第二章 光辐射的传播

2.1 光辐射的电磁理论

光辐射是电磁波，它服从电磁场基本规律。由于引起生理视觉效应、光化学

效应以及探测器对光频段电磁波的响应主要是电磁场量中的E矢量，因此，光辐

射的电磁理论主要是应用麦克斯韦方程求解光辐射场量E的变化规律。

1. 光辐射的波动方程

在无源（ρ=0）非磁性介质中，运用麦克斯韦方程并经一系列数学运算可以

得到场量E所满足的微分方程

22EPJE022 (2.1-1)

ttt这就是光辐射普遍形式的波动方程。

方程右边两项反映物质对光辐射场量的影响，起“源”的作用，分别由极化电荷与传导电流引起。

J对导体，项起主要作用。

t2P对绝缘体（J=0），2项起主要作用

t对于半导体，两项都起重要作用。

2. 光辐射场的亥姆霍兹方程

it对于简谐波场，场量可表示为 E(r,t)E(r)e， 则(2.1-1)式中场量E的时

间因子可以消去，得到

2E(r)(00rri0r)E(r)0 (2.1-2)

引入复相对介电系数

~irr (2.1-3) rir0(2.1-2) 式可改写为

2~E(r)0rE(r)0 (2.1-4)

这就是光辐射满足的亥姆霍兹方程。

1

3. 均匀介质中的平面波和球面波

对于各向同性的无吸收介质， E0，利用矢量恒等式2EEE，亥姆霍兹方程可改写为

2~E(r)0rE(r)0 (2.1-5)

2上式平面波解的一般形式为

i(tkr0) (2.1-6) E(r,t)E0e球面波解的一般形式为

E0i(tkr0)E(r,t)e (2.1-7)

r式中k为波矢量，0为初相。

5. 电磁场的边界条件

在光电子技术的许多实际应用中，经常涉及在两种或多种物理性质不同的介质交界面（在该处ε、μ发生突变）处光辐射场量之间的关系。这时，求解麦克斯韦方程需要考虑边界条件。

如图1所示，光辐射场的边界条件可以直接由麦克斯韦方程推得：

D1nD2ns (2.1-8)

E1tE2t0式中s为界面面电荷密度。

在光学波段经常遇到的情况是s等于零，这时，界面两侧E的切向分量以及D的法向分量均连续。

1，1，1 Et 2，2，2

En

图1 界面上电场的法向和切向分量

2

2.2 光波在大气中的传播

大气激光通信、探测等技术应用通常以大气为信道。

由于大气构成成分的复杂性以及收受天气等因素影响的不稳定性，光波在大气中传播时，大气气体分子及气溶胶的吸收和散散射会引起的光束能量衰减，空气折射率不均匀会引起的光波的振幅和相位起伏；当光波功率足够大、持续时间极短时，非线性效应也会影响光束的特性，因此有必要研究激光大气传播特性。本节简要介绍一些激光大气传输的基本概念。

1. 大气衰减

激光辐射在大气中传播时，部分光辐射能量被吸收而转变为其他形式的能量（如热能等）部分能量被散射而偏离原来的传播方向（即辐射能量空间重新分配）。吸收和散射的总效果使传输光辐射强度的衰减。

设强度为I的单色光辐射，通过厚度为dl的大气薄层，如图2所示。不考虑非线性效应，光强衰减量dI正比与I及dl，即dI/I=(I-I)/I=dl。积分后得大气透过率

LTI/I0exp0dl (2.2-1)

假定上是可以简化为

Texp(L) (2.2-2)

为大气衰减系数（1/km）。此即描述大气衰减的朗伯定律，表明光强随传输距离的增加呈指数规律衰减。

因为衰减系数描述了吸收和散射两种独立物理过程对传播光辐射强度的影响，所以可表示为

kmmkaa (2.2-3)

km和m分别为分子的吸收和散射系数； ka和a分别大气气溶胶的吸收和散射系数。

对大气衰减的研究可归结为对上述四个基本衰减参数的研究。 应用中，衰减系数常用单位为（1/km）或（dB/km）。二者之间的换算关系为

(dB/km)=4.343(1/km) (2.2-4)

I I

dl

图2

3

⑴ 大气分子的吸收

光波在大气中传播时，大气分子在光波电场的作用下产生极化，并以入射光的频率作受迫振动。所以为了克服大气分子内部阻力要消耗能量，表现为大气分子的吸收。

分子的固有吸收频率由分子内部的运动形态决定。

极性分子的内部运动一般有分子内电子运动、组成分子的原子振动以及分子绕其质量中心的转动组成。相应的共振吸收频率分别与光波的紫外和可见光、近红外和中红外以及远红外区相对应。

因此，分子的吸收特性强烈的依赖于光波的频率。

大气中N2、O2分子虽然含量最多（约90%），但它们在可见光和红外区几乎不表现吸收，对远红外和微波段才呈现出很大的吸收。因此，在可见光和近红外区，一般不考虑其吸收作用。

大气中除包含上述分子外，还包含有He，Ar，Xe，O3，Ne等，这些分子在可见光和近红外有可观的吸收谱线，但因它们在大气中的含量甚微，一般也不考虑其吸收作用。只是在高空处，其余衰减因素都已很弱，才考虑它们吸收作用。

H2O和CO2分子，特别是H2O分子在近红外区有宽广的振动-转动及纯振动结构，因此是可见光和近红外区最重要的吸收分子，是晴天大气光学衰减的主要因素，它们的一些主要吸收谱线的中心波长如表2-1所示。

从表1不难看出，对某些特定的波长，大气呈现出极为强烈的吸收。光波几乎无法通过。根据大气的这种选择吸收特性，一般把近红外区分成八个区段，将透过率较高的波段称为“大气窗口”。在这些窗口之内，大气分子呈现弱吸收。目前常用的激光波长都处于这些窗口之内。

表1 可见光和近红外区主要吸收谱线 吸收分主要吸收谱线中心波长(m) 子 0.72 0.82 0.93 0.94 1.13 1.38 1.46 1.87 2.66 3.15 6.26 H2O 11.7 12.6 13.5 14.3 CO2 1.4 1.6 2.05 4.3 5.2 9.4 10.4 O2 4.7 9.6

