直线的倾斜角、斜率与直线的方程

A级——夯基保分练

1．(2019·河北衡水十三中质检)直线2x·sin 210°－y－2＝0的倾斜角是( ) A．45° C．30°

B．135° D．150°

解析：选B 由题意得直线的斜率k＝2sin 210°＝－2sin 30°＝－1，故倾斜角为135°.故选B.

2．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是( )

解析：选B 由题意l1：y＝－ax－b，l2：y＝－bx－a，当a＞0，b＞0时，－a＜0，－b＜0.选项B符合．

3．若直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为( )

A．1 C．4

B．2 D．8

解析：选C ∵直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)， 11

∴a＋b＝ab，即＋＝1，

ab11∴a＋b＝(a＋b)a＋b ba

＝2＋＋≥2＋2

ab

ba·＝4， ab

当且仅当a＝b＝2时上式等号成立．

∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.

4．已知直线l：x－my＋3m＝0上存在点M满足与A(－1,0)，B(1,0)两点连线的斜率kMA与kMB之积为3，则实数m的取值范围是( )

A．[－6，6 ] B.－∞，－

66∪，＋∞ 6666∪，＋∞ 66

C.－∞，－D.－



22 ，22第 1 页 共 6 页

解析：选C 设M(x，y)，由kMA·kMB＝3，得

yy

·＝3，即y2＝3x2－3.联立x＋1x－1

x－my＋3m＝0，12－3x2＋23x＋6＝0(m≠0)，则Δ＝232－2412－3≥0，即得2

mmmmy＝3x2－3，

16666

m2≥，解得m≤－或m≥.∴实数m的取值范围是－∞，－∪，＋∞.

66666

5．(多选)若直线过点A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程可能为( )

A．x－y＋1＝0 C．2x－y＝0

B．x＋y－3＝0 D．x－y－1＝0

2－0解析：选ABC 当直线经过原点时，斜率为k＝＝2，所求的直线方程为y＝2x，

1－0即2x－y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝k，把点A(1,2)代入可得1－2＝k或1＋2＝k，求得k＝－1或k＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0；综上知，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.故选A、B、C.

6．(多选)经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为( ) A．x－y＋1＝0 C．2x－y－2＝0

B．x＋y－7＝0 D．2x＋y－10＝0

解析：选AB 由题意可知，所求直线的斜率为±1.又过点(3,4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.

7．已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为________________．

解析：由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α， 11

因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为，则tan α＝，

22

1

2×

22tan α4

所以直线l的斜率k＝tan 2α＝＝＝，所以由点斜式可得直线l的方程为2131－tanα2

1－24

y－0＝(x－1)，

3

即4x－3y－4＝0. 答案：4x－3y－4＝0

8．过点(－10,10)且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为________________．

解析：当直线经过原点时，此时直线的方程为x＋y＝0，满足题意．当直线不经过原点

第 2 页 共 6 页

xy15x2y

时，设直线方程为＋＝1，把点(－10,10)代入可得a＝，故直线方程为＋＝1，即x

4aa23015＋4y－30＝0.综上所述，所求直线方程为x＋y＝0或x＋4y－30＝0.

答案：x＋y＝0或x＋4y－30＝0

y＋3

9．(一题两空)已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，则的最大值为________，

x＋2最小值为________．

解析：如图，作出y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)的图象(曲线段AB)，则y＋3

x＋2表示定点P(－2，－3)和曲线段AB上任一点(x，y)的连线的斜率k，连接PA，PB，则kPA≤k≤kPB.易得A(1,1)，B(－1,5)，所以kPA＝1－－31－－2＝4

3

，k5－－3PB＝

－1－－2＝8，所以43≤k≤8，故y＋34

x＋2

的最大值是8，最小值是3. 答案：8 4

3

10.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)的直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝1

2

x上时，则直线AB的方程为____________________________．

解析：由题意可得kOA＝tan 45°＝1， kOB＝tan(180°－30°)＝－

3

3

， 所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－33

x. 设A(m，m)，B(－3n，n)， 所以AB的中点C

m－3nm＋n2，2

，

由点C在直线y＝1

2x上，且A，P，B三点共线得

m＋n1·m－3n2＝22，m－0n－0m－1＝－3n－1，

解得m＝3，所以A(3，3)． 又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝

3

3＋3－1

＝32，

所以l3＋3

AB：y＝2

(x－1)，

第 3 页 共 6 页

即直线AB的方程为(3＋3)x－2y－3－3＝0. 答案：(3＋3)x－2y－3－3＝0

11．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：

(1)过定点A(－3,4)； 1

(2)斜率为.

