·１１８· 科技论坛 关于幂指函数的研究 王建莉 （包头师范学院数学科学学院，内蒙古包头０１４０３０） 摘要：在高等数学的学习中，通常我们将函数Ｙ＝／ ） ‘ 称为幂指函数．显然，该函数既不是幂函数也不是指数函数，但初学者由 于受思维惯性的影响，却经常将其＂３作幂函数与指数函数进行处理，－从而在学习中造成不必要的困惑．为了将函数的学习更好的进行下去， 有必要将幂指函数作进一步的讨论．本文主要讨论幂指函数的求导方法。 关键词：幂指函数；导数；求导方法 １幂指函数的定义 定义１．１：一般地，形如Ｙ： （口＞Ｏ且ａ￣１）（ｘＥ Ｒ），它是初等函数 中的一中它是定义在实数域上的单调，下凸，无上界的函数。 定义１．２：一般地，形如Ｙ＝ 。（ａ为常数）的函数，即以底数为 自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。 定义１．３：将形如 ＝厂（ Ｏ）＞ｏ）的函数称为幂指函数。也 ．例３．求Ｙ＝（ｔａｎｘ） 的导数。 解：将等式两边同时取对数：Ｉｎ Ｙ＝ｓｉｎ ．ｎｔａｎ Ｉ等式两边同时对 求导：１一．Ｙ’ ·．ｖ，：（ｓｉｎｘ）＇Ｉｎｔａｎｘ＋ｓｉｎｘ（１ｎｔａｎｘ）＇ Ｙ’：ｙ［ｃｏｓｘ．Ｉｎｔａｎ ＋ｓｉｎｘ．ｃｏｔｘ．（ｓｅｅｘ） 】＝（ｔｎｘ）ａ ［ｃｏｓｘ．Ｉｎｔａｎ ＋ｓｅｃｘ］ 就是说，它既像幂函数，又像指数函数，二者的特点兼而有之。作为 幂函数，其幂指数确定不变，而幂底数为自变量；相反地，指数函数 即把Ｙ＝厂（ ） ∽当指数函数求导的结果与把Ｙ＝，（ ） 当幂函 却是底数确定不变，而指数为自变量。幂指函数就是幂底数和幂指 数同时都为自变量的函数。 ２幂指函数的求导方法 ２．１预备知识 ２．１．１指数函数的求导 Ｙ＝口 ），’＝（ ）’＝ａ Ｉｎａ（其中ａ＞Ｏ且ａ≠１），特别地（ ）’＝ｅ 数求导的结果相加。 ①Ｙ＝，（ ）“ 看作指数函数时，ｙ’＝－厂（ ） ’Ｉｎ，（ ）．ｇ（ｘ）’ ②Ｙ＝，（ ） 看作幂函数时，Ｙ，：占（ ）．，（ ）ｓ（ ．，（ ）’ 所以２．２．３“幂＋指”求导法 将幂指函数的求导问题转化为指数函数与幂函数的求导问题， ｙ ，（ ） 扛）Ｉｎｆ（ｘ）苫 ）· ｇ（ｘ）．，（ ） ，（ｘｙ 证：由于 ＝ ，ｘｅＲ为对数函数 ＝ｌｏｇ Ｙ，Ｙ∈（０，＋ｏ。）的反函数， 故： １ｔ＝ 一一—Ｉ＿：ａｒＩｎ口 （１ｏｇ ） ｌｏｇ ｅ 例４．求Ｙ＝（ｔａｎ力 的导数。 解：①把Ｙ：（ｔａｎｘ） 看作幂函数求导： Ｙ’＝ｓｉｎｘ（ｔａｎ ）ｄｎｘ－１．（ｔａｎ ）’＝（ｔａｎ ） ．ｓｅｃ 例１．求Ｙ＝２ 的导数． 解：ｙｔ：（２ ）ｔ：２…．Ｉｎ２．ｃｏｓ ：Ｉｎ２．ｃ０ｓ ．２ ２．１．２幂函数的求导 ②把ｙ＝（ｔａｎｘ）一看作指数函数求导： Ｙ’＝（ｔａｎｘ） ．ｈａｔａｎｘ．（ｓｉｎｘ）’＝（ｔａｎｘ）＇ｍＬＩｎｔａｎｘ．ＣＯＳＸ 所以幂指函数的导数为： ｙ’＝（ｔａｎｘ） ．ｓｅｃｘ＋（ｔａｎｘ）＇ｉ＂ＬＩｎｔａｎｘ．