●江苏教育・中学教学／课程与教学 见习编辑金茂拮Ｅ－ｍａｉｌ：ｊｍｚｊｓｊｙ＠１ ６３ ｃｏｍ 利用哲学思想方法 把握数学教学本质 ■关保华陈庆广 【摘 要】数学与哲学有着密切的关系，用哲学中的辩证思想来分 析数学中的思想方法，对我们深入了解数学的本质，特别是了解与掌 握数学思想方法，提高解决数学问题的能力，是十分有益的。 【关键词】中学数学 思想方法 哲学思想 教学本质 数学与哲学有着密切的关系。用哲学中辩证的思想 解：令ｘ－ｙ＝ｔ，因为对 、Ｙ∈Ｒ式子都成立，所１ｌｆ），ｆ（ｔ） 来分析数学中的思想方法。对我们深入了解数学的本 ＝ｆ（ｘ－ｙ）＝２ｆ（ｘ ｙ） ），于是 －ｔ）＝ｆ（ｙ－ｘ）＝２ｆ（ｙ ｆ（ｘ） 质，特别是了解与掌握数学思想方法，提高解决数学问 慨） ｔ），即原函数是一个偶函数。 题的能力十分有益。当我们在解题遇到一些疑惑和困难 在上面的例子中，我们将抽象的问题具体化，从抽 时，追溯问题的本质，挖掘问题的根源，将问题转化到较 象或不易理解联想到容易理解且具体的问题上．这样就 为简单易解的地方，可以从中得到能反映问题本质的东 抓住了数学教学的本质，实现了由具体到抽象的转化， 西，或解题的新思路，或得到问题的结果，这就是辩证的 提升了数学思维能力。当然，在操作时，我们要注意：（１） 哲学思想在解题过程中的作用。对问题追本溯源，蕴含 不可改变原问题的本质条件；（２）在具体解证过程中应就 着大量的辩证思想．如：具体到抽象、少元到多元、低维 原问题的抽象性进行严格论证。 到高维、部分到整体等。 ２．从少元到多元的思想方法。 本文旨在通过对中学数学问题的具体解决，阐释利 例２ 设ａ１，ａ２，…，％均为实数，且口１ ＋ ＋… ＝ 用哲学思想在数学解题上的方意义，表明教学中教 ，求证０ｌ： …％。 师要善于把握好教学本质，提高学生分析问题、解决问 ｎ 题的能力。 分析：解决多元问题较为复杂，可考虑验证少元得 一、应用哲学思想解题的几个途径 到启发。 １．从具体到抽象的思想方法。 当ｎ：２时，０ ｚ＋ ＝ ，整理得（ｎ 一ｎ２） －０，所以 例１ 已知 （ ） （ ）＝ （ （ｙ）对ｘ、Ｙ∈Ｒ都 二 成立，且ｆ（ｏ）≠０。试判断函数的奇偶性。 ０ｌ：啦；当ｎ：３时，ａ１２＋ａ，２２＋０／３２＝一（ａｌ＋Ｑ／２＋ｔ／／３）２一： 。（０１２＋ ＋ ＋ 分析：这是一个常见的抽象函数问题，由形式可联 Ｊ 想到具体的余弦函数的两角和与差的公式。将函数具体 ２ａ１ａ２＋２ａ１ ＋２０ ），所以，２ｎ１ ＋２ ＋２ 一２０１ｎ２—２口１ｎ３—２ 化，联想到对于余弦函数．厂（ｔ）＝ｃｏｓｔ，有ｃ０ｓ（ ）＋ｃｏｓ（ ） ０，即（ 一 ） ＋（口１一 ） ＋（ 一劬） ＝０，有ａ１－Ｏ：ｚ＝ａｌ一劬： 一ｎ３＝ ＝２ｃｏｓｘｃｏｓｙ，ｃｏｓＯ￣￣１≠０，猜想原函数 ）是一个偶函数。 ０，故ａ１ ∞。 ２ｏ１４年第８期囤 解：由于口 ２＋ ＋…＋ 丝 二± ，所以ｎ（０ｌ２＋ ｓｉｎＡ＞ｓ （手一Ｂ）＝ｃ。ｓ 。同理，ｓｉ ＞ｃ。ｓｃ，ｓｉｎｃ＞ｃ。 。 至 Ｕ ＋…＋ ）－－０，１２＋ ＋…＋ ＋ １ ＋…＋２ａ１ａ￣＋２ａａａ３＋…＋ ２ｃ 娼 ＋…＋２ ｌ ，所以（ｎ—１）（０ｌ ＋ ＋…＋ ）一２０ｌ０２一…一 ２ａ１０ｎ一２ａ 锄一…一２ｎ２嗥ｌ一…一２ｎ ｌ口ｈ＝０，有ａ１一ｎ２＝…－－．ａ１－ａ￣＝ａｅ— ｎ３ …＝ｏ厂 ｌ＝…＝ａｎ－ｌ－ａ￣＝０，故ａ１ ｎ２＝… ％ｏ 当一个问题呈现的元素或对象较多时，情况就会变 得复杂，处理起来也较为麻烦。若我们先对元素或对象 较少的简单情况进行分析，所得到的解决方式对原问题 的解答将有很大的帮助。 ３．从低维到高维的思想方法。 例３在空间内，设ｈａ，ｈ ，ｈ。