【单元练】徐州一中九年级数学上册第二十四章《圆》经典测试(含答案解析)

一、选择题

1．在ABC中，C90,AC4,BC3，把它绕AC旋转一周得一几何体，该几何

体的表面积为（ ） A．24 解析：A 【分析】

以直线AC为轴旋转一周所得到的几何体的表面积是圆锥的侧面积加底面积，根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】

解：根据题意得：圆锥的底面周长6， 所以圆锥的侧面积B．21

C．16.8

D．36A

16515， 2圆锥的底面积329，

所以以直线AC为轴旋转一周所得到的几何体的表面积15924． 故选：A． 【点睛】

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式．

2．如图，AB是О的直径，CB,CD是О的弦，且CBCD,CD与AB交于点E，连接OD．若AOD40,则D的度数是（ ）

A．20 解析：B 【分析】

B．35 C．40 D．55B

连接BD，得到∠DOB=140°，求出∠CDB，∠ODB即可； 【详解】 如图：连接BD， ∵ ∠AOD=40°， ∴∠DOB=180°-40°=140°， ∴ ∠DCB=

1∠DOB=70°， 2∵ CB=CD，

∴ ∠CBD=∠CDB=55°，

∵DO=BO，

∴∠ODB=∠OBD=20°， ∴∠CDO=∠CBO，

∴∠CDO=∠CDB-∠ODB=35°， 故选：B．

【点睛】

本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识； 3．如图，A是

B上任意一点，点C在B外，已知AB2，BC4，△ACD是等

边三角形，则△BCD的面积的最大值为（ ）

A．434 解析：A 【分析】

B．43 C．438 D．63A

以BC为边作等边BCM，连接DM，则△DCM△CAB，根据全等三角形的性质得到DM=AB=2为定值，即点D在以M为圆心，半径为2的圆上运动，当点D运动至BC为中垂线与圆的交点时，BC边上的高取最大值为232，根据三角形的面积即可得到结论． 【详解】

解：以BC为边作等边BCM，连接DM，

∵∠DCA∠MCB60， ∴∠DCM∠ACB， ∵DC=AC，MC=BC，

∴△DCM△CAB（SAS），

∴DM=AB=2为定值，

即点D在以M为圆心，半径为2的圆上运动，当点D运动至BC为中垂线与圆的交点时，BC边上的高取最大值为232， 此时面积为：434 故选：A 【点睛】

本题考查了等边三角形的性质，三角形面积的计算，找出点D的位置是解题的关键． 4．为落实好扶贫工作，某村驻村干部帮助村民修建了一个粮仓，该粮仓的屋顶是一个圆锥，为了合理购买、不浪费原材料，需要进行计算1个屋顶的侧面积大小，该圆锥母线长为5m，底面圆周长为8m，则1个屋顶的侧面积等于（ ）m2．（结果保留）

A．40 解析：B 【分析】

B．20 C．16 D．80B

先根据底面周长可求得底面圆的半径，再根据圆锥的侧面积公式计算即可求解． 【详解】 解：∵2πr=8π， ∴r=4， 又∵母线l=5，

∴圆锥的侧面积＝πrl＝π×4×5＝20π． 故选：B． 【点睛】

本题考查了圆锥的侧面积计算方法，牢记有关圆锥和扇形之间的对应关系是解决本题的关键．

5．如图，在三角形ABC中，AB=22，∠B=30°，∠C=45°，以A为圆心，以AC长为半径作弧与AB相交于点E，与BC相交于点F，则弧EF的长为( )

A．

 6B．

 2C．

2 3D．A

解析：A 【分析】

过A作AD⊥BC，连接AF，求出∠FAE，再利用弧长计算公式计算EF的长即可． 【详解】

解：过A作AD垂直BC，连接AF，如图，

∵AB22,B30,C45，可得AD=CD=2 ∴AC=2， ∵AC=AF

∴∠AFC=∠C=45°，

∴∠FAE=∠AFC-∠B=45°-30°=15° ∴EF的长为：故选：A 【点睛】

此题主要考查了弧长的计算，关键是掌握弧长计算公式． 6．已知⊙O，如图， （1）作⊙O的直径AB；

（2）以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点； （3）连接CD交AB于点E，连接AC，BC．

根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CEDE；②BE3AE；③BC2CE．其中正确的推断的个数是（ ）

