小学六年级数学上下册重点知识归纳（包括总复习）

⼈教版新课标六年级数学上下册重点知识归纳⼈教版新课标六年级数学上册重点知识归纳.第⼀单元：位置.

1、确定第⼏列、第⼏⾏的⼀般规则：竖排叫做列,横排叫做⾏；确定第⼏列⼀般是从左往右数,确定第⼏⾏⼀般是从前往后数.2、⽤数对表⽰位置时,⼀般先表⽰第⼏列,再表⽰第⼏⾏.如数对（3,2）中的“3”表⽰第三列,“2”表⽰第⼆⾏.3、物体平移前后顶点的位置变化：

（1）图形向左或向右平移,改变了顶点所在的列,没有改变顶点所在的⾏,数对中的第⼀个数变了,第⼆个数没有变；（2）图形向上或下平移,改变了顶点所在的⾏,没有改变顶点所在的列,数对中的第⼀个数没有变,第⼆个数变了.第⼆单元：分数乘法

1、分数乘整数的计算⽅法：分母不变,分⼦与整数相乘的积作分⼦.

2、分数乘分数,应该分⼦乘分⼦,分母乘分母.注意：能约分的可以先约分再乘.

注意：⼀个⼤于0的数乘⼤于1的数,积⼤于这个数.⼀个⼤于0的数乘⼩于1的数,积⼩于这个数.3、分数混合运算的顺序和整数的混合运算顺序相同.（1）在没有括号的算式⾥,同级运算从左往右进⾏计算；

（2）在没有括号的算式⾥,既有乘除⼜有加减,要先算乘除后算加减；（3）有括号的要先算⼩括号⾥⾯的,后算中括号⾥⾯的,最后算括号外⾯的数.4、整数乘法的交换律、结合律和分配律,对于分数乘法也适⽤.（1）乘法交换律：a×b=b ×a

（2）乘法结合律：（a ×b）×c=a ×（b ×c）（3）乘法分配律：（a+b）×c=a ×c+b ×c

5、解决求⼀个数的⼏分之⼏是多少的问题,⽤乘法计算.

6、乘积是1的两个数互为倒数.求分数的倒数是交换分⼦、分母的位置；求整数的倒数是把整数看作分⼦是1的分数,再交换分⼦和分母和位置.注意：1的倒数是1,0没有倒数.

7、真分数的倒数⼀定都⼤于1；假分数的倒数⼀定都⼩于或等于1.第三单元：分数除法

1、分数除法的意义与整数除法的意义相同,是已知两个数的积与其中⼀个因数,求另⼀个因数的运算.2、分数除法的计算⽅法：

①分数除以整数（0除外）,等于分数乘这个整数的倒数.②⼀个数除以分数,等于这个数乘分数的倒数.③甲数除以⼄数（0除外）,等于甲数乘⼄数的倒数.3、⼀个数除以⼩于1（不等于0）的数,商⼤于被除数；⼀个数除以1,商等于被除数；⼀个数除以⼤于1的数,商⼩于被除数.

4、分数除法的混合运算与整数除法的混合运算顺序相同.

5、已知⼀个数的⼏分之⼏是多少,求这个数的问题,⽤除法计算.

6、分数乘除法的应⽤题,关键要抓住“分率句”来进⾏分析,找出单位“1”的量,然后再看所求的问题是什么,如果是求单位“1”的量就⽤除法来计算,如果不是求单位“1”的量就⽤乘法来计算.

7、两个数相除⼜叫做两个数的⽐.在两个数的⽐中,⽐号前⾯的数叫做⽐的前项,⽐号后⾯的数叫做⽐的后项.⽐的前项除以后项所得的商叫做⽐值.⽐值通常⽤分数表⽰,也可⽤⼩数或整数表⽰.

⽐与除法、分数的关系：⽐的前项相当于除法中的被除数,相当于分数中的分⼦；⽐号“：”相当于除法中的除号“÷”,相当于分数中的分数线“——”；后项相当于除法中的除数,相当于分数中的分母；⽐值相当于除法中的商,相当于分数中的分数值.⽐是两个数的倍数关系,除法是⼀种运算,⽽分数是⼀种数.

根据⽐与除法、分数的关系,两个数的⽐也可以写成分数形式.15

例如： 15：10也可以写成 ,但仍读作“15⽐10”.

因为在除法中除数不能为0,在分数中分母不能为0,根据⽐与除法、分数的关系,所以在⽐中后项不能为0. 8、⽐的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外）,⽐值不变.这叫做⽐的基本性质.

根据⽐的基本性质,可以把⽐化成最简单整数⽐.（最简单整数⽐的前项和后项只有公因数1） （1）把整数⽐化成最简单整数⽐的⽅法：⽤⽐的前项和后项同时除以它们的最⼤公因数. （2）把分数⽐化成最简单整数⽐的⽅法：⽤⽐的前项和后项同时乘它们分母的最⼩公倍数.

（3）把⼩数⽐化成最简单整数⽐的⽅法：先把⼩数化成整数,再按照整数⽐化成最简单整数⽐的⽅法进⾏化简.

9、求⽐值和化简⽐的区别：求⽐值的⽅法：⽤⽐的前项除以后项.化简⽐的⽅法：⽐的前项和后项同时乘或除以⼀个相同的数.求⽐值的结果是⼀个数,可以是分数、⼩数或整数,⽽化简⽐的结果是⼀个最简单整数⽐,要写成“⼏：⼏”的形式.求⽐值和化简⽐和结果都不带单位.

10、⽤按⽐例分配的⽅法解应⽤题,最关键的⼀步是找准要分配的总数和这个数⼀共占⼏份.第四单元：圆

1、长⽅形、正⽅形、平⾏四边形、梯形、三⾓形都是平⾯上的⼀种直线图形；圆是平⾯上的⼀种曲线图形.

2、相交于圆中⼼的⼀点,叫做圆⼼,⼀般⽤字母o 表⽰.连接圆⼼和圆上任意⼀点的线段叫做半径,⼀般⽤字母r 表⽰.通过圆⼼并且两端都在圆上的线段叫做直径,⼀般⽤字母d 表⽰.

3、在同⼀个圆⾥,有⽆数条半径,它们的长度都相等.在同⼀个圆⾥,有⽆数条直径,它们的长度都相等.在同⼀个圆⾥,直径是半径的２倍,半径是直径的⼀半.即 d=2r 或r=3、圆的画法：

（1）、定半径：把圆规的两脚分开,定好两脚间的距离（即半径）； （2）、定圆⼼：把有针尖的⼀只脚固定在⼀点（即圆⼼）上； （3）、旋转⼀周：把装有铅笔尖的⼀只脚旋转⼀周,就画出⼀个圆.