4

⑵ 大气分子散射

大气中总存在着局部的密度与平均密度统计性的偏离——密度起伏，破坏了大气的光学均匀性，一部分光辐射光会向其他方向传播，从而导致光在各个方向上的散射。

在可见光和近红外波段，辐射波长总是远大于分子的线度，这一条件下的散射为瑞利散射。瑞利散射光的强度与波长的四次方成反比。瑞利散射系数的经验公式为

m0.827NA3/4 (2.2-5)

式中，m为瑞利散射系数为瑞利散射系数（cm-l）；N为单位体积中的分子数（cm-1）；A为分子的散射截面（cm2）；为光波长（cm）。

由于分子散射波长的四次方成反比。波长越长，散射越弱；波长越短，散射越强烈。故可见光比红外光散射强烈，蓝光又比红光散射强烈。在晴朗天空，其他微粒很少，因此瑞利散射是主要的，又因为蓝光散射最强烈，故明朗的天空呈现蓝色。

⑶大气气溶胶的衰减

大气中有大量的粒度在 0.03 m到2000 m之间的固态和液态微粒，它们大致是尘埃、烟粒、微水滴、盐粒以及有机微生物等。由于这些微粒在大气中的悬浮呈胶溶状态，所以通常又称为大气气溶胶。

气溶胶对光波的衰减包括气溶胶的散射和吸收。

当光的波长相当于或小于散射粒子尺寸时，即产生米氏散射。米氏散射则主要依赖于散射粒子的尺寸、密度分布以及折射率特性，与波长的关系远不如瑞利散射强烈。

气溶胶微粒的尺寸分布极其复杂，受天气变化的影响也十分大，不同天气类型的气溶胶粒子的密度及线度的最大值列于表2中。

表2-2 霾、云和降水天气的物理参数 天气类型 N (cm-3) 气溶胶类型 amax (m) 霾M 100 cm-3 3 海上或岸边的气溶胶 霾L 100 cm-3 2 大陆性气溶胶 霾H 100 cm-3 0.6 高空或平流层的气溶胶 雨M 100 cm-3 3000 小雨或中雨 雨L 1000 m-3 2000 大雨 冰雹H 10 m-3 6000 含有大量小颗粒的冰雹 积云C.1 100 cm-3 15 积云或层云、雾 云C.2 100 cm-3 7 有色环的云 云C.3 100 cm-3 3.5 贝母云 云C.4 100 cm-3 5.5 太阳周围的双层或三层环的云

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① 晴朗、霾、雾大气的衰减

根据单色辐射衰减的朗伯定律，在大气水平均匀条件下，只考虑气溶胶衰减，（2.2-2）式可改写为

Texp(aL) (2.2-6)

式中，L为水平传输距离。a可写成

aAq (2.2-7)

两边取对数得lnalnAqln，可见(－q)是lna ~ln直线的斜率，q值可通过实验确定。根据气象上对能见度V（km）的定义可求得

a(3.29/V)(/0.55)q (2.2-8)

对于可见光，/0.551，故有a=3.91/V (km)。

1.6对于近红外光，q1.30.585V1/3(能见度很大时)(中等能见度)(当 V6km)。

② 雨和雪的衰减

雾与雨的差别不仅在于降水量不同，而主要是雾粒子和雨滴尺寸有很大差别。

雨天大气中水的含量（1g/m3）为较浓雾（0.1g／m3）的10倍以上，可雾滴半径（微米量级）仅是雨滴半径（毫米量级）的千分之一左右，因此雨滴间隙要大得多，故能见度较雾高，光波容易通过。加之雨滴的前向散射效应强，这会显著地减小对直射光束的衰减。结果雨的衰减系数比雾小两个数量级以上。

由于雪的物理描述难度较大，又缺乏雪的折射率资料，目前还很难做出定量计算。一些实验研究表明，激光在雪中的衰减与在雨中相似，衰减系数与降雪强度有较好的对应关系。不同波长的激光在雪中的衰减差别不大，但就同样的含水量而言，雪的衰减比雨的大，比雾的小。

2. 大气湍流效应

在气体或液体的某一容积内，惯性力与此容积边界上所受的粘滞力之比超过某一临界值时，液体或气体的有规则的层流运动就会失去其稳定性而过渡到不规则的湍流运动，这一比值就是表示流体运动状态特征的雷诺数Re：

ReΔvl/ (2.2-9)

式中， 为流体密度（kg/m3）；l为某一特征线度（m） vl为在 l量级距离上运动速度的变化量（m/s）； 为流体粘滞系数（kg/m•s）。雷诺数Re是一个无量纲的数。

当Re 小于临界值Recr（由实验测定）时，流体处于稳定的层流运动，而大

6

于Recr时为湍流运动。由于气体的粘滞系数 较小，所以气体的运动多半为湍流运动。

大气湍流气团的线尺度l有一个上限L0和下限l0，即L0l0 图-4

所谓激光的大气湍流效应，实际上是指激光辐射在折射率起伏场中传输时的效应。湍流理论表明，大气速度、温度、折射率的统计特性服从“2/3次方定律”

Di(r)(i1i2)2Ci2r2/3 (2.2-10)

式中， i分别代表速度（v）、温度（T）和折射率（n）； r为考察点之间的距离；Ci为相应场的结构常数，单位是m-1/3。

大气湍流折射率的统计特性直接影响激光束的传输特性，通常用折射率结构常数Ci的数值大小表征湍流强度，即 弱湍流 Cn =810-9m-1/3 中等湍流 Cn =410-8m-1/3

强湍流 Cn =510-7m-1/3

⑴ 大气闪烁

光束强度在时间和空间上随机起伏，光强忽大忽小，即所谓光束强度闪烁。

大气闪烁的幅度特性由接收平面上某点光强I的对数强度方差I2来表征

I2[ln(I/I0)]24[ln(A/A0)]242 (2.2-11)

式中，2可通过理论计算求得，而I2则可由实际测量得到。在弱湍流且湍流强度均匀的条件下：

21.23Cn(2)6/7L11/626/711/612.8Cn(2)L22I426/711/60.496Cn(2)L26/711/61.28Cn(2)L(l0LL0)(LL0)(l0LL0)(LL0)7

对平面波 (2.2-12)