152=

6180

A．0个 解析：D 【分析】

B．1个 C．2个 D．3个D

①根据作图过程可得ACAD，根据垂径定理可判断；

②连接OC，根据作图过程可证得△AOC为等边三角形，由等边三角形的性质即可判断； ③根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可判断． 【详解】

解：①∵以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点，

∴ACAD，

根据垂径定理可知，AB⊥CE，CE=DE， ∴①正确；

②连接OC，∵AC=OA=OC， ∴△AOC为直角三角形， ∵AB⊥CE， ∴AE=OE， ∴BE=BO+OE=3AE， ∴②正确； ③∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠CAB=60°， ∴∠ABC=30°， ∴BC=2CE， ∴③正确， 故选：D．

【点睛】

本题考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质，理解基本作图知识，熟练掌握各基本性质和综合运用是解答的关键．

7．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，CDB28，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则E等于（ ）

A．28 解析：B 【分析】

B．34 C．44 D．56B

连接OC，由CE为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CE，由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再利用外角性质求出∠COE的度数，即可求出∠E的度数． 【详解】

解：连接OC，

∵CE为圆O的切线， ∴OC⊥CE， ∴∠COE=90°，

∵∠CDB与∠BAC都对BC，且∠CDB=28°， ∴∠BAC=∠CDB=28°， ∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=28°， ∵∠COE为△AOC的外角， ∴∠COE=56°， 则∠E=34°． 故选：B． 【点睛】

此题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．

8．如图△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，则

AD 的度数为（ ）

A．28° 解析：B 【分析】

B．56 ° C．62° D．112°B

连接CD，如图，利用互余计算出∠A=62°，则∠A=∠ADC=62°，再根据三角形内角和定理计算出∠ACD=56°，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解． 【详解】

解：连接CD，如图，

∵∠C=90°，∠B=28°， ∴∠A=90°-28°=62°， ∵CA=CD， ∴∠A=∠ADC=62°， ∴∠ACD=180°-2×62°=56° ∴AD的度数为56°； 故选：B． 【点睛】

本题考查了同圆的半径相等、直角三角形的两锐角互余、等腰三角形的性质，熟练进行逻辑推理是解题关键．

9．如图，⊙O的直径AB2，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于E，交AM于

D，交BN于C，则四边形ABCD的面积S的最小值为（ ）

A．1 解析：C 【分析】

由切线的性质得到AM、BN与AB垂直，过点D作DF⊥BC于F，，构造一个直角三角形DFC，再由切线长定理和勾股定理列方程，得出关于y的函数关系式，根据直角梯形的面积公式求解． 【详解】

∵AB是直径，AM、BN是切线， ∴AM⊥AB，BN⊥AB，

B．2

C．2

D．4C

∴AM∥BN．

过点D作DF⊥BC于F，则AB∥DF．

∴四边形ABFD为矩形． ∴DF＝AB＝2，BF＝AD． ∵DE、DA，CE、CB都是切线，

∴根据切线长定理，设DE＝DA＝x，CE＝CB＝y．

在Rt△DFC中，DF＝2，DC＝DE+CE＝x+y，CF＝BC﹣BF＝y﹣x， ∴（x+y）2＝22+（y﹣x）2，

∴y＝

1， x1111AB（AD+BC）＝×2×（x+），即S＝x+（x＞0）． 22xx∴四边形的面积S＝∵（x+∴x+

111）﹣2＝x﹣2+＝（x﹣）2≥0，当且仅当x＝1时，等号成立．

xxx1 ≥2，即S≥2， x∴四边形ABCD的面积S的最小值为2． 故选：C． 【点睛】

考查了切线的性质、平行线的判定、矩形的性质和勾股定理，解题关键是作出辅助线． 10．如图，⊙O 是四边形 ABCD 的内切圆，连接 OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝110°，则∠COD 的度数是（ ）

A．60° 解析：B 【分析】

B．70° C．80° D．45°B

设四个切点分别为E、F、G、H，分别连接切点和圆心，利用切线性质和HL定理可以得到

4对全等三角形，进而可得∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，根据8个角之和为360°即可求解． 【详解】

解：设四个切点分别为E、F、G、H，分别连接切点和圆心， 则OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，OH⊥AD，OE=OF=OG=OH， 在Rt△BEO和△BFO中，