注意：①半径决定圆的⼤⼩,圆⼼决定圆的位置.②画圆时,圆规两脚叉开的⼤⼩等于圆的半径.③两端都在圆上的线段,直径是最长的⼀条.

4、为什么车轮要做成圆的？车轴应装在哪⾥？

这是利⽤圆⼼到圆上任意⼀点的距离都相等的特性,车轴放在圆⼼的位置,车轮滚动时车轴保持平稳状态,使⾏进的车辆也保持平稳状态.

5、如果⼀个图形沿着⼀条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形,对折所在的这条直线叫做对称轴.在轴对称图形中,对应点到对称轴的距离相等.

6、正⽅形有4条对称轴,长⽅形有2条对称轴,等边三⾓形有3条对称轴,等腰三⾓形有1条对称轴,等腰梯形有1条对称轴.圆有⽆数条对称轴,直径所在的直线就是它的对称轴.⼀般的三⾓形不是轴对称图形,⼀般的梯形不是轴对称图形,平⾏四边形不是轴对称图形.

7、围成圆的曲线的长叫做圆的周长.半圆的周长等于圆周长的⼀半加上直径. 8、圆的周长总是直径的3倍多⼀些,圆的周长与直径的⽐值是⼀个固定的数.圆的周长与直径的⽐值叫做圆周率.圆周率是⼀个⽆限不循环的⼩数.我国的数学家和天⽂学家祖冲之计算出圆周率应在3.1415926和3.1415927之间,所以圆周率约等于3.14.

9、有关计算的公式：已知圆的半径,求圆的直径：d=2r 已知圆的直径,求圆的半径：r=d ÷2 已知圆的半径,求圆的周长：c=2∏r已知圆的直径,求圆的周长：c= ∏d

已知圆的周长,求圆的直径：d=c ÷ ∏ 已知圆的周长,求圆的半径：r=c ÷ ∏ ÷2

10、物体所占平⾯的⼤⼩叫做⾯积.圆所占平⾯的⼤⼩叫做圆的⾯积.把⼀个圆平均分成若⼲等份,然后拼在⼀起,可以拼成⼀个近似的平⾏四边形或长⽅形.长⽅形的宽是圆的半径,长是圆的周长的⼀半,求圆⾯积⽤公式表⽰S ＝ πr 211、⼀个环形具有两个特点：⼀、两个圆的圆⼼在同⼀个点上（同⼼圆）；⼆、两个圆间的距离处处相等.圆环的⾯积＝外圆⾯积－内圆⾯积,⽤字母表⽰：S=πR 2-πr 2或者S=π(R 2-r 2)2d

12、圆的半径、直径、周长和⾯积这四部分中,如果圆的半径扩⼤a 倍,圆的直径和周长也相应扩⼤a 倍,圆的⾯积就扩⼤a 2倍.如果两个圆的半径⽐是a:b,这两个圆的直径或周长⽐也是a:b,⽽⾯积则是a 2:b 2

13、周长相等的正⽅形、长⽅形和圆形,圆的⾯积最⼤.⾯积相等的正⽅形、长⽅形和圆形,长⽅形的周长最⼤,圆形周长最⼩.14、在正⽅形⾥画⼀个最⼤的圆,圆的直径等于正⽅形的边长.在长⽅形⾥画⼀个最⼤的圆,圆的直径等于长⽅形的宽（也就是最短的⼀条）.在圆⾥画⼀个最⼤的正⽅形,圆的直径等于正⽅形对⾓线的长.

15、圆的半径、直径、周长、⾯积这四项中,只要任意⼀项相等,那么其他⼏项也相等.16、2π＝6.28 3π＝9.42 4π＝12.56 5π＝15.7 6π＝18.84 7π＝21.98

8π＝25.12 9π＝28.26 10π＝31.4 15π＝47.1 20π＝62.8 25π＝78.5 17、当周长⼀定时,所有图形中圆的⾯积最⼤,这个性质在实际⽣活中有着⼴泛的应⽤.例如,教材上提到的蒙古包做成圆形的是因为可以最⼤化地利⽤居住⾯积,植物的根茎的横截⾯是圆形的,也是因为可以最⼤化地吸收⽔份.第五单元：百分数

1、 百分数表⽰⼀个数是另⼀个数的百分之⼏.百分数也叫百分率或百分⽐.把单位“1”平均分成若⼲份,表⽰这样的⼀份或⼏数的数叫做分数.分数和百分数的不同是：百分数只能表⽰两个数的⽐的关系,百分数不带单位名称,⽽分数不仅可以表⽰两个数的⽐的关系,也可以表⽰成⼀个具体的量,可以带上单位名称.

2、 百分数通常不写成分数形式,⽽是在分⼦后⾯加上“％”来表⽰.百分数的读法和分数的读法⼤体相同,也是先读分母,后读分⼦,但要注意读百分数的分母时,不能读成⼀百分之⼏,⽽只能读作“百分之⼏”.

3、 ⼩数化成百分数的⽅法：只要把⼩数点向右移动两位,同时在后⾯添上百分号；百分数化成⼩数的⽅法：只要把百分号去掉,同时把⼩数点向左移动两位.

4、 百分数化成分数的⽅法：先把百分数化成分母是100的分数,能约分的要约分.（注意：①把百分数化成分数时,能约分的要约成最简分数.②如果百分数的分⼦是⼩数,要先应⽤分数的基本性质,把百分数改写成分⼦是整数的分数,再化简.）分数化成百分数的⽅法：先⽤分⼦除以分母,把分数化成⼩数,再利⽤⼩数化百分数的⽅法,把⼩数化成百分数.（注意：在⽤分⼦除以分母时,如果除不尽时,通常保留三位⼩数.5、 达标率＝ ×100％ 发芽率＝ ×100％

出勤率＝ ×100％ 成活率＝ ×100％ 命中率＝ ×100％ 出粉率＝ ×100％ 出油率＝ ×100％

为什么求百分率都要乘100％呢？因为百分率在计算过程都需要乘100％,这样既可以保证把结果写成百分数的形式,便于⽐较和计算,⼜可以保持数值不变.

百分数应⽤题与分数应⽤题有什么相同点？有什么不同点？ 相同点：数量关系和解题⽅法完全相同.不同点：百分数应⽤题的数量关系⽤百分数表⽰,分数应⽤题的数量关系⽤分数表⽰.