对球面波

可见，波长短，闪烁强，波长长，闪烁小。然而，理论和实验都表明，当湍流强度增强到一定程度或传输距离增大到一定限度时，闪烁方差就不再按上述规律继续增大，却略有减小而呈现饱和，故称之为闪烁的饱和效应。

⑵ 光束的弯曲和漂移

接收平面上，光束中心的投射点（即光斑位置）以某个统计平均位置为中心，发生快速的随机性跳动（其频率可由数赫到数十赫），此现象称为光束漂移。若将光束视为一体，经过若干分钟会发现，其平均方向明显变化，这种慢漂移亦称为光束弯曲。

光束弯曲漂移现象亦称天文折射，主要受制于大气折射率的起伏。弯曲表现为光束统计位置的慢变化，漂移则是光束围绕其平均位置的快速跳动。如忽略湿度影响，在光频段大气折射率n可近似表示为

n179106P/T(或N(n1)10679P/T) (2.2-13)

P为大气压强； T为大气温度（K）。根据折射定律，在水平传输情况下不难证明，光束曲率为

dN79dP79PdT c (2.2-14) dhTdhT2dhc为正，光束向下弯曲；当dT/dh< 35C/km时，c为负，光束向上弯曲。实验发现，一般情况下白天光束向上弯曲；晚上光束向下弯曲。

对于光束漂移，理论分析表明，其漂移角与光束在发射望远镜出口处的束宽

221.75CnLW01/3。由此可见，光束越细，漂移W0关系密切；漂移角的均方值a就越大。采用宽的光束可减小光束漂移。当Cn>6.510-7 m-1/3/h，c值约为40rad，

221.75CnLW01/3式变化，不再按a表明漂移亦有饱和效应；漂移的频谱一般不超

过20Hz，其峰值在5Hz以下；漂移的统计分布服从正态分布。

上述讨论表明，光束弯曲与漂移二者不能混同。

⑶空间相位起伏

如果不是用靶面接收，而是在透镜的焦平面上接收，就会发现像点抖动。这可解释为在光束产生漂移的同时，光束在接收面上的到达角也因湍流影响而随机起伏，即与接收孔径相当的那一部分波前相对于接收面的倾斜产生随机起伏。

2.3光波在电光晶体中的传播

由上一节的讨论，我们知道光波在介质中的传播规律受到介质折射率分布的制约。

对于一些晶体材料，当上施加电场之后，将引起束缚电荷的重新分布，并可能导致离子晶格的微小形变，其结果将引起介电系数的变化，最终导致晶体折射率的变化，所以折射率成为外加电场E的函数，即

Δnnn0c1Ec2E2 (2.3-1)

8

式中第一项称为线性电光效应或泡克耳（Pockels）效应；第二项，称为二次电光效应或克尔（Kerr）效应。对于大多数电光晶体材料，一次效应要比二次效应显著，故在此只讨论线性电光效应。

1．电致折射率变化

电光效应的分析可用几何图形——折射率椭球体的方法，这种方法直观、方便。未加外电场时，主轴坐标系中，晶体折射率椭球方程为

x2y2z2 2221 (2.3-2)

nxnynznx，ny，nz为折射率椭球的主折射率。

当晶体施加电场后，其折射率椭球就发生“变形”，椭球方程变为

121212111 2x2y2z22yz22xz22xz1 (2.3-3)

n1n2n3n4n5n6由于外电场，折射率椭球各系数(1/n2)随之发生线性变化，其变化量可定义为

31 2ijEj (2.3-4)

nij1式中ij称为线性电光系数；i取值1，…，6；j取值1，2，3。

（2.3-4）式可以用张量的矩阵形式表示

1n2112r11n21r212n3r311r412n41r511r612n512n6r12r22r32r42r52r62r13r23r33r43r53r63Ex EyEz (2.3-5)

对常用的KDP（KH2PO4）晶体有nx=ny=no，nz=ne，no＞ne，只有41,52,630，而且4152。

得到晶体加外电场E后新的折射率椭球方程式

x2y2z2 2222r41yzEx2r41xzEy2r63xyEz1 (2.3-6)

nonone 9

令外加电场的方向平行于z轴，即Ez=E，Ex=Ey=0，于是有

x2y2z2 2222r63xyEz1 (2.3-7)

nonone将x坐标和y坐标绕z轴旋转角得到感应主轴坐标系（x，y，z），当 =45，感应主轴坐标系中地椭球方程为

121212n2r63Ezxn2r63Ezyn2z1 (2.3-8)

eoo主折射率变为

13nor62Ez213nynonor62Ez (2.3-9)

2nznenxno

y y x 45 x 图1 加电场后折射率椭球的变化

可见，KDP晶体沿z轴加电场时，由单轴晶体变成了双轴晶体，折射率椭球的主轴绕z轴旋转了45角，此转角与外加电场的大小无关，其折射率变化与电场成正比，这是利用电光效应实现光调制、调Q、锁模等技术的物理基础。

2．电光相位延迟

实际应用中，电光晶体总是沿着相对光轴的某些特殊方向切割而成的，而且外电场也是沿着某一主轴方向加到晶体上，常用的有两种方式：一种是电场方向与光束在晶体中的传播方向一致，称为纵向电光效应；另一种是电场与光束在晶体中的传播方向垂直，称为横向电光效应。

⑴ 纵向应用

仍以KDP类晶体为例，沿晶体z轴加电场，光波沿z方向传播。则其双折射特性取决于椭球与垂直于z轴的平面相交所形成的椭圆。令（2.3-8）式中 z=0，得到该椭圆的方程为

10

x 入射光 z y V 1212 rExrEn263zn263zy1 (2.3-10)

oo长、短半轴分别与x和y重合，x和y也就是两个分量的偏振方向，相应的折射

率为nx和ny。

当入射沿x方向偏振，进入晶体（z=0）后即分解为沿x和y方向的两个垂直偏振分量。它们在京体内传播L光程分别为nxL和nyL，这样，两偏振分量的相位延迟分别为

22L13xnxL(nonor63Ez)

222L13ynyL(nonor63Ez)

2

当这两个光波穿过晶体后将产生一个相位差

2233xyLnor63Eznor63V (2.3-11)