OEOF， OBOB∴Rt△BEO≌△BFO（HL） ∴∠1=∠2，

同理可得：∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8， ∴∠1+∠8=∠2+∠7，∠4+∠5=∠3+∠6， ∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360°， ∴∠1+∠8+∠4+∠5=180°， 即∠AOB+∠COD=180°， ∵∠AOB=110°，

∴∠COD=180°﹣∠AOB=180°﹣110°=70°， 故选：B．

【点睛】

本题考查了圆的切线性质、全等三角形的判定与性质，利用圆的的切线性质，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．

二、填空题

11．一排水管截面如图所示，截面半径OA13dm，水面宽AB10dm，则圆心O到水面的距离OC______dm．

12【分析】根据垂径定理求出AC=5dm再根据勾股定理求出

OC即可【详解】∵OC⊥AB∴AC=5dm在Rt△AOC中∴OC==12dm故答案为：12【点睛】此题考查垂径定理勾股定理熟记垂径定理是解题

解析：12

【分析】

根据垂径定理求出AC=5dm，再根据勾股定理求出OC即可． 【详解】

∵OC⊥AB，AB10dm， ∴AC=5dm，

在Rt△AOC中，OA13dm， ∴OC=OA2AC213252=12dm，

故答案为：12 【点睛】

此题考查垂径定理，勾股定理，熟记垂径定理是解题的关键． 12．已知

O的直径AB10cm，CD是O的弦，AECD，垂足为点E，

BFCD，垂足为点F，且CD8cm，则BFAE的长为________cm．

6【分析】如图作OH⊥CD于H连接AH延长AH交BF于K

连接OC证明AE=FK利用勾股定理求出OH再利用三角形的中位线定理求出BK即可解决问题【详解】解：如图作OH⊥CD于H连接AH延长AH交BF于

解析：6 【分析】

如图，作OH⊥CD于H，连接AH，延长AH交BF于K，连接OC．证明AE=FK，利用勾股定理求出OH，再利用三角形的中位线定理求出BK即可解决问题． 【详解】

解：如图，作OH⊥CD于H，连接AH，延长AH交BF于K，连接OC．

∵OH⊥CD，

∴CH=DH=4（cm），∠CHO=90°，

∴OH=OC2CH25242=3（cm）， ∵AE⊥CD，BF⊥CD， ∴AE∥OH∥BF， ∵OA=OB，

∴EH=FH，

∵∠AEH=∠KFH=90°，∠AHE=∠FHK， ∴△AEH≌△KFH（AAS）， ∴AH=HK，AE=FK， ∵AO=OB， ∴OH=

1BK， 2∴BK=6（cm），

∴BF-AE=BF-FK=BK=6（cm）． 故答案为6． 【点睛】

本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

13．如图，已知点C是半圆О上一点，将弧BC沿弦BC折叠后恰好经过点O,若半圆O的半径是2,则图中阴影部分的面积是________________________．

【分析】过点O作OD⊥BC于E交半圆O于D点连接CD

如图根据垂径定理由OD⊥BC得BE＝CE再根据折叠的性质得到ED＝EO则OE＝OB则可根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OBC＝30°即∠AB

2解析：

3【分析】

过点O作OD⊥BC于E，交半圆O于D点，连接CD，如图，根据垂径定理由OD⊥BC得BE＝CE，再根据折叠的性质得到ED＝EO，则OE＝

1OB，则可根据含30度的直角三角形2三边的关系得∠OBC＝30°，即∠ABC＝30°则∠AOC=60°，由于OC＝OB，则弓形OC的面积＝弓形OB的面积，然后根据扇形的面积公式及S阴影部分＝S扇形OAC即可得到阴影部分的面积． 【详解】

如图：过点O作OD⊥BC于E，交半圆O于D点，连接CD，

∵OD⊥BC， ∴BE＝CE，

∵半圆O沿BC所在的直线折叠，圆弧BC恰好过圆心O， ∴ED＝EO，

∴OE＝

1OB， 2∴∠OBC＝30°，即∠ABC＝30°， ∴∠AOC=60°； ∵OC＝OB，

∴弓形OC的面积＝弓形OB的面积，

60222∴S阴影部分＝S扇形OAC＝ ．

3603【点睛】

本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了垂定定理、圆周角定理和扇形的面积公式．

14．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则图中阴影部分的面积是______．（结果用含的式子表示）