ＣＯＳＸ：（ｔｎ ）ａ ［ｃｏｓ １ｎｔｎ ＋ｓｅｃ 】ａ ．ｙ＝ 为常数）ｙ’＝ＯＪＣ ２．２幂指函数的求导 形如Ｙ＝ｆ（ｘ）ｇ“ （，（ ）＞ｏ）的函数称为幂指函数，幂指函数的由 ’ ｄ）￡磷ｄｘ ８ｇ如 来是因为它既不是幂函数也不是指数函数，但它像幂函数也像指数 而 ＝ｇ．ｆ （此时ｙ是幂函数）， ａｙ＝ｆｅｌｎｆ（此时函数，因此，我们可以考虑将其转换为幂函数或指数函数的形式进 ｙ是指数函 行求导。 数） ２．２．１指数求导法耐数恒等求导法） 所以Ｙ’＝ｇ．ｆｇ－Ｉ．ｆ，＋， ．Ｉｎｆ．ｇ’ ，２．２．４多元函数求导法（将ｙ＝， ） 作二元复合函数） 令Ｙ：ｆ ，ｆ＝，（ ，ｇ—ｇ（ ）利用多元函数求全导的求法可得： 立：鱼塑＋鱼塑 ：．ｙ＝，（ ） （ ）：ｅｇ（ｘ） ，ｏ） 例５．求Ｙ＝（ｔａｎ ） 的导数。 解：令Ｙ＝ｆ ，ｆ：ｔａｎ ｇ＝ｓｎｘ，则 ｉ’Ｙ’＝（ｅｇ（Ｘ）ｌｎｆ（ｘ））’＝ｅｇ（Ｘ）ｈｆ（ｘ）（ｇ（ｘ）Ｉｎ，（ ））’ Ｐ ｍ 【ｇ（ ）’ｈａ，（ ）＋— ．，（ ）：ｇ（ ）】 ，Ｌ ， ： ． ＋安． ：ｇ ＋ ｍ，－ｃ。ｓ ｓｉｎｘ（ｔａｎ 血 ．（ｓｃｃ ） ＋ｔａｎ …Ｉｎｔａｎｘ．ＣＯＳＸ 例２．求Ｙ＝（ｔａｎｘ）～的导数。 解： Ｙ’＝“ｔａｎ ）蛐 ）’＝ｅ ＝＝（ｔａｎｘ） “［ｓｅｃｘ＋ＣＯＳＸ．Ｉｎｔａｎ明 由此例题我们可以知道：同一道题我们用上述的四种方法都可 以，但在不同的情况下我们选择不同的方法会使之简单。本文从与 （１越ｌ ） ［（ｓｉｎｘ） ＋ｌｎｔａｎｘ＋ｓｉｎｘ（１ｎｔａｎｘ） １ 幂指函数有关的指数函数和幂函数出发，总结出幂指函数的定义。 （ｔａｎ “【ｃｏｓ ｌｎｔａｎｘ＋ｓｅｅｘ】 其次，通过例题归纳总结常用的四种求导方法：指数求导法（对数恒 等求导法）；对数求导法；“幂＋指”求导法；多元函数求导法。 ２．２．２对数求导法 参考文献 将Ｙ：厂（ ） 两边同时取对数，再用隐函数的求导进行求导， 【ｌ】华东师范大学数学系编．数学分析【Ｍ］．北京：高等教育出版社． Ｙ＝，（ ） 咎Ｉｎ Ｙ：Ｉｎ，（ ） ‘ ＝ｇ（ ）Ｉｎ，（ ） 【２］陈纪修．数学分析［上册ⅡＭ】．北京：高等教育出版社，２００４，５． （１ｎ ｙ）’＝（Ｉｎｆ（ ） ’）’甘Ｙ’．二＝（ｇ（ ）Ｉｎ，（ ））’ ［３１宋振新，王艳梅．幂指函数导数的计算方法［Ｊ】．唐山师范学院学报， Ｙ ２００６（５）． ｙ’． １【４］洪晓枝．幂指函数求导方法简介［Ｊ］．科教文汇（上半月），２００６（１２）． ［５】洪晓枝．幂指函数求导方法简介【Ｊ】．科技资讯，２００７（７）． 净 ｙ［ ｎ ）＋ ＿，（ｎ ）】 ［６】牟录贵，刘永莉．幂指函数求导法探析［Ｊ１．甘肃高师学报，２００５（２）． ［７】黄锡年．幂指函数求导的又一种方法［Ｊ］．重庆三峡学院学报，２００２ （ｓｉｎｘ．Ｉｎｔａｎｘ）’ ’ ＝＝ ＝ １ｎｍ）＋志．，（ ） ¨ｎ ）＋ ＿，（ｎ 辛ｙ’＝ｆ（ｘ ）】 （３）．