这个相位延迟完全是由电光效应造成的双折射引起的，所以称为电光相位延

迟。当电光晶体和传播的光波长确定后，相位差的变化仅取决于外加电压，即只要改变电压，就能使相位成比例地变化。

当光波的两个垂直分量Ex，Ey的光程差为半个波长（相应的相位差为）时所需要加的电压，称为“半波电压”，通常以V或V/2。表示。由（2.3-14）式得到

V32nor63 (2.3-12)

于是

V (2.3-13) V半波电压是表征电光晶体性能的一个重要参数，这个电压越小越好，特别是在宽频带高频率情况下，半波电压越小，需要的调制功率就越小。

11

根据上述分析可知，一般情况下，出射的合成振动是椭圆偏振光

22Ey2ExEyEx2cossin (2.3-14) 22A1A2A1A2当晶体上未加电压，2n(n= 0, 1, 2,…)

Ey(A2/A1)Ex (2.3-15)

通过晶体后的合成光仍然是线偏振光，且与入射光的偏振方向一致，这种情

况晶体相当于一个“全波片”的作用。

当晶体上加电压V=V/2，(n1/2)

22EExy1 (2.3-16) 22A1A2这是一个正椭圆方程，说明通过晶体的的合成光为椭圆偏振光。当A1=A2时，其

合成光就变成一个圆偏振光，相当于一个“ 1/4波片”的作用。

当外加电压V=V，(n1)

Ey(A2/A1)ExExtg() (2.317)

合成光为线偏振光，但偏振方向相对于入射光旋转了一个2角（若=45，即旋转了90，沿着y方向），晶体起到一个“半波片”的作用。

综上所述，设一束线偏振光垂直于xy面入射，且沿x轴方向振动，它刚进入晶体（x=0）即可分解为相互垂直的x，y两个偏振分量，传播距离L后

13r63EzL x分量为 ExAexpitnono2c

13r63EzL y分量为 EyAexpitnono2c

Ex x z y Ey -y x x y a b c d e f g h i

12

=0 =/2 =

图2 纵向运用KDP晶体中光波的偏振态的变化

⑵ 横向应用

如果沿z向加电场，光束传播方向垂直于z轴并与y（或x）轴成45角，这种运用方式一般采用45z切割晶体，如图。设光波垂直于xz平面入射，E矢量与z轴成45角，进入晶体（y=0）后即分解为沿x和z方向的两个垂直偏振

13分量。相应的折射率分别为nxnonor63Ez和nzne。

2

L

入射光 z x d

V y 图 z向电场作用下KDP晶体的横向运用

传播距离L后

13r63EzL x分量为 AxAexpitnono2cz分量为 AzAexpitneL

c

两偏振分量的相位延迟分别为

13(nonor63Ez)2

22LznzLnex2nxL2L因此，当这两个光波穿过晶体后将产生一个相位差

13

xz03Lnor63()V (2.3-18) d可见，在横向运用条件下，光波通过晶体后的相位差包括两项：第一项与外加电场无关，

是由晶体本身自然双折射引起的；第二项即为电光效应相位延迟。

KDP晶体的横向运用也可以采用沿x或y方向加电场，光束在与之垂直的方向传播。这里不再一一介绍，请感同学们自行讨论。

比较KDP晶体的纵向运用和横向运用两种情况，可以得到如下两点结论： 第一，横向运用时，存在自然双折射产生的固有相位延迟，它们和外加电场无关。表明在没有外加电场时，入射光的两个偏振分量通过晶后其偏振面已转过了一个角度，这对光调制器等应用不利，应设法消除。

第二，横向运用时，无论采用那种方式，总的相位延迟不仅与所加电压成正比，而且晶体的长宽比(L/d)有关。而纵向应用时相位差只和V=EzL有关。因此，增大L或减小d就可大大降低半波电压。

例如，在z向加电场的横向运用中，略去自然双折射的影响，求得半波电压为

V (2.3-19) 3nor63Ld可见(L/d)越小，V 就越小，这是横向运用的优点。

2.4 光波在声光晶体中的传播

声波在介质中传播时，使介质产生弹性形变，引起介质的密度呈疏密相间的

交替分布，因此，介质的折射率也随着发生相应的周期性变化。这如同一个光学“相位光栅”，光栅常数等于声波长s。当光波通过此介质时，会产生光的衍射。衍射光的强度、频率、方向等都随着超声场的变化而变化。

1. 相位栅类型

超声行波的瞬时相位栅如图1所示。由于声速仅为光速的数十万分之一，所以对光波来说，运动的“声光栅”可以看作是静止的。设声波的角频率为s，波

矢为ks，则沿x方向介质的折射率变化为

n vs x a s x s 图2 超声驻波

n n0

14

图1 超声行波在介质中的传播

n(x,t)ncos(stksx) (2.4-1)

介质折射率分布为

13n0PScos(stksx) (2.4-2) 2S为超声波引起介质产生的应变；P为材料的弹光系数。

超声驻波形成的折射率变化为

n(x,t)n0ncos(stksx)n0n(x,t)2nsinstsinksx (2.4-3)

若超声频率为fs，那么光栅出现和消失的次数则为2fs，因而光波通过该介质后所得到的调制光的调制频率将为声频率的两倍。

2. 声光衍射

按照声波频率的高低以及声波和光波作用长度的不同，声光相互作用可以分为拉曼-纳斯衍射和布喇格衍射两种类型。

(1)拉曼-纳斯衍射

产生拉曼-纳斯衍射的条件：当超声波频率较低，光波平行于声波面入射，声光互作用长度L较短时，在光波通过介质的时间内，折射率的变化可以忽略不计，则声光介质可近似看作为相对静止的“平面相位栅”。

当光波平行通过介质时，几乎不通过声波面，因此只受到相位调制。即通过光密部分的光波波阵面将延迟，而通过光疏部分的光波波阵面将超前，于是通过声光介质的平面波波阵面出现凸凹现象，变成一个折皱曲面，如图3所示。

由出射波阵面上各子波源发出的次波将发生相干作用，形成与入射方向对称分布的多级衍射光，这就是拉曼-纳斯衍射的特点。 x 声波 x ks 声波阵面 y

cos-1l ki +q/2 

入射光 s

光波阵面 衍射光

-q/2 15

-L/2 d=xl +L/2 y   图4垂直入射情况

设宽度为q的光波垂直入射宽度为L声波柱，如图4所示。则在声场外P点处总的衍射光强是所有子波源贡献的和

sin(lki2rks)q/2sin(lki2rks)q/2EpqJ2r(v)(lk2rk)q/2(lk2rk)q/2r0isis (2.4-4)

sin[lki(2r1)ks]q/2sin[lki(2r1)ks]q/2qJ2r1(v)[lk(2r1)k]q/2[lk(2r1)k]q/2r0isis式中，Jr(v)是r阶贝塞尔函数；l=sin 。v(n)kiL。