，ｈ 是四面体ＡＢＣＤ的 ４个面上的高，Ｐ为四面体内任一点，Ｐ到相应４个面的 距离分别为 ，Ｐ６，Ｐｃ， ，求证：鲁＋鲁＋鲁＋鲁为定 值。 分析：将问题追溯到平面上来，考虑在平面上，设 ｈａ ｈ ，ｈｃ是三角形ＡＢＣ三条边上的高，Ｐ为三角形内任 意点，Ｐ到相应三边的距离分别为 ， ， ，我们可以得 ＝ ＳＡｐＢＣ阀鲁＝ ＳＡｐＡｃ，鲁＝ ＳＩＭＢＣ， ＋盟＋旦： ：１ｈ ’ｈ６。ｈ Ｓ 髓 。 证明：由平面的关系上升到空间，将四面体的体积 １ 剖分成四个小锥体的体积和，由 ： ： ｎ ｓ坳・ 眨．立＋ ＋生＋ ： ± 幽± 鳗：】 砌’ｈ。。ｈ６。ｈ。。ｈｄ Ｖａ－ＢＣＤ 为定值。 从低维到高维的思想方法．就是面对高维问题去研 讨相应的低维问题，从中获得处理高维问题的启示，这 种思想方法具有一般的意义。处理立体几何问题时，我 们常常会对平面几何中的相应问题展开讨论，运用类比 的方法解决问题，以实现“从低维到高维”的演变。 ４．从部分到整体的思想方法。 例４在锐角ＡＡＢＣ中，求证：ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＞ｃｏｓＡ＋ ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣｏ 证明：因为ＡＡＢＣ是锐角三角形，所以Ａ＋Ｂ＝Ｔｒ—Ｃ＞ １ｒ２，Ａ＞手一Ｂ即０＜手胡＜Ａ＜手，依正弦函数的单调性知 皿２０１４年第８期 将三式相加得ｓｉ。一２一＝ 一２ ｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＞ｃｏＭ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ。 不少数学问题从整体上解决较为困难，Ｃ口一曰 —Ｃ 但若将其分 解，从对部分的处理结果出发，则问题将迎刃而解。 二、把握本质教学的方意义 一 １．把握本质教学：让唯物辩证的哲学思想融入课堂。 我们平时的数学教学．不应是单纯的解题教学，而 应在课堂上融人唯物辩证的哲学思想，把握本质教学。 “从抽象到具体”的思想方法在一定程度上表现出用 内容说明形式的辩证关系。“从多元到少元”和“从整体到 部分”的方法体现出全局与局部的辩证关系。“从高维到 低维”的思想方法则体现了问题结构的“分解”与“延拓” 间的辩证关系。正是这种认识程度的加深，可使我们找 到解决问题的途径。 ２．把握本质教学：用辩证的哲学思想处理数学问题 是最基本的方法 从前面处理问题中体现的方法来看，辩证的哲学思 想在处理数学问题时带来了方便。该方法几乎可运用于 中学数学教学的各个部分，其应用范围相当广泛。因此。 教师在平时的教学实践中．要谨记哲学思想的作用，遇 到具体问题的时候，敢于用哲学方法去解决。 ３．把握本质教学：让“数学关”充满课堂。 我们知道，数学具有对称性、统一性、抽象性、简单 性等特征。而简单是“数学美”的基本形式，主要特征表 现在方法、逻辑、概念和表述上。在追本溯源的过程中， 根据问题的需要对问题做简单的处理，使得所要解决的 数学问题往往变得——条件更加充分。结构组成变得简 洁清晰，实质得到转化，处理步骤更加方便。总之，把握 教学的本质，就是要将每一个较复杂的数学问题变得简 单，从而体现了数学的“求简精神”。让“数学美”充满课 堂。 “善于‘退’，足够地‘退’。‘退到最原始而不失去重 要性的地方，是学习数学的一个诀窍。”著名数学大师华 罗庚先生曾这样说，“先足够地退到我们最容易看清楚 的地方，认透了，钻深了，然后再上去”。学好数学，就要 在学习过程中经常以退为进，化繁为简、化抽象为具体、 化整体为部分、化高维为低维，这样就能“化腐朽为神 奇”。这是哲学思想的精髓所在，也是每一位数学教师应 该把握的教学的本质。圃 （作者单位：江苏省赣榆高级中学）