6、 在⼀个数的后⾯添上百分号,这个数就⽐原来缩⼩100倍,去掉百分数的百分号,这个数就扩⼤100倍.

7、 解答“求⼀个数⽐另⼀个数多（或少）⼏分之⼏”的应⽤题解题思路：（1）、找准单位“1”,作除数；（2）、求出⽐较量与标准量间的差,作被除数.

8、 解答“求⼀个数⽐另⼀个数多（或少）百分之⼏”的应⽤题解题思路：（1）、找准单位“1”,学⽣总⼈数达标学⽣⼈数

试验种⼦总数发芽种⼦数应出勤⼈数出勤⼈数种植棵数

成活棵数投球总数

命中球数⼩麦重量⾯粉重量花⽣的重量油的重量

作除数；（2）、求出⽐较量与标准量间的差,作被除数；（3）、结果要化成百分数.9、商店有时降价出售商品,叫做打折扣出售,通称“打折”.⼏折就表⽰⼗分之⼏,也就是百分之⼏⼗.

10、纳税是根据国家税法的有关规定,按照⼀定的⽐率把集体或个⼈的收⼊的⼀部分缴纳给国家.税收是国家收⼊的主要来源之⼀.国家⽤收来的税款发展经济、科技、教育、⽂化和国防等事业.11、缴纳的税款叫做应纳税款,应纳税款与各种收⼊（销售额、营业额、应纳税所得额）的⽐率叫做税率.

12、存⼊银⾏的钱叫做本⾦,取款时银⾏多⽀付的钱叫做利息.利息与本⾦的⽐值叫做利率.国家规定,存款的利息要按5％的利率纳税,教育存款、国债、国库券的利息不纳税.13、相关公式：应纳税款＝本⾦×税率利息＝本⾦×利率×时间利息税＝本⾦×利率×时间×5％

税后利息＝本⾦×利率×时间×（1－5％）注意：本息是指本⾦与利息之和.

14、农业收成,经常⽤“成数”来表⽰.“⼀成”是⼗分之⼀,改写成百分数就是10％,“⼆成”是⼗分之⼆,改写成百分数就是20％,“三成五”就是⼆分之三点五,改写成百分数就是35％.第六单元：统计

条形统计图的特点是可以清楚地看出数量的多少；折线统计图的特点不仅可以看出数量的多少⽽且可以看出数量增减变化的情况；扇形统计图的特点是很清楚地表⽰出各部分数量同总量之间的关系.⼈教版新课标六年级数学下册重点知识归纳第⼀单元：负数

1．（1）正、负数的读写⽅法：○1写正数时,加“+”号或省略“+”号两种形式都可以,但是读正数时,加“+”的,⼀定要读出“正”字；省略“+”号的,这个“正”字也要省略不读.○2写负数时,⼀定要写出“⼀”号,读时也⼀定要读出“负”字.（2）0既不是正数,也不是负数,它是正数与负数的分界点.

2．能表⽰出正数、0、负数的直线,我们把它叫做数轴.

3．（1）数轴的概念：规定了原点、正⽅向和单位长度的直线叫做数轴.（2）温度计也可以看作是⼀数轴.

4．（1）在数轴上,从左到右的顺序就是数从⼩到⼤的顺序.（2）所有的负数都在0的左边,即负数都⽐0⼩；所有的正数都在0的右边,即正数都⽐0⼤.因此,负数都⽐正数⼩.（3）⽐较两个负数的⼤⼩,可以先⽐较与其对应的两个正数的⼤⼩,对应的正数⼤的那个负数反⽽⼩.

5．温馨提⽰：⽔结冰时的温度是0摄⽒度,0在这⾥的意义不是表⽰“没有”,⽽是⼀个具体的数. 6．温馨提⽰：在⽤正负数表⽰具有相反意义的量时,要先规定哪个量为正（或负）.如果上升⽤正数表⽰,那么下降⼀定⽤负数表⽰.第⼆单元：圆柱与圆锥

1．圆柱是由两个底⾯和⼀个侧⾯三部分组成的.

2．（1）圆柱的两个圆⾯叫做底⾯.（2）底⾯各部分的名称：圆柱的底⾯圆的圆⼼、半径、直径和周长分别叫做圆柱的底⾯圆

⼼、底⾯半径、底⾯直径和底⾯周长.（3）底⾯的特征：圆柱底⾯是完全相同的两个圆.3．（1）圆柱周围的⾯叫做侧⾯.（2）特征：圆柱的侧⾯是曲⾯.

4．（1）圆柱两个底⾯之间的距离叫做圆柱的⾼.（2）⼀个圆柱有⽆数条⾼.

5．把圆柱平⾏于底⾯进⾏切割,切⾯是和底⾯⼤⼩相同的两个圆；把圆柱沿底⾯直径垂直于底⾯进⾏切割,切⾯是两个完全相同的长⽅形.

6．圆柱的侧⾯展开图是⼀个长⽅形,这个长⽅形的长等于圆柱底⾯的周长,宽等于圆柱的⾼. 7．在圆柱的上下底⾯周长上任取⼀点分别为A、B,连接AB（使AB不是圆柱的⾼）,沿着AB将圆柱的侧⾯剪开,圆柱展开后是⼀个平⾏四边形.8．温馨提⽰：圆柱的底⾯是圆形,⾯不是椭圆.

9．温馨提⽰：沿⾼剪开时,圆柱的侧⾯展开图是⼀个长⽅形.

10．从圆柱的上下两个底⾯观察会得到圆；从圆柱的正⾯或侧⾯观察会得到长⽅形（或正⽅形）. 11．如果圆柱的侧⾯展开图是个长⽅形,那么该圆柱的底⾯周长⼤约是其底⾯直径长度的3倍.如

果圆柱的侧⾯展开图是个正⽅形,那么该圆柱的⾼⼤约是其底⾯直径长度的3倍.

12．圆柱的侧⾯积=底⾯周长×⾼.如果⽤字母S表⽰圆柱的侧⾯积,⽤C表⽰底⾯周长,⽤h表⽰⾼,则圆柱的侧⾯积的计算公式是S=Ch

13.（1）已知圆柱的底⾯直径和⾼,可以根据公式：S=πdh直接求出圆柱的侧⾯积.（2）已知圆柱的底⾯半径和⾼,可以根据公式：S=2πrh直接求出圆柱的侧⾯积.

14．圆柱的表⾯积是指圆柱的侧⾯积和两个底⾯的⾯积之和.

