量积定义和向量坐标运算来证明。 2、利用向量证明不等式

材料二：m,n,a,b,c,d是正数。求证：abcd证明：设h(ma,nc),k(mancbd mnbd,) mn|h|manc,|k|bd mnabcd

由数量积的坐标运算可得：hk又因为|hk||h||k|， 所以abcdmancbd成立。 mn点评：当求解问题（式子）中含有乘积或乘方时，可巧妙地利用向量数量积坐标表达式：

abx1x2y1y2，|a||b||ab|，构造向量解之。

3、利用向量求值

材料三：已知coscoscos()3，求锐角,。 2解析：由条件得(1cos)cossinsin设m(1cos,sin)，n(cos,sin)，

3cos 23cos，|m|(1cos)2sin222cos，|n|1， 2312由mn|m||n|，得cos22cos，即(cos)0，

221则cos，即，同理（因为、为锐角）

233则mn点评：对于求值问题，巧妙地运用向量的数量积定义构造等量关系求值。 变式：已知Ａ、Ｂ、Ｃ的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)，C(cos,sin)，(（１）、若|AC||BC|，求角的值；

322, )。

2sin2sin2（２）、若ACBC1，求的值。

1tan解析：（１）AC(cos3,sin)，BC(cos,sin3) |AC|(cos3)2sin2106cos 224（２）、由ACBC1得(cos3)cossin(sin3)1

2sincos……………………………………（１）

32sin2sin22sin22sincos2sincos 又

sin1tan1cos4由（１）式两边平方得12sincos

92sin2sin255 2sincos，1tan994、利用向量求函数值域 材料四：若x1(sin3)2106sin 35由|AC||BC|得sincos，又(, )， |BC|cos2y25，求xy的最小值。

2

解析：构造向量m(x1,y2)，n(1,1) 由mn|m||n|，得x1y2(x1)(y2)527即xy1，xy

2227当且仅当x1y2时，xy有最小值

2解析：

变式：设x是实数，求x22x2x210x34的最小值。

x22x2(x1)212，x210x34(x5)232 故可设a(x1,1)，b(5x,3)

|ab|42，x22x2x210x34|a||b|42 x11当，即x2时等号成立。 5x3所以当x2时, x22x2x210x34取最小值42 点评：巧妙构造向量，可以解决条件最值问题，特别是某些含有乘方之和或乘积之和式子的条件最值问题，用向量证明更有独特之处。 5、利用向量解决析几何问题

材料六：过点M(2,0)，作直线l交双曲线xy1于A、B不同两点，已知

22OPOAOB。

（1）、求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 （2）、是否存在这样的直线，使|OP||AB|?若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。 解析：（1）、设直线l的方程为yk(x2)，

22代入xy1得(1k)x4kx4k10，

22224k24k21当k1时，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1x2，x1x22

1k2k1k4k24ky1y2k(x12)k(x22)4k 221k1k设P(x,y)，由OPOAOB，则

4k24k(x,y)(x1x2,y1y2)(,)

1k21k24k2x1k，解之得xk (k0) yy4k1k2x4k22再将k代入y得(x2)y4……………………（1） 2y1k当k0时，满足（1）式；

22当斜率不存在是，易知P(4,0)满足（1）式，故所求轨迹方程为(x2)y4，其轨

迹为双曲线；

当k1时，l与双曲线只有一个交点，不满足题意。

（2）|OP||AB|，所以平行四边形OAPB为矩形，OAPB为矩形的充要条件是

OAOB0，即x1x2y1y20。

当k不存在时，A、B坐标分别为(2,3)，(2,3)，不满足上式。

(k21)(4k21)2k24k224k20 又x1x2y1y2x1x2k(x12)(x2)2k1k1k210，此方程无实数解，故不存直线l使OAPB为矩形。 化简得：2k12点评：平面向量和平面解析几何是新老教材的结合点，也是近几年高考常考查的热点，解此类题应注重从向量积的定义和向量的加减法的运算入手，还应该尽量联系向量与解析几何的共同点，综合运用解析几何知识和技巧，使问题有效解决。

x2y2变式：已知双曲线Ｃ：221(a0,b0)，Ｂ是右顶点，Ｆ是右焦点，点Ａ在x轴

ab正半轴上，且满足|OA|、|OB|、|OF|成等比数列，过Ｆ作双曲线Ｃ在第一象限的渐近线的垂线l，垂足为Ｐ，如图所示。

（１） 求证：PAOPPAFP；

（２） 若l与双曲线Ｃ的左、右两支分别交于点Ｄ、Ｅ，求双曲线Ｃ的离心率e的范围。

ay(xc)a2abab解析：（１）直线l的方程为：y(xc)，由解得P(,)

bcccyxa|OA|、|OB|、|OF|成等比数列，

a2A(,0)，故PAx轴，如图所示。

c从而PAOPPAFPPAOF0 PAOPPAFP

ay(xc)a422得bx2(xc)2a2b2， (2)、由bbb2x2a2y2a2b2a422a4a42即(b2)x2cx2(xc)0

bbba4c2(2a2b2)24422222be2e2 x1x20babacaa，，即，4ab22b2点评：本题是平面向量的数量积、二次曲线、等比数列等知识的交汇与整合，近几年的高考解析几何题中，多次考到了证明题或范围问题，因而在复习中对这类题要给予一定的重视。 随着复习的继续与深入，我们还可以看到平面向量与概率、导数、复数等知识的交汇与整合，为命题者施展了优化创新试题的陈地，也为我们分析、解决问题的切入点开辟了新的视角。

注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

（1） 给出直线的方向向量u1,k或um,n，要会求出直线的斜率； （2）给出OAOB与AB相交,等于已知OAOB过AB的中点;

（3）给出PMPN0,等于已知P是MN的中点;

（4）给出APAQBPBQ,等于已知P,Q与AB的中点三点共线;

（5） 给出以下情形之一：①

AB//AC；②存在实数,使ABAC；③若存在实数

,,且1,使OCOAOB,等于已知A,B,C三点共线.

（6） 给出OPOAOB，等于已知P是AB的定比分点，为定比，即APPB

1（7） 给出MAMB0,等于已知MAMB,即AMB是直角,给出

MAMBm0,等于已知AMB是钝角, 给出MAMBm0,等于已知AMB是锐角。

MAMB（8）给出MP,等于已知MP是AMB的平分线/

MAMB（9）在平行四边形ABCD中，给出(ABAD)(ABAD)0，等于已知ABCD是菱

形;

（10） 在平行四边形ABCD中，给出|ABAD||ABAD|，等于已知ABCD是矩形; （11）在ABC中，给出OAOBOC，等于已知O是ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （12） 在ABC中，给出OAOB的重心是三角形三条中线的交点）；

222OC0，等于已知O是ABC的重心（三角形

OCOA，等于已知O是ABC的垂

（13）在ABC中，给出OAOBOBOC心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）； （14）在ABC中，给出OPOA(ABAC)(R)等于已知AP通过|AB||AC|ABC的内心；

（15）在ABC中，给出aOAbOBcOC0,等于已知O是ABC的内心（三角

形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）； （16） 在ABC中，给出AD1ABAC,等于已知AD是ABC中BC边的中线。 2