【高考冲刺】2019-2020学年下学期高二数学(人教A版 选修2-3) 课时作业8

1．设集合A＝{a，b，c，d，e}，B⊆A，已知a∈B，且B中含有3个元素，则集合B有( ) A．A24个 C．A35个 答案 B

解析 即B＝{a，x，y}．x，y在A中任取，是组合问题． ∴集合B有C24个．

2．已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有( ) A．36个 C．63个 答案 D

解析 此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有C9＝126个．

3．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )

A．120种 C．36种 答案 C

4．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( )

A．140种 C．35种 答案 D

5．某科技小组有六名学生，现从中选出三人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为( )

A．2 C．4 答案 A

解析 设男生人数为x，则女生有(6－x)人． 依题意C6－Cx＝16，

即x(x－1)(x－2)＋16×6＝6×5×4，

3

3

4

B．C24个 D．C35个

B．72个 D．126个

B．48种 D．18种

B．120种 D．34种

B．3 D．5

- 1 -

∴x(x－1)(x－2)＝2×3×4，∴x＝4.即女生有2人．

6．甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )

A．150种 B．180种 C．300种 D．345种 答案 D

解析 分类：若这名女同学是甲组的，则选法有C3C5C6，若这名女同学是乙组的，则选法有C5C2C6.

∴符合条件的选法共有C3C5C6＋C5C2C6＝345种．

7．从编号为1、2、3、4的四种不同的种子中选出3种，在3块不同的土地上试种，每块土地上试种一种，其中1号种子必须试种，则不同的试种方法有( )

A．24种 B．18种 C．12种 D．96种 答案 B

8．假设在200件产品中，有3件次品，现在从中任意抽出5件，其中至少有2件次品的抽法有( )

A．C3C197种 C．(C200－C19)种 答案 B

思路分析 这是一个抽样问题，200件产品中有3件次品，从中任意抽出5件，而且其中至少有2件次品，由“至少”可知，5件产品中可以有2件次品或3件次品，可以应用“直接法”．

也可以采用“间接法”，先不论次品，抽去5件产品的抽法数除去没有次品和只有1件次品的抽法数之和，即可解决问题．

解析 方法一 (直接法)至少有两件次品的抽法有两种可能，即①2件次品，3件合格品有：C3C197种；

②3件次品，2件合格品有：C3C197种．

由分类计数原理得抽法种数为(C3C197＋C3C197)种． 所以应选B.

方法二 (间接法)不论次品，抽法有C200种，恰有1件次品的抽法数为C3C197种，没有次品的抽法种数为C197种，所以至少有2件次品的抽法种数为(C200－C197－C3C197)种．所以应选B.

点评 理解对“至少”“至多”等词的含义，分清事件的类别，用直接法解；或者是反面考虑，用间接法解答．

9.

- 2 -

5

5

5

14

5

14

23

32

32

23

5

5

23

112

211

211

112

B．(C3C197＋C3C197)种 D．(C200－C3C197)种

5

14

2332

某城市街道如右图所示，某人要用最短路程从A地前往B地，则不同的走法有( ) A．8种 C．12种 答案 B

思路分析 根据题意可知①要走的路程最短必须走5步，且不能重复；②向东的走法定出后，向北的走法随之确定，所以我们只要确定出向东的三步或向北的两步走法有多少即可．

解析 不同的走有C5＝10(种)，故选B.

点评 因为从A地到B地路程最短，我们可以在地面画出模型，实地实验，探究走法更实际；若东西街道有n条，南北街有m条，则由A到B的最短走法共有Cn＋m＝Cn＋m种．

10．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )

A．85 B．56 C．49 D．28 答案 C

解析 甲、乙、丙都没有入选有C7＝35种；只有丙没有入选有C9＝84种，故甲、乙至少有1人入选而丙没有入选的不同选法种数有84－35＝49(种)．

11．某校开设9门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有________种不同选修的方案．(用数字作答)

答案 75

解析 本题可分作两类，第一类学生不选A、B、C中的任意一门，有C6＝15(种)选法． 第二类学生从A，B，C中选一门，再从其他6门中选3门课程，共有C3C6＝60(种)选法． 所以共有15＋60＝75(种)选法．