15．圆柱的表⾯积=圆柱的侧⾯积+底⾯积×2,⽤字母表⽰为S表=S侧+2S底.

16．（1）已知圆柱的底⾯半径和⾼,可以根据公式：S表=2πrh+2πr2直接求出圆柱的表⾯积.（2）已知圆柱的底⾯直径和⾼,求圆柱的表⾯积时,可以根据公式：S表=πdh+π（d÷2）2直接求出圆柱的表⾯积.（3）已知圆柱的底⾯周长和⾼,求圆柱的表⾯积,可以根据公式：S表=Ch+π（C/2π）2=Ch+C2/4π求出圆柱的表⾯积.

17．温馨提⽰：求通风管、烟囱、油管等圆柱形物体的表⾯积其实就是求它们的侧⾯积.18．温馨提⽰：把⼀个圆柱截成n段后,其表⾯积增加了2（n-1）个底⾯积.19．⼀个圆柱占空间的⼤⼩,叫做这个圆柱的体积.20．圆柱的体积=底⾯积×⾼,字母公式：V=Sh或V=πr2h

21．温馨提⽰：容积的计算⽅法和体积的计算⽅法相同,只是计算容积的数据要从⾥⾯测量. 22．在计算过程中,如果已知圆柱的底⾯半径、直径或周长,那么要先求出底⾯积,再求体积.计算公式是：V=πr2h,V=π(d÷2)2h,V=π[C÷（2π）]2h

23.温馨提⽰：圆柱的⾼不变,底⾯半径、直径或周长扩⼤到原来的n倍,则体积扩⼤到原来的n2倍,若底⾯半径、直径或周长缩⼩到原来的1/n,则体积缩⼩到原来的1/（n2）.

24．温馨提⽰：在圆柱的⽴体图形中,两个底⾯圆⼼之间的距离是圆柱的⾼,但在圆柱的平⾯展开图中,长⽅形的宽（或正⽅形的边长）才是圆柱的⾼.

25．两个圆柱的半径⽐是1：a（a>0）,⾼的⽐是a：1,则它们的体积之⽐是1：a.

26．圆锥是由⼀个底⾯和⼀个侧⾯两部分组成.（1）底⾯：圆锥的圆⾯就是它的底⾯,它有⼀个底⾯.圆锥底⾯的圆⼼、半径、直径和周长分别叫做圆锥的底⾯圆⼼、底⾯半径、底⾯直径和底⾯周长,分别⽤字母O、r、d和C表⽰.（2）侧⾯：圆锥周围的曲⾯就是它的侧⾯.（3）⾼：从圆锥的顶点到底⾯圆⼼的距离是圆锥的⾼.⾼⽤字母h表⽰.（4）圆锥只有⼀条⾼.（5）转动直⾓三⾓形可以形成圆锥.

27．温馨提⽰：（1）从圆锥的顶点到底⾯圆周上任意⼀点的线段是圆锥的母线,圆锥母线的长度⼤

于圆锥的⾼.（2）任意画⼀条母线,把圆锥的侧⾯展开,得到⼀个扇形,因此圆锥的侧⾯展开图是⼀个扇形.（3）把圆锥平⾏于底⾯切割,切⾯是两个完全相同的圆,该圆要⽐圆锥的底⾯圆⼩；把圆锥沿⾼垂直于底⾯进⾏切割,切⾯则是两个完全相同的等腰三⾓形.

28．温馨提⽰：半圆能围成圆锥,但整圆不能围成圆锥.

29．圆锥的体积=底⾯积×⾼÷3,⽤字母表⽰：V圆锥=V圆柱÷3=Sh÷3

30．圆柱和圆锥的关系：（1）等底等⾼的圆柱和圆锥：圆柱的体积⽐圆锥的体积多2倍；圆锥的体积⽐圆柱的体积少2/3.（2）等底等⾼的圆柱和圆锥：圆锥的⾼是圆柱的⾼的3倍,或者说圆锥的⾼⽐圆柱的⾼多2倍；圆柱的⾼是圆锥的⾼的1/3,或者说圆柱的⾼⽐圆锥的⾼少2/3.（3）等⾼等体积的圆柱和圆锥：圆锥的底⾯积是圆柱的底⾯积的3倍,或者说圆锥的底⾯积⽐圆柱的底⾯积多2倍；圆柱的底⾯积是圆锥的底⾯积的1/3,或者说圆柱的底⾯积⽐圆锥的底⾯积少2/3. 31．温馨提⽰：（1）已知圆锥的底⾯半径和⾼,可以直接利⽤公式：V=πr2h÷3来求圆锥的体积.（2）已知圆锥的底⾯直径和⾼,可以直接利⽤公式：

V=π（d÷2）2h÷3来求圆锥的体积.（3）已知圆锥的底⾯周长和⾼,可以直接利⽤公式：V=π（C÷2÷π）2h÷3求出圆锥的体积.32．利⽤V=Sh÷3计算圆锥的体积时不要忘记除以3或乘1/3.

33．温馨提⽰：圆柱体积是圆锥体积的3倍或者说圆锥体积是圆柱体积的1/3,必须以“圆柱和圆锥等底等⾼”为前提.34．在以直⾓三⾓形的直⾓边为轴旋转⽽成的两个圆锥中,以较短直⾓边为轴旋转⽽成的圆锥的体积⽐较⼤.第三单元：⽐例

1．表⽰两个⽐相等的式⼦叫做⽐例.

2．写⽐例时,组成⽐例的两个⽐既可以写成带⽐号的形式,也可以写成分数形式.3．⽐表⽰两个数相除的关系；⽐例表⽰两个⽐相等的关系,是⼀个等式.

4．判断两个⽐能不能组成⽐例,关键要看它们的⽐值是不是相等,若⽐值相等,则能组成⽐例；若⽐值不相等,则不能组成⽐例.5．组成⽐例的四个数,叫做⽐例的项.在⽐例中,两端的两项叫做⽐例的外项；中间的两项叫做⽐例的内项.6．在⽐例⾥,两个外项的积等于两个内项的积,这叫做⽐例的基本性质.7．如果a×b=c×d,那么a:d与c :b能组成⽐例.

8．判断两个⽐能否组成⽐例,也可以根据⽐的基本性质把这两个⽐化成最简⽐,如果所化成的最简⽐相同,那么这两个⽐就能组成⽐例,否则不能.

9．温馨提⽰：⽐例中等号的两侧必须都是⼀个⽐.