【分析】已知BC为直径则∠CDB=90°在等腰直角三角

形ABC中CD垂直平分ABCD=DBD为半圆的中点阴影部分的面积可以看做是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差【详解】解：由题可知△ACB为等腰 解析：1

【分析】

已知BC为直径，则∠CDB=90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD=DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看做是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差． 【详解】

解：由题可知△ACB为等腰Rt△ACB， 在Rt△ACB中，AB=222222， ∵BC是半圆的直径， ∴∠CDB=90°，

在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，

则△ADC和△BDC都为等腰直角三角形，CD=BD=AD， 令 CD=BD=AD=x，则x2x222， x2，

90221S阴影部分=S扇形ACB-S△ADC=3602221 ．

故答案为：1． 【点睛】

本题考查了扇形面积的计算公式及不规则图形面积的求法，掌握扇形的面积公式是解题的关键．

15．如图，PA,PB切⊙O于A,B，点C在AB上，DE切⊙O于C，PO10cm,⊙O的半径为6cm，则△PDE的周长是_________cm．

16【分析】连接OAOB由切线长定理可得：

PA=PBDA=DCEC=EB；由勾股定理可得PA的长△PDE的周长=PD+DC+CE+PE=PD+DA+PE+EB=PA+PB即可求得△PDE的周长【详解

解析：16 【分析】

连接OA、OB，由切线长定理可得：PA=PB，DA=DC，EC=EB；由勾股定理可得PA的长，△PDE的周长=PD+DC+CE+PE=PD+DA+PE+EB=PA+PB，即可求得△PDE的周长． 【详解】

解：连接OA、OB，如图所示：

∵PA、PB为圆的两条切线， ∴由切线长定理可得：PA=PB， 同理可知：DA=DC，EC=EB； ∵OA⊥PA，OA=6cm，PO=10cm， ∴由勾股定理得：PA=8cm， ∴PA=PB=8cm；

∵△PDE的周长=PD+DC+CE+PE，DA=DC，EC=EB； ∴△PDE的周长=PD+DA+PE+EB=PA+PB=16cm， 故答案为：16． 【点睛】

本题考查的是切线长定理，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长． 16．如图所示，已知矩形ABCD的边AB3cm，AD4cm．以点A为圆心作圆，使B，C，D三点中至少有一点在圆外，且至少有一点在圆内，此圆半径R的取值范围是______．

【分析】使BCD三点至少有一个在圆内且至少有一个

在圆外也就是说圆的半径不能小于AB不能大于AC可求得AC=5所以3【分析】

使B、C、D三点至少有一个在圆内，且至少有一个在圆外，也就是说圆的半径不能小于AB,不能大于AC，可求得AC=5，所以3∵ 在矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，∠ABC=90°，BD=AC， ∴AC=BD=AB2AD232425cm，

∴AB∵B，C，D三点中至少有一点在⊙A内，且至少有一点⊙A在外， ∴点B一定在⊙A内，点C一定在⊙A外，

∴⊙A半径R的取值范围应大于AB的长，小于对角线AC的长，即3【点睛】

本题考查确定点与圆的位置关系，解题的关键是掌握确定点到圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d，圆的半径为r，则d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当dO的内接正方形、内接正三角形的边，BC是圆内接正n边

形的一边，则n的值为_______________________．

【分析】根据正方形以及正三边形的性质得出进而得出即可

得出n的值【详解】解：如图所示连接AOBOCO∵ABAC分别为⊙O的内接正方形内接正三边形的一边∴∴∴故答案为：12【点睛】此题主要考查了正多边形 解析：12

【分析】

根据正方形以及正三边形的性质得出AOB而得出BOC30，即可得出n的值． 【详解】

解：如图所示，连接AO，BO，CO．

360360120，进90，AOC34

∵AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的一边， ∴AOB360360120， 90，AOC34∴BOC30， ∴n36012， 30故答案为：12． 【点睛】