6

解：(1)由题意知，直线l存在斜率． 设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，

4

它在x轴，y轴上的截距分别是－－3,3k＋4，

k4

由已知，得(3k＋4)6， k＋3＝±28解得k1＝－或k2＝－. 33

故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0. (2)设直线l在y轴上的截距为b，

1

则直线l的方程为y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，

6由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.

∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.

12．已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐―→―→标原点，求当|MA|·|MB|取得最小值时直线l的方程．

xy

解：设A(a,0)，B(0，b)，则a＞0，b＞0，直线l的方程为＋＝1，

ab21所以＋＝1.

ab

―→―→―→―→|MA|·|MB|＝－MA·MB＝－(a－2，－1)·(－2，b－1) ＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5 21＝(2a＋b)a＋b－5 2b2a

＝＋≥4， ab

当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.

B级——提能综合练

ππ

13．已知函数f(x)＝asin x－bcos x(a≠0，b≠0)，若f4－x＝f4＋x，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为( )

第 4 页 共 6 页

πA. 42πC. 3

πB. 33πD. 4

ππππ

－x＝f＋x知，函数f(x)的图象关于x＝对称，所以f(0)＝f，解析：选D 由f4424a

所以－b＝a，则直线ax－by＋c＝0的斜率为k＝＝－1，又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，

b3π

所以该直线的倾斜角为，故选D.

4

14．已知点P在直线x＋3y－2＝0上，点Q在直线x＋3y＋6＝0上，线段PQ的中点为y0

M(x0，y0)，且y0x0

|x0＋3y0－2||x0＋3y0＋6|

解析：依题意可得＝，化简得x0＋3y0＋2＝0，又y01010y0

＝，在坐标轴上作出两直线，如图，当点M位于线段AB(不包括端点)上时，kOM>0，当点x01

M位于射线BN上除B点外时，kOM<－.

3

1y0

－∞，－∪(0，＋∞)． 所以的取值范围是3x0

1

－∞，－∪(0，＋∞) 答案：3

15．已知射线l1：y＝4x(x≥0)和点P(6,4)，试在l1上求一点Q使得PQ所在直线l和l1

以及直线y＝0在第一象限围成的面积达到最小值，并写出此时直线l的方程．

解：设点Q坐标为(a,4a)，PQ与x轴正半轴相交于M点． 由题意可得a＞1，否则不能围成一个三角形． 4a－4

PQ所在的直线方程为y－4＝(x－6)，

a－65a

令y＝0，x＝，

a－1

15a

因为a＞1，所以S△OQM＝×4a×，

2a－1a2－2a＋1＋2a－2＋110a2则S△OQM＝＝10

a－1a－11

＝10a－1＋a－1＋2≥40，



第 5 页 共 6 页

当且仅当(a－1)2＝1时取等号． 所以a＝2时，Q点坐标为(2,8)， 所以此时直线l的方程为x＋y－10＝0.

C级——拔高创新练

16．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)证明：直线l过定点；

(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；

(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

解：(1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．

(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1， 则直线l在y轴上的截距为2k＋1，

k≥0，

要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，

1＋2k≥0，

故k的取值范围是[0，＋∞).

1＋2k

(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，

k1＋2k∴A－，0，B(0,1＋2k)．

k1＋2k

又－<0且1＋2k>0，∴k>0.

k111＋2k故S＝|OA||OB|＝××(1＋2k)

22k111

4k＋＋4≥(4＋4)＝4， ＝k22

11

当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．

k2

故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.

第 6 页 共 6 页