如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C． （1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m． ①用含m的代数式表示线段PD的长．
②连接PB，PC，求△PBC的面积最大时点P的坐标．
（3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，
𝑎+𝑏+3=0𝑎=1∴{，解得{，
𝑏=−49𝑎+3𝑏+3=0∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3； （2）如图：
①设P（m，m2﹣4m+3），
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将点B（3，0）、C（0，3）代入得直线BC解析式为yBC＝﹣x+3． ∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D， ∴D（m，﹣m+3），
∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m． 答：用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m． ②S△PBC＝S△CPD+S△BPD =2OB•PD=−2m2+2m =−（m−）2+
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2323227． 81
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∴当m=时，S有最大值． 当m=时，m2﹣4m+3=−． ∴P（，−）．
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43234答：△PBC的面积最大时点P的坐标为（，−）．
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3
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4（3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形． 根据题意，点E（2，1）， ∴EF＝CF＝2， ∴EC＝2√2，
根据菱形的四条边相等， ∴ME＝EC＝2√2，
∴M（2，1﹣2√2）或（2，1+2√2） 当EM＝EF＝2时，M（2，3）
答：点M的坐标为M1（2，3），M2（2，1﹣2√2），M3（2，1+2√2）．
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