此题主要考查了正多边形和圆的性质，根据已知得出BOC30是解题关键． 18．如图，已知AD为半圆形O的直径，点B，C在半圆形上，ABBC，

BAC30，AD8，则AC的长为________．

【分析】连接CD由已知可以得到∠B=120°所以∠D=60°然

后在Rt△ACD中计算AC即可【详解】解：如图所示连接CD∵∴∠B=120°∴∠D=60°∵AD为直径∴∠ACD=90°∴CD=4∴AC 解析：43 【分析】

连接CD，由已知可以得到∠B=120°，所以∠D=60°，然后在Rt△ACD中计算AC即可． 【详解】

解：如图所示，连接CD

∵ABBC，BAC30 ∴∠B=120° ∴∠D=60° ∵AD为直径 ∴∠ACD=90° ∴CD=4 ∴AC=43 【点睛】

本题主要考查圆的内接四边形对角性质，掌握直径所对的圆周角是90°和圆的内接四边形对角互补是解题的关键．

19．扇形 的半径为6cm，弧长为10cm，则扇形面积是________．30【分析】结合题意

根据弧长计算公式计算得弧长对应圆心角；再结合扇形面积公式计算即可得到答案【详解】∵扇形的半径为6cm弧长为10cm∴弧长对应的圆心角n为：∴扇形面积为：故答案为：30【点睛】本题

解析：30cm2 【分析】

结合题意，根据弧长计算公式，计算得弧长对应圆心角；再结合扇形面积公式计算，即可得到答案． 【详解】

∵扇形的半径为6cm，弧长为10cm ∴弧长对应的圆心角n为：

10180300 6n6230036∴扇形面积为：30cm2

360360故答案为：30cm2．

【点睛】

本题考查了弧长、扇形面积计算的知识；解题的关键是熟练掌握弧长、扇形的性质，从而完成求解．

20．如图所示，在⊙O中，AB为弦，交AB于AB点D，且OD=DC，P为⊙O上任意一点，连接PA，PB，若⊙O的半径为1，则S△PAB的最大值为_____.

【分析】作直径CE连OAAEBE利用垂经定理的AD=BD在利用

勾股定理计算出AD则AB=2AD当点P与点E重合时P点到AB的距离最大然后根据三角形面积公式求解即可【详解】延长CD交⊙O于点E连接OA 解析：33 4【分析】

作直径CE，连OA、AE、BE，利用垂经定理的AD=BD，在利用勾股定理计算出AD，则AB=2AD，当点P与点E重合时，P点到AB的距离最大，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】

延长CD交⊙O于点E，连接OA，AE，BE如图， ∵OA=OC=1，OD=CD， ∴OD=CD=

11OC=， 22∵OC⊥AB， ∴AD=OA2OD2AD=BD=

3， 21AB， 2AB=2AD=3，

OD1， OA2∴∠OAD=30º，

∴sin∠OAD=

∴∠AOD =90º-∠OAD =60º， ∵OA =OE， ∴∠OAE=∠OEA， ∵∠AOD=∠OAE+∠OEA， ∴∠OAE=∠OEA=30º， ∵CE⊥AB，

∴AE=BE，

∴∠OEB=∠OEA=30º， ∴∠AEB=∠OEB+∠OEA=60º， ∴△ABE是等边三角形， ∴AE=AB=3， DE=AE2AD23， 2S△ABE=

133， ABDE24∵在△ABP中，当点P与点E重合时，AB边上的高取最大值，此时△ABP的面积最大， ∴S△ABP的最大值=

33． 4故答案为：

33． 4

【点睛】

本题考查三角形面积，掌握垂经定理，勾股定理，和引辅助线构造图形，找到当点P与点E重合时，P点到AB的距离最大，然后根据三角形面积公式求解是解题关键．

三、解答题

21．如图，AB是

O的直径，CD是O的一条弦，且CDAB于点E．

（1）若A50，求OCE的度数； （2）若CD42，AE2，求解析：（1）10；（2）3 【分析】

(1)首先求出 ∠ADE 的度数，再根据圆周角定理求出 ∠AOC 的度数，最后求出 ∠OCE 的度

O的半径．

数；

(2)由弦CD 与直径 AB 垂直，利用垂径定理得到 E为CD 的中点，求出 CE 的长，在直角三角形 OCE 中，设圆的半径 OC = r ，OE = OA-AE ，表示出 OE ，利用勾股定理列出关于 r 的方程，求出方程的解即可得到圆的半径 r 的值． 【详解】 解：1CDAB，A50，