10.温馨提⽰：把等式ax=by改写成⽐例式后,a和x必须同时为外项,或同时为内项.

11．判断四个数是否能组成⽐例,先把最⼤数与最⼩数相乘,再把其余两数相乘,如果这两个积相等,那么这四个数就能组成⽐例.12．如果四个不同的数可以组成⽐例,那么这四个数⼀共能组成8个不同的⽐例.13．求⽐例中的未知项,叫做解⽐例.

14．根据⽐例的基本性质解⽐例,先把⽐例式转化成外项乘积与内项乘积相等的形式（即以前学过的⽅程）,再通过解⽅程求出未知项的值.

15．温馨提⽰：把⽐例转化成学过的⽅程时,应该是外项的乘积等于内项的乘积.

16．两种相关联的量,⼀种量变化,另⼀种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的⽐值⼀定,这两种量就叫做成正⽐例的量,它们的关系叫做正⽐例关系.

17．两种相关联的量如果成正⽐例,那么其中⼀种量中任意两个数的⽐等于另⼀种量中相对应的两个数的⽐,即能组成⽐例.18．正⽐例关系的判断⽅法：（1）判断这两种量是不是相关联的量.（2）判断这两种相关联的量中相对应的两个数的⽐值（商）是否⼀定,若⼀定,这两种量就成正⽐例关系；否则就不成正⽐例关系.

19．正⽐例关系图像的画法与折线统计图的画法相同.正⽐例关系的图像是⼀条经过原点0的直线.从图像中,可以直观看到两种量的变化情况,不⽤计算,由⼀个量的值可以直接找到对应的另⼀个量的值.

20．温馨提⽰：正⽅形的⾯积与边长不成⽐例,与边长的平⽅成正⽐例.圆的⾯积与半径不成⽐例,但是与半径的平⽅成正⽐例.21．两种相关联的量,⼀种量变化,另⼀种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两数的积⼀定,这两种量就叫做成反⽐例的量,它们的关系叫做反⽐例关系.如果⽤字母x和y表⽰两种相关联的量,⽤表⽰它们的乘积（⼀定）,反⽐例关系可以表⽰为：x×y=k（⼀定）.

22．反⽐例关系的判断⽅法：（1）判断两种量是不是相关联的量.（2）判断两种量中相对应的两个数的积是否⼀定,如果积⼀定,这两种量就成反⽐例关系,否则就不成反⽐例关系.

23．正⽐例与反⽐例的异同点：相同点：（1）都是两种相关联的量.（2）⼀种量随着另⼀种量变化.不同点：正⽐例（1）“变化⽅向”相同,⼀种量扩⼤或缩⼩,另⼀种量也扩⼤或缩⼩.（2）相对应的两个数的⽐值（商）⼀定.（3）关系式：y/x=k(⼀定).反⽐例（1）“变化⽅向”相反,⼀种量扩⼤或缩⼩,另⼀种量反⽽缩⼩或扩⼤.（2）相对应的两个数的乘积⼀定.（3）关系式：x×y=k（⼀定）.

24．温馨提⽰：当两种相关联的量相对应的两个数的积不⼀定,⽽和⼀定时,它们不成任何⽐例.铺地⾯积⼀定时,⽅砖边长与所需块数不成反⽐例,但是⽅砖⾯积与所需块数成反⽐例.

25．如果a×b=c(a、b、c均为⾮0的⾃然数),那么当a⼀定时,b和c成正⽐例；当b⼀定时,a 和c成正⽐例；当c⼀定时,a和b成反⽐例.

26．⼀幅图的图上距离和实际距离的⽐,叫做这幅图的⽐例尺.图上距离：实际距离=⽐例尺或错误！未找到引⽤源。=⽐例尺.27．温馨提⽰：⽐例尺是⼀个⽐,它表⽰图上距离和实际距离的倍⽐关系,因此不能带有计量单位.⽐例尺是图上距离⽐实际距离得到的最简整数⽐,可以写成带⽐号的形式,也可以写成分数形式. 28．在⼤⼩相同的地图上,⽐例尺越⼤,反映的实际范围越⼩.29．⽐例尺可分为：数值⽐例尺和线段⽐例尺.

30．线段⽐例尺可以改写成数值⽐例尺.改写⽅法为：根据线段⽐例尺,写出图上距离和实际距离的⽐,统⼀单位后再化成最简⽐的形式.

31．根据⽐例尺和图上距离,求实际距离,可以根据“错误！未找到引⽤源。=⽐例尺”列⽐例式来求,也可以利⽤“实际距离=图上距离÷⽐例尺”直接列式计算.

32．根据⽐例尺和实际距离,求图上距离,可以根据“错误！未找到引⽤源。=⽐例尺”列⽐例式来求,也可以利⽤“图上距离=实际距离×⽐例尺”直接列式计算.

33．应⽤⽐例尺画图要先根据实际距离与纸张的⼤⼩确定平⾯图的⽐例尺,再根据⽐例尺求出图上距离,然后根据图上距离画出相应的平⾯图,并标明平⾯图名称及⽐例尺.

34．温馨提⽰：通常缩⼩⽐例尺的前项为1,放⼤⽐例尺的后项为1.⽐例尺是⼀个⽐,不能加单位名称.

35．保持图形原来的形状⽽使图形变⼩,叫做图形的缩⼩；保持图形原来的形状⽽使图形变⼤,叫做图形的放⼤.图形的放⼤和缩⼩是⽣活中常见的现象,把⼀个图形放⼤或缩⼩后所得到的图形与原图形相⽐,形状相同,⼤⼩不同.36．形状相同,⼤⼩不同的两个图形是相似图形,把⼀个图形放⼤或缩⼩,就可以得到原图形的相似图形.

37．在⽅格纸上按⼀定的⽐例将图形放⼤或缩⼩分为三步：⼀看,看原图形每边各占⼏格；⼆算,计算按给定的⽐例将图形的各边长放⼤或缩⼩后得到的新图形每边长各占⼏格；三画,按计算出的边长画出原图形的放⼤或缩⼩图.

38．温馨提⽰：把⼀个图形放⼤到原来的n倍或缩⼩到原来的错误！未找到引⽤源。(n、m均不为0)是把这个图形的各边长分别放⼤到原来的n倍或缩⼩到原来的错误！未找到引⽤源。,⽽不是把图形的⾯积放⼤到原来的n倍或缩⼩到原来的错误！未找到引⽤源。.把图形放⼤（或缩⼩）后,形状不能改变,相对应的⾓的度数也不能改变.

