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幂函数讲义

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2.3 幂 函 数

一、幂函数的概念

1、幂函数的概念:一般地,函数f(x)=xa叫做幂函数,其中x是自变量,a是常数。 注意:(1)系数为1;(2)底数是自变量x;(3)指数为常数。

例1:判断下列函数哪些是幂函数:①y=4②y=x⑤y=⑥y=x⑦y=(2a-1)(a>【解读】:(2)(3)(5)

例2:已知幂函数f(x)的图象经过点(2,

x

x4

③y=-4④y=x

x

4x

1且a≠1) 22),则f(4)的值为( ) 2A:16 B:【解读】:C

11C:D:2 1621变式练习:幂函数f(x)的图象过点(4,),且f(x)=8,则x=( )

2A: 22 B: C: 【解读】:D

21 D: 42、幂函数的图象

1 / 6

在同一平面直角坐标系内的幂函数f(x)=x 当a=3,2,1,

a11,,-1,-2的图象 23

幂函数在第一象限的图象特征:

(1)a>1,图象过(0,0),(1,1),下凸递增。 (2)0<a<1,图象过(0,0),(1,1),上凸递增。

(3)a<0,图象过点(1,1),下凸递减,且向两坐标轴无限逼近。

例3:指出下列函数的定义域、值域、奇偶性、单调性。

(1)f(x)=x (2)g(x)=x (3)h(x)=x (4)r(x)=x

414323变式练习:函数g(x)=x23x的定义域为( )

43

A:(-∞,+∞) B:(-∞,0)∪(0,+∞) C:(-∞,0) D:(0,+∞) 【解读】:B

例4:比较下列各组数的大小 (1)(2)3 ,(2.5)3 (2)8,7

7878

【解读】:< >

23变式练习1:实数(),33,23的大小关系用“<”顺次连接是_________。

32222【解读】:3<()3< 23

32322变式练习2:设a∈(-1,0),则下列不等式中正确的是( )

2 / 6

A:2a>2a>0.2B:0.2>2a>2a C:2a>0.2>2aD:2a>0.2>2a

aaaa【解读】:B

a例5:当x∈(1,+∞)时,幂函数y=x的图象恒在y=x的下方,则a的取值范围是( ) A:0<a<1 B:a<1C:a>0 D:a<0 【解读】:B

变式练习1:函数f(x)=x(n∈N,n>2)的图象只可能是( )

1n

【解读】:C

变式练习2:幂函数y=xm,y=xn,y=xp的图象如下图所

示,则( )

A:m>n>p B:m>p>nC:n>p>m D:p>n>m

【解读】:A

变式练习3:幂函数y=x(m、n∈N,且m、n互质)的图象如下图所示则( )

nA:m为奇数,n为偶数,<1

mnB:m、n均为奇数,<1

mnC:m为奇数,n为偶数,>1

mnD:m为偶数,n为奇数,<1

m【解读】:A

1nm例6:已知幂函数f(x)=xm2m (m∈N+)

(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性;

(2)若该函数还经过点(2,2),试确定m的值,并求满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数

3 / 6

a的取值范围。

【解读】:(1)m+m=m(m+1),则m与(m+1)中必有一个为偶数,则m+m为偶数,故定义域0,,在定义域内为增函数;(2)若该函数还经过点(2,2),则m+m=2,m

2

2

2

=1或m=-2,m∈N+,m=1,∴f(x)=x,函数f(x)在0,是增函数,故

12a1022a0 1≤a<

32aa1

变式练习1:已知函数f(x)=x3m9(m∈N+)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上函数值

随x的增大而减小,求满足(a1)m3(32a)13m3的a的范围。

13【解读】:函数f(x)在(0,+∞)减函数,故3m-9<0,m<3,m∈N+,m可取1、2、3,又因为f(x)偶函数,故m=1;,则(a1)(32a)。

则(a+1)>(3-2a)>0或(3-2a)<(a+1)<0,得

23<a<或a<-1 32课 后 综 合 练 习

1、下列函数中,是幂函数的是( ) A:y2 【解读】:D

1-1

2、在函数y=2,y=3x3,y=x2+2x,y=x,y=x2中,幂函数有 ()

x

A:1个 B:2个 C:3个 D:4个 【解读】:B 3、若幂函数yx在第一象限内的图象如图所示,则的取值可能为 () A:-1 B:2 C:3 D:【解读】:D

4、幂函数yxa,yxb,yxc,yxd在第一象限的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系是() A:a>b>c>dB:d>b>c>a C:d>c>b>aD:b>c>d>a 【解读】:D

x2B:yx

C:ylog2x

D:yx12

1 22),则f(4)的值为 () 211A:16 B:2 C: D:

2165、已知幂函数y=f(x)的图象经过点(2,

4 / 6

【解读】:C

6、函数yx的图象是 ()

43 A: B:C: D: 【解读】:A

3

7、函数yx和yx图象满足()

A:关于原点对称 B:关于x轴对称 C:关于y轴对称 D:关于直线yx对称 【解读】:D

8、 函数yx|x|,xR,满足()

A:是奇函数、减函数B:是偶函数、增函数 C:是奇函数、增函数D:是偶函数、减函数 【解读】:C

9、写出下列函数的定义域,判断其奇偶性

(1)yx的定义域_____________________,奇偶性为_____________________ (2)yx的定义域_____________________,奇偶性为_____________________ (3)yx的定义域_____________________,奇偶性为_____________________ (4)yx的定义域_____________________,奇偶性为_____________________ (5)yx的定义域_____________________,奇偶性为_____________________ 【解读】:(1)R 偶 (2)R 奇 (3)0, 非 (4)R 奇 (5)x≠0 奇

10、设f(x)(m1)xm2,如果f(x)是正比例函数,则m=________,如果f(x)是反比例函数,则m=________,如果f(x)是幂函数,则m=________。 【解读】:3 -1 2

11、若一个幂函数f(x)的图象过点(2,),则f(x)的解读式为___________。 【解读】:f(x)x 12、比较下列各组数的大小 (1)3.51.72213231213114____3.41.7 (2)1.20.3___1.30.3 (3)2.41.6___2.51.6

【解读】:> < > 13、已知函数yx【解读】:m>2m1在区间0,上是增函数,求实数m的取值范围为。

1 25 / 6

14、已知函数f(x)=(m2m1)xm【解读】:m=0或m=-1 15、已知幂函数f(x)=xp3p322m1是幂函数,求实数m的值为。

p3 (p∈N+)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,求满

足(a1)<(32a)的a的取值范围。

【解读】:p-3<0,p<3,函数是偶函数,则p=1,(a1)<(32a),(a-1)<(3+2a),a>-4

16、已知幂函数f(x)=(m1)2xm4m2在(0,+∞)上是增函数,函数g(x)=2k。求(1)求实数m的值;(2)当x∈[1,2]时,设f(x)的值域为A,g(x)的值域为B,若A∪B=A,求实数k的取值范围。

2

【解读】:(m-1)=1,则m=2或m=0,函数在(0,+∞)上是增函数,故m=0。

(2)由(1)当x∈[1,2]时f(x)∈[1,4],而g(x)∈[2-k,4-k],∵A∪B=A,故BA,则

21313x2k1则0≤k≤1

4k46 / 6

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