ADE40．

AOC2ADE80， OCE908010；

2因为AB是圆O的直径，且CDAB于点E，

所以CE11CD4222， 22在RtOCE中，OC2CE2OE2，

设圆O的半径为r，则OCr，OEOAAEr2，所以r2(22)2(r2)2， 解得：r3． 所以圆O的半径为3． 【点睛】

此题考查了垂径定理，勾股定理，以及圆周角定理，熟练掌握定理是解本题的关键． 22．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，OD交⊙O于点D，点E在⊙O上，若∠AOD＝50°． （1）求∠DEB的度数； （2）若OC＝3，OA＝5， ①求弦AB的长； ②求劣弧AB的长．

解析：（1）25°；（2）①8；②【分析】

25 9（1）由垂径定理，可知ADBD，再由圆周角定理求得∠DEB的度数． （2）①由勾股定理可得AC=4，由垂径定理可知，AC＝BC＝②根据弧长公式即可求得答案． 【详解】

解：（1）∵OD⊥AB，

1AB＝4，即可求解； 2∴ADBD， ∴∠AOD＝∠BOD ∴∠DEB＝

11∠AOD＝×50°＝25°． 22（2）①∵OC＝3，OA＝5， ∴AC＝4， ∵OD⊥AB， ∴ADBD∴AC＝BC＝∴AB＝8；

②∵∠AOD＝50°，ADBD， ∴∠AOB＝100°， ∵OA＝5， ∴AB的长＝【点睛】

本题考查了圆周角定理、垂径定理，勾股定理及弧长公式．解答关键是应用垂径定理求得AC＝BC＝23．在

1AB， 21AB＝4， 2nr100525． 18018091AB＝4． 2O中，弦CD与直径AB相交于点P,ABC62．

（1）如图1，若APC100，求BAD和CDB的大小;

（2）如图2，若CDAB，过点D作的大小．

O的切线，与AB的延长线相交于点E，求E

解析：（1）BAD38，CDB28；（2）E34． 【分析】

（1）首先利用三角形外角的性质即可求出∠BAD的度数，然后利用圆周角定理及其推论即可求出∠CDB的度数；

（2）首先根据直角三角形两锐角互余得出∠PCB的度数，然后根据切线的性质及圆周角定理即可得出答案． 【详解】 （1）如图1，

APCABCBCP,

又

APC100,ABC62，

BCD38, BADBCD38,

AB是O的直径，

ADB90, ADCABC62, CDB28．

（2）如图2，连接OD,AD，

则AADO,

CDAB,

BPCAPD90, ABC62,

BCPDAP28． DOP56, ODP34,

DE是O的切线，

ODE90,

EODP34．

【点睛】

本题主要考查圆的综合问题，掌握切线的性质，圆周角定理及其推论是解题的关键． 24．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B在小正方形的顶点上，将线段AB绕着点O顺时针方向旋转90°，得到线段A1B1． （1）在网格中画出线段A1B1

（2）计算线段AB在变换到A1B1的过程中扫过的区域的面积（重叠部分不重复计算）

解析：（1）见解析；（2）2． 【分析】

（1）分别连接AO、BO，均以O为圆心顺时针旋转90°，找到对应点连接即可；（2）根据图形可知S扫过面积S扇形AOA1S扇形BOB1计算即可． 【详解】 解：（1）见图：

（2）根据图形可知OA＝13，OB＝5 2901313nrS扇形AOA1＝＝＝ 360436029055nrS扇形BOB1＝＝＝

4360360S扫过面积＝

【点睛】

135－＝2 44本题主要考查图形的旋转的性质、勾股定理、扇形的面积、割补法求面积、画图等．解题关键是正确画出图形，再根据图形的进行计算，利用大扇形的面积减去小扇形的面积可得．

25．如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上． （1）若∠ABC=120°，求∠AOC的度数；

（2）在（1）的条件下，若点B是弧AC的中点，求证：四边形OABC为菱形．

解析：（1）∠AOC=120°；（2）见解析 【分析】

（1）先由圆内接四边形的性质得∠ADC=60°，再由圆周角定理即可得出答案； （2）证△OAB和△OBC都是等边三角形，则AB=OA=OC=BC，根据菱形的判定方法即可得到结论． 【详解】

（1）∵A、B、C、D四点都在⊙O上 ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∵∠ABC=120°， ∴∠ADC=60°， ∴∠AOC=2∠ADC=120°；