衍射光场强度各项取极大值的条件为

kisinmks0(m整数0) (2.4-5)

各级衍射的方位角为

sinmmksmkis(m0,1,2,) (2.4-6)

各级衍射光的强度为

2ImJm(v),v(n)kiL2nL (2.4-7)

22(v)J由于Jmm(v)，故各级衍射光对称地分布在零级衍射光两侧，且同级

次衍射光的强度相等。

2(v)1，由于J(v)2Jm表明无吸收时衍射光各级极值光强之和应等于入

201射光强，即光功率是守恒的。

由于光波与声波场的作用，各级衍射光波将产生多普勒频移，应有

ims

以上推导是在理想的面光栅条件下进行的，考虑到声束的宽度，则当光波传

n2播方向上声束的宽度L满足条件LL0s，才会产生多级衍射，否则从多级

40

16

衍射过渡到单级衍射。

(2)布喇格衍射

产生布喇格衍射条件：声波频率较高，声光作用长度L较大，光束与声波波面间以一定的角度斜入射，介质具有“体光栅”的性质。

衍射光各高级次衍射光将互相抵消，只出现0级和+1级（或1级）衍射光，这是布喇格衍射的特点，如图5所示。

若能合理选择参数，并使超声场足够强，可使入射光能量几乎全部转移到+1级（或1级）衍射极值上。因此，利用布喇格衍射效应制成的声光器件可以获得较高的效率。

声波

衍射光 入射光

i+s i 2 非

衍 射光

图5 布喇格声光衍射

衍射光 2入射光 入射光 x 3 x 2 衍射光 1 2 1 2 3 C F G A D i i d d B C E x

(b) (a)

图6 产生布喇格衍射条件的模型

入射光1和2在B，C点反射的1和2同相位，则光程差AC-BD等于光波波长的整倍数

s s n要使声波面上所有点同时满足这一条件，只有使

x(cosicosd)ms (m0,1) (2.4-8)

id (2.4-9)

由C，E点反射的2，3同相位，则光程差FE＋EG必须等于光波波长的整数倍

s(cosicosd)n (2.4-10)

17

考虑到id，所以

sinBfs (2.4-11) 2ns2nvsB称为布喇格角。可见，只有入射角i等于布喇格角B时，在声波面上衍射的光波才具有同相位，满足相干加强的条件，得到衍射极值，上式称为布喇格方程。

布喇格衍射光强度与声光材料特性和声场强度的关系。当入射光强为Ii时，布喇格声光衍射的0级和1级衍射光强的表达式可分别写成

vI0Iicos22 (2.4-12) vI1Iisin22v2nL。

得衍射效率

LI12ssinIi2LM2Ps (2.4-13) H式中，M2n6P2/vs3是声光介质的物理参数组合，是由介质本身性质决定的量，称为声光材料的品质因数（或声光优质指标），它是选择声光介质的主要指标之

一；Ps超声功率；H为换能器的宽度，L为换能器的长度。

可见：

① 若在超声功率Ps定的情况下，要使衍射光强尽量大，则要求选择M2大的

材料，并要把换能器做成长而窄（即L大H小）的形式；

L② ②当超声功率Ps足够大，使2LM2Ps达到/2时，I1/Ii＝100%； H③ 当改变超声功率Ps时，I1/Ii也随之改变，因而通过控制超声功率Ps（即控

制加在电声换能器上的电功率）就可以达到控制衍射光强的目的，实现声光调制。

2.5光波在磁光介质中的传播

外加磁场作用所引起的材料的光学各向异性称为磁光效应。本节讨论磁光效应的物理起因及其光束在磁光介质中的传播的基本规律，但仅限于介绍法拉第旋转效应对传播光束的影响。

1. 法拉第旋转效应

18

ˆ0，几乎所有的磁光现象都可得到解释。引进等效 但在光频波段内，令介电系数张量ˆr

rxˆriji0i00 (2.5-1) rzrx0当磁场反向时， 的符号也要反号，即

(B)(B) (2.5-2) 假设磁场沿z轴方向，取磁光介质中传播的平面波为

E(r,t)Eexp[i(tkr)]E{i[tk0n(lxxlyylzz)]} (2.5-3)

式中lx、ly、lz为光波矢k的方向余弦。

ˆrE]0，由系数行列式为零，得到折射率n代入菲涅耳方程n2[El(lE)所满所足的方程

2222n4[rxlxrylyrzlz2]n2[(rxry2)(lxly)22rz(rxlxryly)rz(rxry)lz2]rz(rxry2)0 (2.5-4)

2 假设光波在立方晶体或各向同性介质中（rxryrzn0）平行于磁化

强度（z）方向（lx=ly=0，lz=1）传播，得

22nn0 (2.5-5)

i0i00ExExiEy0EyiExEy0 (2.5-6) 22n0Ezn0Ez可见Ez=0，即介质中传播的光波为横波，相应的传播模式为右旋和左旋的两个

圆偏振光波：

Ex12exp(inz) (2.5-7) E0yi因此，沿x方向偏振的入射光经过长度为L的磁光介质后将偏转一个角度

L (2.5-8) (nn) (2.5-9) 0n00这就是法拉第旋转现象， 为磁致旋光率。

19

当磁化强度较弱，B与H为线性关系，即=0为常量。因而旋光率 与外加磁场强度在成正比， （2.5-9）式可写成

VH (2.5-10)

式中V称为韦尔德（Verdet）常数，它表示在单位磁场强度下线偏振光波通过单位长度磁光介质后偏振方向旋转的角度。

 磁致旋光方向和磁场H的方向有关。当光传播方向与磁场方向平行时，正的 V值相应于左旋；而当光传播方向与磁场方向相反时，表现为右旋。如果外磁场由螺管电流产生，则旋光方向总是和螺线绕向一致。几乎全部抗磁体和多数顺磁体都属于这类材料。磁致旋光现象的这一性质表明它是一种非可逆过程。

