幂函数讲义

一、幂函数的概念

1、幂函数的概念：一般地，函数f(x)＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数。 注意：（1）系数为1；（2）底数是自变量x；（3）指数为常数。

例1：判断下列函数哪些是幂函数：①y＝4②y＝x⑤y＝⑥y＝x⑦y＝(2a－1)(a＞【解读】：（2）（3）（5）

例2：已知幂函数f(x)的图象经过点(2，

x

x4

③y＝－4④y＝x

x

4x

1且a≠1) 22)，则f(4)的值为( ) 2A：16 B：【解读】：C

11C：D：2 1621变式练习：幂函数f(x)的图象过点(4，)，且f(x)＝8，则x＝( )

2A： 22 B： C： 【解读】：D

21 D： 42、幂函数的图象

1 / 6

在同一平面直角坐标系内的幂函数f(x)＝x 当a＝3，2，1，

a11，，－1，－2的图象 23

幂函数在第一象限的图象特征：

（1）a＞1，图象过(0，0)，(1，1)，下凸递增。 （2）0＜a＜1，图象过(0，0)，(1，1)，上凸递增。

（3）a＜0，图象过点(1，1)，下凸递减，且向两坐标轴无限逼近。

例3：指出下列函数的定义域、值域、奇偶性、单调性。

（1）f(x)＝x （2）g(x)＝x （3）h(x)＝x （4）r(x)＝x

414323变式练习：函数g(x)＝x23x的定义域为（ ）

43

A：(－∞，＋∞) B：(－∞，0)∪(0，＋∞) C：(－∞，0) D：(0，＋∞) 【解读】：B

例4：比较下列各组数的大小 （1）(2)3 ，(2.5)3 （2）8，7

7878

【解读】：＜ ＞

23变式练习1：实数()，33，23的大小关系用“＜”顺次连接是_________。

32222【解读】：3＜()3＜ 23

32322变式练习2：设a∈(－1，0)，则下列不等式中正确的是（ ）

2 / 6

A：2a＞2a＞0.2B：0.2＞2a＞2a C：2a＞0.2＞2aD：2a＞0.2＞2a

aaaa【解读】：B

a例5：当x∈(1，＋∞)时，幂函数y＝x的图象恒在y＝x的下方，则a的取值范围是（ ） A：0＜a＜1 B：a＜1C：a＞0 D：a＜0 【解读】：B

变式练习1：函数f(x)＝x(n∈N，n＞2)的图象只可能是（ ）

1n

【解读】：C

变式练习2：幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp的图象如下图所

示，则（ ）

A：m＞n＞p B：m＞p＞nC：n＞p＞m D：p＞n＞m

【解读】：A

变式练习3：幂函数y＝x(m、n∈N，且m、n互质)的图象如下图所示则（ ）

nA：m为奇数，n为偶数，＜1

mnB：m、n均为奇数，＜1

mnC：m为奇数，n为偶数，＞1

mnD：m为偶数，n为奇数，＜1

m【解读】：A

1nm例6：已知幂函数f(x)＝xm2m (m∈N＋)

（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；

（2）若该函数还经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数

3 / 6

a的取值范围。

【解读】：（1）m＋m＝m(m＋1)，则m与(m＋1)中必有一个为偶数，则m＋m为偶数，故定义域0,，在定义域内为增函数；（2）若该函数还经过点(2，2)，则m＋m＝2，m

2

2

2

＝1或m＝－2，m∈N＋，m＝1，∴f(x)＝x，函数f(x)在0,是增函数，故

12a1022a0 1≤a＜

32aa1

变式练习1：已知函数f(x)＝x3m9(m∈N＋)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值

随x的增大而减小，求满足(a1)m3(32a)13m3的a的范围。

13【解读】：函数f(x)在(0，＋∞)减函数，故3m－9＜0，m＜3，m∈N＋，m可取1、2、3，又因为f(x)偶函数，故m＝1；，则(a1)(32a)。

则(a＋1)＞(3－2a)＞0或(3－2a)＜(a＋1)＜0，得

23＜a＜或a＜－1 32课 后 综 合 练 习

1、下列函数中，是幂函数的是（ ） A：y2 【解读】：D

1－1

2、在函数y＝2，y＝3x3，y＝x2＋2x，y＝x，y＝x2中，幂函数有 ()

x

A：1个 B：2个 C：3个 D：4个 【解读】：B 3、若幂函数yx在第一象限内的图象如图所示，则的取值可能为 () A：－1 B：2 C：3 D：【解读】：D

4、幂函数yxa，yxb，yxc，yxd在第一象限的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是() A：a＞b＞c＞dB：d＞b＞c＞a C：d＞c＞b＞aD：b＞c＞d＞a 【解读】：D

x2B：yx

C：ylog2x

D：yx12

1 22)，则f(4)的值为 () 211A：16 B：2 C： D：

2165、已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，

4 / 6

【解读】：C

6、函数yx的图象是 （）

43 A： B：C： D： 【解读】：A

3

7、函数yx和yx图象满足（）

A：关于原点对称 B：关于x轴对称 C：关于y轴对称 D：关于直线yx对称 【解读】：D

8、 函数yx|x|,xR，满足（）

A：是奇函数、减函数B：是偶函数、增函数 C：是奇函数、增函数D：是偶函数、减函数 【解读】：C

9、写出下列函数的定义域，判断其奇偶性

（1）yx的定义域_____________________，奇偶性为_____________________ （2）yx的定义域_____________________，奇偶性为_____________________ （3）yx的定义域_____________________，奇偶性为_____________________ （4）yx的定义域_____________________，奇偶性为_____________________ （5）yx的定义域_____________________，奇偶性为_____________________ 【解读】：（1）R 偶 （2）R 奇 （3）0, 非 （4）R 奇 （5）x≠0 奇

10、设f(x)(m1)xm2，如果f(x)是正比例函数，则m＝________，如果f(x)是反比例函数，则m＝________，如果f(x)是幂函数，则m＝________。 【解读】：3 －1 2

11、若一个幂函数f(x)的图象过点(2,)，则f(x)的解读式为___________。 【解读】：f(x)x 12、比较下列各组数的大小 （1）3.51.72213231213114____3.41.7 （2）1.20.3___1.30.3 （3）2.41.6___2.51.6

【解读】：＞ ＜ ＞ 13、已知函数yx【解读】：m＞2m1在区间0,上是增函数，求实数m的取值范围为。

1 25 / 6

14、已知函数f(x)＝(m2m1)xm【解读】：m＝0或m＝－1 15、已知幂函数f(x)＝xp3p322m1是幂函数，求实数m的值为。

p3 (p∈N＋)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满

足(a1)＜(32a)的a的取值范围。

【解读】：p－3＜0，p＜3，函数是偶函数，则p＝1，(a1)＜(32a)，(a－1)＜(3＋2a)，a＞－4

16、已知幂函数f(x)＝(m1)2xm4m2在(0，＋∞)上是增函数，函数g(x)＝2k。求（1）求实数m的值；（2）当x∈[1，2]时，设f(x)的值域为A，g(x)的值域为B，若A∪B＝A，求实数k的取值范围。

2

【解读】：(m－1)＝1，则m＝2或m＝0，函数在(0，＋∞)上是增函数，故m＝0。

（2）由（1）当x∈[1，2]时f(x)∈[1，4]，而g(x)∈[2－k，4－k]，∵A∪B＝A，故BA，则

21313x2k1则0≤k≤1

4k46 / 6