39.如果⼀个长⽅形的各边长扩⼤到原来长度的n倍或缩⼩到原来长度的错误！未找到引⽤源。,那么它的周长就扩⼤到原来长度的n倍或缩⼩到原来长度的错误！未找到引⽤源。,它的⾯积则扩⼤到原来的n2倍或缩⼩到原来的1/n2.

40．⽤⽐例解决问题：根据问题中的不变量找出两种相关联的量,并判断这两种相关联的量成什么⽐例关系,根据正、反⽐例关系式列出相应的⽅程并求解.

41．⽤⽐例解决问题的步骤：（1）根据不变量判断题中两种相关联的量成什么⽐例关系.（2）根据正、反⽐例的意义列⽅程.（3）列式解答.（4）检验并作答.

42．（1）蹬⼀圈⾃⾏车的距离=车轮的周长×错误！未找到引⽤源。（2）解决问题的基本过程：提出问题——分析问题——建⽴数学模型——求解——解释与应⽤.

43．（1）变速⾃⾏车能变化出不同速度的种数=前齿轮的个数×后齿轮的个数.（2）前齿轮的的齿数越多,后齿轮的齿数越少,也就是错误！未找到引⽤源。的⽐值越⼤,则该前后齿轮组合在⼀起时变化出的速度越快.第四单元：统计

1．扇形统计图及其特点：扇形统计图是⽤整个圆表⽰总数,⽤圆内各个扇形的⼤⼩表⽰各部分数量占总数的百分数；从扇形统计图中可以清楚地看出各部分数量同总数之间的关系.

2．制作统计图时,⼀定要客观准确地反映信息；在分析统计图时,不要被模糊数据所误导,⼀定要认真分析,准确提取统计信息.

3．折线统计图及其特点：折线统计图是⽤⼀个单位长度表⽰⼀定的数量,根据数量的多少描出各点,然后把各点⽤线段顺次连接起来.折线统计图不但可以表⽰出数量的多少,⽽且能够清楚地表⽰出数量增减变化的情况.

4．在根据统计图进⾏⽐较、判断时要注意统⼀标准.

5．温馨提⽰：当扇形统计图中“其他”部分的占有率⽐已知占有率最⼩的部分⼤时,不能判定已知占有率最⼩的部分所代表的数据最⼩.

第五单元：数学⼴⾓

1．“抽屉原理”（⼀）：把m个物体任意放进n个空抽屉⾥（m>n,n是0⾮⾃然数）,那么⼀定有⼀个抽屉中放进了⾄少2个物体.2．“抽屉原理”（⼆）：把多于kn个的物体任意分放进n个空抽屉（k是正整数）,那么⼀定有⼀个抽屉中放进了⾄少(k+1)个物体.

3．⽤“抽屉原理”解题的⼀般步骤是：

（1）分析题意,把实际问题转化为“抽屉原理”,即弄清“抽屉”（“抽屉”是什么,有⼏个抽屉）和分放物体.（2）设计“抽屉”的具体形式,即“抽屉原理”.

（3）运⽤原理,得出在某个“抽屉”中⾄少分放物体的个数,最终归到原题结论上.4．温馨提⽰：要把a个物体放进n个抽屉,如果a÷n=b……c(c≠0且c第六单元：整理和复习1 数与代数数的意义及分类

1．整数的含义：像……-3,-2,-1,0,1,2,3,……这样的数统称整数.整数的个数是⽆限的.没有最⼩的整数,也没有最⼤的整数.⾃然数是整数的⼀部分.

2．⾃然数的含义：在数物体个数的时候,⽤来表⽰物体个数的1,2,3,4,5,……叫做⾃然数.⼀个物体也没有⽤0表⽰.⾃然数的个数是⽆限的.最⼩的⾃然数是0,没有最⼤的⾃然数.

（1）⼀个⾃然数有两⽅⾯的意义：⼀是表⽰事物的多少,称为基数；⼆是表⽰事物的次序,称为序数.如“3个学⽣”中的“3”是基数,“第3个学⽣”中的“3”就是序数.

（2）0的含义：0表⽰⼀个物体也没有；表⽰正、负数的分界；表⽰起点（如零刻度）；计数时0起占位作⽤.（3）⾃然数的基本单位：任何⾮“0”⾃然数都是由若⼲个“1”组成的,所以“1”是⾃然数最基本的单位.

3．正数和负数的含义：像1,+2,3……这样的数叫做正数；像-3,-2,-1,……这样的数叫做负数.⾃然数是等于或⼤于0的整数,也可以说是不⼩于0的整数,即“⾮负整数”.

4．分数的含义：把单位“1”平均分成若⼲份,表⽰这样的⼀份或者⼏份的数叫做分数.

（1）分数单位：把单位“1”平均分成若⼲份,表⽰这样⼀份的数就是这个分数的分数单位.⼀个分数的分母是⼏,它的分数单位就是⼏分之⼀；分⼦是⼏,它就有⼏个这样的分数单位.（注意：带分数只有化成假分数后,它的分⼦才能是这个带分数中含有分数单位的个数.）

（2）分数的分类：真分数：分⼦⽐分母⼩的分数叫做真分数.真分数⼩于1.假分数：分⼦⽐分母⼤或分⼦和分母相等的分数叫做假分数.假分数⼤于或等于1.带分数：由整数部分和真分数组成.如“4错误！未找到引⽤源。”

5．百分数的含义：表⽰⼀个数是另⼀个数的百分之⼏的数叫做百分数,也叫做百分率或百分⽐.百分数通常⽤“%”表⽰.百分数的分数单位是1%.

分数和百分数的关系：分数既可以表⽰⼀个数,也可以表⽰两个数的⽐；⽽百分数只表⽰⼀个数占另⼀个数的百分⽐,不能⽤来表⽰具体数.因此,百分数是⼀种特殊的分数,但分数可以有单位,⽽百分数绝不能有单位.

6．⼩数的含义：把整数“1”平均分成10份,100份,1000份,……这样的1份或⼏份是⼗分之⼀,百分之⼀,千分之⼀,……或⼗分之⼏,百分之⼏,千分之⼏,……可以⽤⼩数表⽰.⼩数的单位是0.1,0.01,0.001,……它是⼗进制的另⼀种表现形式.

⼩数分类：

（1）纯⼩数和带⼩数：整数部分是0的⼩数叫做纯⼩数,纯⼩数⼩于1；整数部分不是0的⼩数叫做带⼩数,带⼩数⼤⼩1.（2）有限⼩数和⽆限⼩数：⼩数部分位数有限的⼩数,叫做有限⼩数；⼩数部分位数⽆限的⼩数,叫做⽆限⼩数.如：4.28是有限⼩数,π是⽆限⼩数.