2. 磁光相互作用的耦合波分析

磁光现象可利用非线性光学相互作用的耦合波理论进行分析。设平面光波沿z向传播，可将光波电场写成

E(z,t)A1(z)e1exp[i(tk1z)]A2(z)e2exp[i(tk2z)] (2.5-11)

忽略介质损耗，得到一组耦合波方程

A1A2exp[i(k2k1)z]z2n1c (2.5-12)

A2A2exp[i(k2k1)z]z2n2c设在z=0处的光场振幅分别为A1(0)和A2(0)，则上式的解为

k)A1(0)cosszisinszA2(0)sinsz22s2n1cs (2.5-13) kzkA2(z)exp(i)A2(0)cosszisinszA1(0)sinsz22s2n2csA1(z)exp(ikzk s2c4n1n22222表明，两个模间有能量耦合，因此，磁光介质中波的偏振态是空间位置坐标的函数，z处的偏振态用复数表示为

20

sinszsinszA(z)exp(ik2z)2sc2n2s (2.5-14)(z)2kA1(z)exp(ik1z)cosszisinsz(0)sinsz2sc2n1s(0)cosszik式中(0)A2(0)/A1(0)为初始偏振态。由此可见，偏振态是z的周期函数，周期为/s。对于各向同性材料或立方晶体材料，n1=n2=n0

(z)若(0)=0，则有

(0)coszsinz (2.5-15)

cosz(0)sinz(z)tan(z)。 (2.5-19) 这是一个相对于初始位置旋转了z的线偏振光，这一结论与（2.6-8）式给出的结果完全一致。

2.6光波在光纤波导中的传播

本节讨论光波在光纤波导中的传播的传播性质。

1. 光纤波导的结构及弱导性

光纤是一种能够传输光频电磁波的介质波导。光纤的典型结构如图1所示，它由纤芯、包层和护套三部分组成。波导的性质由纤芯和包层的折射率分布决定，工程上定义为纤芯和包层间的相对折射率差

[1(n22)]/2 (2.6-1) n1当0.01时，上式简化为

n1n2 (2.6-2) n1这即为光纤波导的弱导条件。光纤的弱导特性是光纤与微波圆波导之间的重要差别之一。弱导的基本含义是指很小的折射率差就能构成良好的光纤波导结构，而且为制造提供了很大的方便。 阶跃 剖面n(r) 渐变 剖面n(r) 2a n1 21 n2 纤 芯 a r 纤 芯 a r n1 n2

护套 包层 纤芯 (a) (b) (c)

一般介质波导截面上的折射率分布可以用指数型分布表示为

rn(r)n112()an(r)n1(12)1/2n21/2(0ra) (2.6-3) (ra)

2. 光束在光纤波导中的传播特性

射线理论的基础是光线方程

ddrn(r)n(r) (2.6-4) dsdsr：空间光线上某点的位置矢量，s：该点到光线到原点的路径长度，n(r)：

折射率的空间分布。应用上式，结合初始条件，原则上就可确定任意已知折射率

分布n(r)介质光线的轨迹。

⑴ 阶跃光纤中光波的传播

均匀介质中光线轨迹是直线，光纤的传光机理在于光的全反射。光纤可视为圆柱波导，在圆柱波导中，光线的轨迹可以在通过光纤轴线的主截面内，如图2(a)所示，也可以不在通过光纤轴线的主截面内，如图2(b)所示。为完整的确定一条光线，必须用两个参量，即光线在界面的入射角 和光线与光纤轴线的夹角。

P P n2 n1 r n1

Q 22 n2 Q (a)

P

① 子午光线

当入射光线通过光纤轴线，且入射角1大于界面临界角0sin1n2时，n1光线将在柱体界面上不断发生全反射，形成曲折回路，而且传导光线的轨迹始终在光纤的主截面内。这种光线称为子午光线，包含子午光线的平面称为子午面。

设光线从折射率为n0的介质通过波导端面中心点入射，进入波导后按子午光线传播。根据折射定律，当产生全反射时，要求10，因此有

sin01221/2(n1n2) (2.6-5) n0一般情况下，n0=1（空气），则子午光线对应的最大入射角称为光纤的数值孔径

(m)221/2sin0NA (2.6-6) m(n1n2)它代表光纤的集光本领。在弱到条件下

NAn1(2)1/2 (2.6-7)

② 斜射光线

当入射光线不通过光纤轴线时，传导光线将不在一个平面内，这种光线称为斜射光线。

如果将其投影到端截面上，就会更清楚地看到传导光线将完全限制在两个共轴圆柱面之间，其中之一是纤芯-包层边界，另一个在纤芯中，其位置由角度1和1决定，称为散焦面。

23

显然，随着入射角1的增大，内散焦面向外扩大并趋近为边界面。在极限情况下，光纤端面的光线入射面与圆柱面相切（1=90），在光纤内传导的光线演变为一条与圆柱表面相切的螺线，两个散焦面重合。

0 0 A 1 1 B a P O O O O rt Q C (a) (b)

图3阶跃光纤中的斜射光线

(s)当满足全反射条件sin1n2/n1时，得到波导内允许的最大轴线角0m为

sin(s)0m(m)21/2sin0(n12n2)m (2.6-8) n1cosn1cos当n0n21（空气）时，最大入射角为

sin(s)0m(m)sin0m (2.6-9) cos(m)式中0m是传导子午光线的最大入射角。

在圆柱界面上一点A处所有可能的入射光线可分为三部分： A. 非导引光线（折射光线）。 B. 导引光线。

C. 泄漏光线（隧道光线）。

③不同光程引发的光脉冲的弥散

阶跃光纤中与光纤轴成不同夹角的导引光线，在轴向经过同样距离时，各自走过的光程是不同的。因此，若有一个光脉冲在入射端激发起各种不同角度的导引光线，那么由于每根光线经过的光程不同，就会先后到达终端，从而引起光脉冲宽度的加宽，称为光脉冲的弥散。