点评 要弄清题目是分类还是分步是关键．

12．从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各2台，则不同的取法有________种．

答案 350

解析 完成这个问题共有两类办法．第一类办法：第一步在原装计算机中任意选取2台，有C6种方法；第二步是在组装计算机中任意选取3台，有C5种方法，据乘法原理共有C6·C5种方法．同理，第二类办法共有C6·C5种方法．据加法原理完成全部的选取过程共有C6·C5＋C6·C5＝350种方法．

- 3 -

3

2

2

3

3

2

2

3

2

3

134

3

3

3

B．10种 D．32种

mn13．以正方体的顶点为顶点的四面体个数有________． 答案 58

解析 先从8个顶点中任取4个的取法为C8种，其中，共面的4点有12个，则四面体的个数为C8－12＝58(个)．

14．现有10名学生，其中男生6名．

(1)从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？ (2)从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？

(3)从中选4人，若男生中的甲与女生中的乙必须在内，有多少种选法？ (4)从中选4人，若男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，有多少种选法？ 解析 (1)方法一(直接法)：必须有女生可分两类：第一类只有一名女生，共有C6C4＝24种；第二类有2名女生，共有C4＝6种，根据分类计数原理，必须有女生的不同选法有C6C4＋C4＝30种．

方法二(间接法)：C10－C6＝45－15＝30. (2)C6C4＝90. (3)C8＝28.

(4)方法一(直接法)：可分两类解决：第一类甲、乙只有1人被选，共有C2C8＝112种不同选法；第二类甲、乙两人均被选，有C8＝28种不同选法，根据分类计数原理，男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内的选法有

C2C8＋C8＝112＋28＝140种．

方法二(间接法)：先不考虑要求，从10名学生中任选4名学生，共有C10＝210种，而甲、乙均不被选的方法有C8＝70种，所以甲、乙至少有1人被选上的选法种数是C10－C8＝210－70＝140种．

15．甲、乙、丙三个同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班．可以排出多少种不同的值班表？

解析 方法一(直接法)由题意可分两类：

(1)甲值周六，另一天从周二至周天中再值一天有C4种，乙同学任选2天值班，有C4

种再余2天由丙值班，此时，有C4C4种．

(2)甲不值周六，可从周二至周天中选2天，有C4种，乙从周一至周五中甲不值班的3天中选两天值，方法有C3种，剩下的2天给丙，此时有C4C3种，由分类计数原理，共有C4C4＋C4C3＝42种．

方法二(间接法)甲值周一或乙值周六是不合题意的，故可列式为C4C6－2C5C4＋C4C3＝42种． ►重点班选做题

16．20个不同的小球平均分装在10个格子中，现从中拿出5个球，要求没有两个球取自

- 4 -

22

12

11

22

2

22

12

2

12

1

2

4

4

4

4

13

2

2

13

222

2

2

2

2

1111

4

4

同一格中，则不同的拿法一共有( )

A．C10种 C．C10C2种 答案 D

解析 从5个格子中分别取一个球，每个格子共有2种取法，故共有C10·2种． 17．n个不同的球放入n个不同的盒子中，若恰好有1个盒子是空的，则共有________种不同的方法．

答案 CnAn

解析 (先分组，再排列)：将n个不同的球分成(n－1)组，(其中必有一组有2个元素)的分组方法为Cn，再将这(n－1)组放到n个位去排，有An种排法，故不同的方法为CnAn(种)．

22n－1

5

5

5

15

B．C20种 D．C10·2种

5

5

5

n－12n－1

1．某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内，其中A校定为第一志愿；再从5所一般大学中选3所填在第二档次的三个志愿栏内，其中B、C两校必选，且

B在C前．则此考生不同的填表方法共有________种．

答案 270

解析 选填第一档次的三个志愿栏：因A校定为第一档次的第一志愿，故第一档次的二、三志愿有A6种填法；再填第二档次的三个志愿；B、C两校有C3种填法，剩余的一个志愿栏有A3种填法．由分步计数原理知，此考生不同的填表方法共有A6C3A3＝270(种)．

2．已知集合A＝{x|1≤x≤9，且x∈N}，若p、q∈A，e＝logpq，则以e为离心率的不同形状的椭圆有________个．

答案 26

1

221

2

2

- 5 -