（2）连接OB，如图所示：

∵点B是弧AC的中点，∠AOC=l20°， ∴∠AOB=∠BOC=60°， 又∵OA=OC=OB，

∴△OAB和△OBC都是等边三角形， ∴AB=OA=OC=BC， ∴四边形OABC是菱形． 【点睛】

本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及菱形的判定． 26．如图，AB、CD是

O中两条互相垂直的弦，垂足为点E，且AECE，点F是

BC的中点，延长FE交AD于点G，已知AE1,BE3,OE2．

（1）求证：AED≌CEB； （2）求证：FGAD； （3）求

O的半径．

解析：（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析；（3）5 【分析】

（1）由圆周角定理得∠A=∠C，由ASA得出AED≌CEB； （2）由直角三角形斜边上的中线性质得EF=

1BC=BF，由等腰三角形的性质得21AB=2，则EH=AH-AE=1，由勾2∠FEB=∠B，由圆周角定理和对顶角相等证出∠A+∠AEG=90°，进而得出结论； （3）作OH⊥AB于H，连结OB，由垂径定理可得AH=BH=股定理求出OH=1，OB=5，而OB的长即为【详解】

O的半径．

（1）证明：由圆周角定理得∠A=∠C， 在△AED和△CEB中，

AC， AECEAEDCEB∴△AED≌△CEB（ASA）． （2）证明：∵AB⊥CD， ∴∠AED=∠CEB=90°， ∴∠C+∠B=90°， ∵点F是BC的中点， ∴EF=

1BC=BF， 2∴∠FEB=∠B，

∵∠A=∠C，∠AEG=∠FEB=∠B， ∴∠A+∠AEG=∠C +∠B =90°， ∴∠AGE=90°， ∴FGAD．

（3）解：作OH⊥AB于H，连结OB，

∵AE=1，BE=3， ∴AB=AE+BE=4， ∵OH⊥AB， ∴AH=BH=

1AB=2， 2∴EH=AH-AE=1， ∴OH=OEEH2222121，

∴OB=BH2OH222125， 即

O的半径为5．

【点睛】

本题考查了圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理等知识．本题综合性较强，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．

27．如图，

O的半径为2，四边形ABCD内接于O，圆心O到AC的距离等于3.

（1）求AC的长； （2）求ADC的度数.

解析：（1）2；（2）150 【分析】

（1）过点O作OEAC于点E，根据勾股定理求出CE，即可得出答案； （2）连接OA，先求出AOC60，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出∠B=30°，即可得出答案． 【详解】

（1）过点O作OEAC于点E，如图，

则在RtOCE中，OE3；OC2， ∴CEOC2OE2∴AC2CE2； （2）连接OA，如图：

22321

∵由（1）知，在△AOC中，ACOAOC， ∴AOC60， ∵弧AC=弧AC，

1AOC30， 2∴ADC180B18030150． 【点睛】

∴B本题考查了垂径定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，掌握这些知识点是解题关键． 28．如图，

O是ABC的外接圆，且ABAC，点D在弧BC上运动，过点D作

DE//BC，DE交AB的延长线于点E，连接AD、BD．

（1）求证：ADBE；

（2）当AB6，BE3时，求AD的长？ （3）当点D运动到什么位置时，DE是

O的切线？请说明理由．

解析：（1）见解析；（2）AD36；（3）理由见解析． 【分析】

（1）根据圆周角定理及平行线的性质不难求解；

（2）根据题意证明ABD∼ADE，列出比例式即可求解；

（3）要使DE是圆的切线，那么D就是切点，AD⊥DE，又根据AD过圆心O，BC∥ED，根据垂径定理可得出D应是弧BC的中点． 【详解】

（1）在ABC中，∵ABAC，

∴ABCC. ∵DE//BC， ∴ABCE， ∴EC. 又∵ADBC， ∴ADBE.

（2）解：∵ABCAED，∠ABCACB，ADBACB， ∴ADBE，BADBAD，

ABD∼ADE， ABAD∴， ADAE又AB6，BE3，

∴

∴AD36.

（3）当点D是弧BC的中点时，DE是又∵DE//BC， ∴ADED. ∴DE是【点睛】

本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，平行线的性质，垂径定理相似三角形的判定与性质等知识点，正确运用好圆心角，弧，弦的关系是解题的关键．

O的切线.

∵当点D是弧BC的中点时，ADBC，且AD过圆心O，

O的切线．