光线经过轴向距离L所花的最长和最短时间差为

Ln12Ln1Ln1 Δ (2.6-10)

cn2cc可见，光脉冲弥散正比于，愈小， 就愈小。

24

⑵渐变折射率光纤

我们只讨论平方率梯度光纤中光波的传播特性。平方律折射率分布光纤的n(r)可表示为

2r22n(r)n112 (2.6-11)

a

①平方律梯度光纤中的光线轨迹

由光纤理论可以证明子午光线轨迹按正弦规律变化

rr0sin(z) (2.6-12)

式中r0、由光纤参量决定。

可见平方律梯度光纤具有自聚焦性质，又称自聚焦光纤，如图 4所示。

一段/4（=2/）长的自聚焦光纤与光学透镜作用相似，可以会聚光线和成像。两者的不同之处在于，一个是靠球面的折射来弯曲光线；一个是靠折射率的梯度变化来弯曲光线。自聚焦透镜的特点是尺寸很小，可获得超短焦距，可弯曲成像等。这些都是一般透镜很难或根本不能做到的。可以证明，自聚焦透镜的焦距（焦点到主平面的距离）f为

f1 (2.6-13)

n(0)sin(z)f随z的变化如图5所示， z=/4时，f=fmin。 P P

rt n(r) r z rt (a)

n Q Q r rt2 P

r

rt2 n(r) (c)

(b) n Q rt1

图4 渐变折射率分布光纤纤芯内光线的路径及其在纤芯横截面上的投影

(a) 子午光线路径；(b) 斜射光线路径；(c) 投影和角向间的夹角(r)

z

25 (r)

=2/ f (a)

②平方律折射率分布光纤中光线的群迟延和最大群迟延差

光线经过单位轴向长度所用的时间称为比群迟延即单位长度的群迟延。在非均匀介质中，光线的轨迹是弯曲的。沿光线轨迹经过距离s所用的时间为

1snds (2.6-14)

c0详细计算表明最大的群迟延差为

n1L22maxminL(maxmin)0 (2.6-15)

2c2可以看到，平方律分布光纤中的群迟延只有阶梯折射率分布光纤的/2。

3. 光束在光纤波导中的衰减和色散特性

⑴光纤的衰减

若Pi、Po分别为光纤的输入、输出光功率，L是光纤长度。衰减系数定义为单位长度光纤光功率衰减的分贝数，即

P10log10iLPo(dB/km) (2.6-16)

光纤衰减有下列两种主要来源：吸收损耗和散射损耗。

①吸收损耗

材料吸收损耗是一种固有损耗，不可避免。我们只能选择固有损耗较小的材料来做光纤。石英在红外波段内吸收较小，是优良的光纤材料。

有害的杂质吸收主要是由于光纤材料中含有Fe，Co，Ni，Mn，Cu，V，Pt，

26

OH等离子。

②散射损耗

由于光纤制作工艺上的不完善，例如有微气泡或折射率不均匀以及有内应力，光能在这些地方会发生散射，使光纤损耗增大。

另一种散射损耗的根源是所谓瑞利散射。 光纤中尚存在所谓布里渊和拉曼散射损耗。

⑵光纤色散、带宽和脉冲展宽参量间的关系。

①光纤的色散

光纤的色散会使脉冲信号展宽，即限制了光纤的带宽或传输容量。一般说来，单模光纤的脉冲展宽与色散有下列关系：

dLδ (2.6-17)

即由于各传输模经历的光程不同而引起的脉冲展宽。

单模光纤色散的起因有下列三种：材料色散、波导色散和折射率分布色散。

②光纤的带宽

光脉冲展宽与光纤带宽有一定关系。实验表明光纤的频率响应特性H(f)近似为高斯型，如图2-32所示。

H(f)2P(f)e(f/fc)ln2 (2.6-18) P(0)fc是半功率点频率。显然有

10logH(fc)10logP(fc)3dB (2.6-19) P(0)因此，fc称为光纤的3dB光带宽。

2.7光波在非线性介质中的传播

激光出现后，强光场足以展现物质对光场的非线性响应。这种与光强有关的

光学效应通常称为非线性光学效应。将非线性光学介质中感应极化强度P展开为

外光场E的幂级数形式，即

ˆ(1)Eˆ(2)E2ˆ(3)E3 (2.7-l) P1. 非线性电极化率

ˆ介质的感应极化强度克表示为PPLPNL0LEPNL，取

ˆ0(1ˆL)，则有  27

2PNL2Eˆ20E0 (2.7-2) tt2 “物理光学”用经典线性谐振子模型导出了线性极化率的表达式

Ne21ˆ() (2.7-3) 2m(02)2i非简谐运动方程为

eE(t) (2.7-4) m 当给定电场E(t)，解出r，由感应极化强度P=Ner及P和电场E的幂级数形式，

2r2r0rAr2ˆ。 就可求出P和电极化率一般用微扰法对方程逐级近似求解。考虑频率为1和2的光场

1E(t)[E1exp(i1t)E2exp(i2t)]c.c. (2.7-5)

2可解得

Ne3A11ˆ(1,2)22222m(01)2i1(02)2i212[0(12)2]2i(12) (2.7-6)

由以上各个解看出，非线性响应的特点是频率为1和2的光场在非线性介质中感应的电极化强度，不仅具有频率1和2的分量，还具有频率为21，22，12的分量。这些极化强度分量作为次波辐射源，将辐射出21，22，12的电磁波，这就是非线性光学中的倍频、和频以及差频等光学效应。

2. 光波在非线性介质中的传播

设相互作用的光波为单色平面波，则其振幅不随时间而变化。

把非线性激励项作为一种微扰处理。

单色平面波的振幅相对变化很小，即可用慢变化近似。 E(n,z)enEnexp(iknz)（en为光波偏振分量的单位矢量）随传播距离的变化关系为

2dEn(z)i0nenPNL(n,z)exp(iknz) (2.7-7) dz2kn这就是描述光波在非线性介质内彼此间产生参量互作用的基本关系式—

—耦合波方程。

28

假设非线性介质中三个波的频率分别为1，2，3（1+2），其波矢量都沿z方向。可得到三波耦合方程

dE112iEEexp(ikz)eff32dzk1c22dE22iEEexp(ikz) (2.7-8) eff31dzk2c22dE33ieffE1E2exp(ikz)2dzk3c式中

kk1k2k3

ˆ(1;2,3)e3e2effe1ˆ(2;1,3)e3e1 e2ˆ(3;1,2)e1e2e3非线性介质内三波互作用过程中，不同频率的光波在非线性介质中，可以

发生能量的互相转移，这种能量的相互转移是通过非线性介质的有效非线性电极化率eff来耦合的。

3.光混频及光倍频技术

下面我们求解光混频和倍频的小信号稳态解。

⑴ 光混频及光倍频的转换效率

仍考虑三波耦合过程，并设由频率为1和2的光波混频产生3=1+2频率的光波。在小信号近似条件下，近似认为在光混频过程，频率为1和2的光波场的强度改变量很小，在三波混频过程中可视为常数。三波耦合方程组中只剩下频率为3光波的一个方程:

2dE33idffE1E2exp(ikz) (2.7-9) dzk3c2设非线性介质长为L，在入射端z=0处，E3=0，得

E3i2effn33LE1E2sin(kL/2)/(kL/2)exp(ikL/2) (2.7-10)

上式可用光强表示为

I3222L2effn1n2n323c0I1I2sin(kL/2)/(kL/2) (2.7-11)

2*这是和频过程。只要以2代替2，以E2代替E2，就是差频过程。当1=2=，

29

3=2 时，就是倍频过程。

在倍频过程中通常把频率为 的光波称为基波，频率为2 的光波称为倍频波或二次谐波。倍频的光强为

I2282L2deff22nn2c0Isin(kL/2)/(kL/2) (2.7-12)

22ˆijk(2)/2为有效非线性系数。 dijk(2)

一般用输出的倍频光强与基波的光强之比表征转换效率，称为倍频转换效率

SHG

SHG

I2I282L2deff22nn2c0Isin(kL/2)/(kL/2) (2.7-13)

2⑵相位匹配条件及原理

当k=0时，相位因子等于1，称为相位匹配条件；而当k0时，相位因子小于1，称为相位失配。

可见，只有在相位匹配条件下，才能获得最高的转换效率。所以在实际光学倍频和混频应用中，为了获得较高的转换效率，要考虑相位匹配条件。

实现相位匹配的方法有利用晶体的双折射性质的角度相位匹配和晶体的折射率随温度变化的温度相位匹配。

负单轴晶体（no>ne）角度相位匹配为例简要说明相匹配的原理。

如果选两个基频波（）都为o光，倍频波为e光，称为I类匹配，用o+oe表示。这时相位匹配条件为

22k[ne()no]0 (2.7-14)

c2()no欲使k0，必须选择合适的入射角I，使ne。

22(I)no()no若ne，总会存在一个角度 I，使ne。因此如果o偏振的

基频波沿 I方向传播，则在同一方向产生e偏振的倍频光。

如果选两个基频波（）分别为o光和e光，倍频波为e光，称为II类匹配，用o+ee表示。这时相位匹配条件为

22k{ne()[none()]/2}0 (2.7-15)

cne(II)]/2。 欲使k0，则要求ne2(II)[no

y y k 30

k ne2

 I ne2

II

2.8 光波在水中的传播

在水中传播的各种波中，纵波的衰减最小，因而声纳技术被广泛采用。而电磁波的衰减一般都很严重，以致在陆地上广为应用的无线电波和微波在水下几乎无法应用。然而光波却是一例外，相对无线电波和微波而言，其衰减较小。本节就光波在水下传输的一些特点作简略的介绍。

1. 传播光束的衰减特性

单色平行光束在水中传播的衰减规律也近似服从指数规律

PP0el (2.8-1)

是包括散射和吸收在内的衰减系数。衰减系数不但与水质有关，而且与传播光

31

束的波长有关。

习惯上用衰减长度L0表示水下传播光束衰减的大小，定义L0=1/(m)。

表1 自来水衰减系数 衰减系数 自来水衰减系数蒸馏水吸收系数微粒散射系数波长(m) (m-1) (m-1) (m-1) 0.4900 0.086 0.037 0.049 0.5200 0.099 0.041 0.068 0.5650 0.115 0.060 0.055 0.6000 0.243 0.197 0.046 0.6943 0.545 0.514 0.032

106 104 紫外 可见 红外

102 100 0.1 0.3 0.5 0.7 1.0 3.0 5.0 10

波长(m)

图1 蒸馏水的光谱吸收特性

可见，紫外和红外波段的光波在水中的衰减很大，在水下无法使用。蓝绿光的衰减最小，故常称该波段为“水下窗口”。

0.4900m和0.6943m波长光波的衰减长度分别为11m和2m。这说明蓝光比红光在水中的传输性能要好得多。

光脉冲的作用距离方程为

1P1P0LlnlnP (2.8-2) P0把式中的P0和P分别理解为光发射功率和探测器的最小可探测功率，则L就是

光脉冲在水下所能传输的最远距离。如果取P0=106W，P=10-14W，对于0.4900m波长的光波，其作用距离可达500m，对于0.6943m波长光波，其作用距离仅为80m。

此外，水质不同，其衰减特性差异很大。远海区海水清洁，衰减距离较长，近海岸区海水混浊，衰减长度大为减小。

2. 前向散射

光在传输方向上的散射称为前向散射，而在相反方向的散射称为后向散射。

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相对吸收 前向散射包含复杂的散射过程，如图2所示。接收面上的总照度Ee应为单程照度Ee0和多程照度Ee之和

EeEe0Ee (2.8-3)

Ee0(Ie/L2)eL

[(Iek)(4L)]ekL Eek为多程衰减系数；L为传输距离。

可见，前向散射使光束传输距离明显增大，传输距离越远，前向散射光的贡献就越大。这种效应对水下照明有利，但对水下光束扫描和水下摄影不利，它会使扫描分辨率和目标背景比度下降。

多程光束 接收平面 光源 单程光束 光束截面

图2前向散射示意图

3. 后向散射

水下传输光束的另一个特点就是后向散射较前向散射强烈得多。因此在水下测距、电视、摄影等应用中，主要是设法克服这种后向散射的影响。

措施如下：

⑴适当地选择滤光片和检偏器，以分辨无规则偏振的后向散射和有规则偏振的目标反射。

⑵尽可能的分开发射光源和接收器。 ⑶采用如图3所示的距离选通技术。

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光发射 光接收

光脉冲 关 后向散射光 目标

光接收

关

光发射 光接收

关

光发射 光接收 开 图3 光学距离选通示意图

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