（3）循环⼩数：⼀个⼩数,从⼩数部分的某⼀位起,⼀个数字或者⼏个数字依次不断地重复出现,这样的⼩数叫做循环⼩数.循环⼩数都有是⽆限⼩数.（4）循环节：⼀个循环⼩数的⼩数部分中,依次不断重复出现的数字,叫做这个循环⼩数的循环节.（5）纯循环⼩数和混循环⼩数：循环节从⼩数部分第⼀位开始的,叫做纯循环⼩数；循环节不是从⼩数部分第⼀位开始的,叫做混循环⼩数. 计数单位和数位

1．计数单位：个、⼗、百……以及⼗分之⼀、百分之⼀、……都是计数单位.2．数位：各个计数单位所占的位置,叫做数位.数位是按⼀定的顺序排列的.

3．⼗进制计数法：“⼗进制计数法”是世界各国最常⽤的⼀种计数⽅法.它的特点是每相邻的两个计数单位之间的进率都是“⼗”,就是10个较低的计数单位可以进成⼀个较⾼的计数单位（即通常所说的“逢⼗进⼀”）.这种以“⼗”为基础进位的计数⽅法,叫做⼗进制计数法.

4．整数和⼩数数位顺序表：

数的读法和写法.1．整数的读、写法.

读法：从⾼位到低位,⼀级⼀级地读,每⼀级末尾的0都不读,其他数位不管连续有⼏个0,都只读⼀个零.读数前通常先把这个数从个位向左四位分级,再按各数级来读.

写法：从⾼位到低位,⼀级⼀级地写,哪⼀个数位上⼀个单位也没有,就在哪个数位上写0.2．⼩数的读、写法.

读法：读⼩数的时候,从左往右,整数部分按照整数的读法来读（整数部分是0的读作“零”）,⼩数点读作“点”,⼩数部分从⾼位到低位顺次读出每⼀个数位上的数字,即使是连续的0,也要依次读出来.

写法：写⼩数时,也是从左往右,整数部分按照整数的写法来写（整数部分是零的写作“0”）,⼩数点写在个位的右下⾓,⼩数部分从⾼位到低位顺次写出每个数位上的数字.3．分数的读、写法.

读法：读分数时,先读分数中分母的数,再读“分之”,最后读分⼦的数.读带分数时,要先读整数部分,再读分数部分,中间加⼀个“⼜”字.

写法：写分数时,先写分数线,再写分母,最后写分⼦.写带分数时,要先写整数部分,再写分数部分,整数部分要对准分数线,距离要紧凑.在列式计算中,分数线要对准“=”号中两横线的中间. 4．百分数的读、写法.读法：与分数的读法相同,先读分母,再读分⼦.

写法：百分数通常不写成分数形式,⽽是在原来的分⼦后⾯加上百分号“%”.写百分数时,要先写分⼦,再写百分号.数的改写.

1．把多位数改写成以“万”或“亿”为单位的数.

（1）直接改写：把多位数改写成⽤“万”或“亿”作单位的数,先把原数的⼩数点向左移动4位或8位（若⼩数部分的末尾是0要划掉）,再在数后⾯加写“万”或“亿”字,中间要⽤“=”号连接.

（2）省略尾数改写成近似数：先⽤“四舍五⼊”法省略万位或亿位后⾯的尾数,再在这个数的后⾯加写“万”或“亿”字,得出的是近似数,中间要⽤“≈”号连接.2．求⼩数的近似数.

根据要求,要把⼩数保留到哪⼀位,就把这⼀位后⾯的尾数按照“四舍五⼊”法省略.中间⽤“≈”号.3．假分数与带分数或整数之间的互化.

（1）假分数化成整数或带分数的⽅法：根据分数与除法的关系,⽤假分数的分母去除分⼦,如果分⼦是分母的倍数,所得的商就是整数；如果分⼦不是分母的倍数,所得的商就是带分数的整数部分,余数就是分数部分的分⼦,原分母不变.

（2）整数化成假分数的⽅法：把整数（0除外）化成假分数,⽤指定的分母（0除外）作分母,⽤分母和整数（0除外）的乘积作分⼦.

（3）带分数化成假分数的⽅法：把带分数化成假分数,⽤原来的分母作分母,⽤分母和整数的乘积再加上原来的分⼦作分⼦.4．分数、⼩数与百分数之间的互化.

（1）

（2）判断⼀个分数能否化成有限⼩数的⽅法：○1要看这个分数是否是最简分数.○2如果是最简分数,就要看其分母中含有哪些质因数.如果分母中不含有2和5以外的其他质因数,这个分数就能化成有限⼩数；如果分母含有2和5以外的其他质因数,这个分数就不能化成有限⼩数.数的⼤⼩⽐较.1．整数的⼤⼩⽐较.

⽐较两个整数的⼤⼩,要看它们的位数.如果位数不同,那么位数多的数就⼤；如果位数相同,就从最⾼位⽐起,相同数位上的数⼤的,这个数就⼤.2．⼩数的⼤⼩⽐较.

先看它们的整数部分,整数部分⼤的那个数就⼤；整数部分相同的,⼗分位上的数⼤的那个数就⼤；⼗分位上的数相同的,百分位上的数⼤的那个数就⼤……以此类推.3．分数的⼤⼩⽐较.

（1）真、假分数或整数部分相同的带分数：分母相同,分⼦⼤则分数⼤；分⼦相同,则分母⼩的分数⼤；分⼦和分母都不相同,通分后化成同分母分数再⽐较⼤⼩.

（2）整数部分不同的带分数：整数部分⼤的则分数⼤.数的性质分数的基本性质.

分数的分⼦和分母同时乘或除以相同的数（0除外）,分数的⼤⼩不变.⼩数的基本性质.

1．⼩数的基本性质：⼩数的末尾添上0或者去掉0,⼩数的⼤⼩不变.

2．⼩数的基本性质与分数的基本性质的关系：⼩数的基本性质与分数的基本性质是⼀致的.⼩数点位置移动引起⼩数⼤⼩变化的规律.

⼩数点向右移动⼀位、两位、三位……该数就扩⼤到原来的10倍、100倍、1000倍……⼩数点向左移动⼀位、两位、三位……该数就缩⼩到原来的错误！未找到引⽤源。、错误！未找到引⽤源。、错误！未找到引⽤源。……

应⽤⼩数位置移动的变化规律,如果要把⼀个数扩⼤到原来的10倍、100倍、1000倍……就要把它的⼩数点向右移动⼀位、两位、三位……如果要把⼀个数缩⼩到原来的错误！未找到引⽤源。、错误！未找到引⽤源。、错误！未找到引⽤源。……就要把它的⼩数点向左移动⼀位、两位、三位……因数倍数质数合数因数和倍数.

已知a、b、c均为正整数,且a×b=c,那么c就是a和b的倍数,a和b就是c的因数.倍数和因数是相互依存的.

⼀个数的因数的个数是有限的,其中最⼩的因数是1,最⼤的因数是它本⾝；⼀个数的倍数的个数是⽆限的,其中最⼩的倍数是它

本⾝,没有最⼤的倍数；⼀个数既是它本⾝的因数,也是它本⾝的倍数.2、3、5的倍数的特征.

1．2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8.2．3的倍数的特征：各个数位上的数字的和是3的倍数.3．5的倍数的特征：个位上是0或者5.4．既是2⼜是5的倍数的特征：个位上是0.

5．既是2、3的倍数⼜是5的倍数的特征：个位上是0,并且各个数位上的数字的和是3的倍数. 奇数和偶数.奇数：在⾃然数中,不是2的倍数的数叫做奇数.偶数：在⾃然数中,是2的倍数的数叫做偶数.

⾃然数中,不是奇数就是偶数.最⼩的奇数是1,没有最⼤的奇数；最⼩的偶数是0,没有最⼤的偶数.质数和合数.

1．质数的含义：⼀个数,如果只有1和它本⾝两个因数,这样的数叫做质数（或素数）.最⼩的质数是2,2是唯⼀的偶质数,没有最⼤的质数.

2．合数的含义：⼀个数,如果除了1和它本⾝还有别的因数,这样的数做合数.最⼩的合数是4,没有最⼤的合数.3．1既不是质数,也不是合数.

4．判断⼀个数是质数还是合数的⽅法.

（1）检查因数的个数：即先找出这个数的所有因数,再数因数的个数,只有两个因数的数是质数,有三个或三个以上因数的数是合数.

（2）查质数表：20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19.

（3）找第3个因数：这个因数既不是1,也不是这个数本⾝.没有第三个因数的数便是质数,否则就是合数.分解质因数.

1．质因数：每个合数都可以写成⼏个质数相乘的形式.其中每个质数都是这个合数的质因数. 2．分解质因数：把⼀个合数⽤质因数相乘的形式表⽰出来,叫做分解质因数.

3．分解质因数的⽅法：把⼀个合数分解质因数,通常运⽤短除法.分解质因数时,先⽤这个合数的质因数（通常从最⼩的开始）去除,得出的商如果是质数,就把除数和商写成相乘的形式；得出的商如果是合数,就照上⾯的⽅法继续除下去,直到得出的商是质数为⽌,然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式.最⼤公因数和最⼩公倍数.

1．最⼤公因数：⼏个数公有的因数,叫做这⼏个数的公因数；其中最⼤的⼀个,叫做这⼏个数的最⼤公因数.2．最⼩公倍数：⼏个数公有的倍数,叫做这⼏个数的公倍数；其中最⼩的⼀个叫做这⼏个数的最⼩公倍数.3．互质数：公因数只有1的两个数叫做互质数.

4．求两个数的最⼩公倍数的⽅法：⼀般采⽤短除法,即先⽤这两个数公有的质因数连续去除,⼀直除到所得的商是互质数为⽌,然后把所有的除数和最后的两个商连乘起来.（在除的过程,有时也可以⽤两个数的公因数去除.）

5．求两个数的最⼩公倍数的⽅法：⼀般也采⽤短除法,即先⽤这两个数公有的质因数连续去除,⼀直除到所得的商是互质数为⽌,然后把所有的除数和最后的两个商连乘起来.6．求两个数的最⼤公因数和最⼩公倍数的特殊⽅法：

如果较⼩数是较⼤数的因数,那么较⼩数就是这两个数的最⼤公因数,较⼤数就是这两个数的最⼩公倍数.

如果两个数是互质数,那么它们的最⼤公因数就是1,最⼩公倍数就是这两个数的乘积.

四则运算的意义和计算⽅法四则运算的意义.

1．加法的含义：把两个（或⼏个）数合并成⼀个数的运算,叫做加法.

2．减法的含义：已知两个加数的和与其中的⼀个加数,求另⼀个加数的运算,叫做减法.3．乘法的含义：求⼏个相同加数的和的简便运算.（1）整数乘法的意义：求⼏个相同加数的和的简便运算.

（2）⼩数乘法的意义：⼩数乘整数的意义与整数乘法的意义相同,也是求⼏个相同加数的和的简便运算；⼀个数乘纯⼩数的意义,就是求这个数的⼗分之⼏、百分之⼏……是多少；⼀个数乘带⼩数的意义,就是求这个数的带⼩数倍是多少.

（3）分数乘法的意义：分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同,也是求⼏个相同加数的和的简便运算；⼀个数乘分数的意义,就是求这个数的⼏分之⼏是多少；⼀个数乘假分数或带分数的意义,是求这个数的假分数（或带分数）倍是多少.（4）⼩数乘法与分数乘法的意义要结合具体语⾔环境来理解.

4．除法的意义：已知两个因数的积与其中⼀个因数,求另⼀个因数的运算.四则运算的计算⽅法.1．加减法的计算⽅法：

整数加法的计算⽅法：相同数位对齐,从个位加起,哪⼀位上的数相加满⼗要向前⼀位进1.

整数减法的计算⽅法：相同数位对齐,从个位减起,哪⼀位上的数不够减,要从前⼀位上退1,在本位上加⼗再减.

⼩数加法的计算⽅法：计算⼩数加法,把⼩数点对齐,从末位加起.哪⼀位上的数相加满10,要向前⼀位进1.最后在得数⾥对齐横线上的⼩数点,点上⼩数点.

⼩数减法的计算⽅法：计算⼩数减法,把⼩数点对齐,从末位减起.如果被减数的⼩数末尾位数不够,可以添“0”再减.哪⼀位上的数不够减,要从前⼀位上退1,在本位上加⼗再减.

分数加减法的计算⽅法：同分母分数相加减,分母不变,只把分⼦相加减；异分母分数相加减,先通分,然后按照同分母分数加减法的法则进⾏计算.

整数、⼩数、分数加减法计算的相同点：都是把相同计数单位的数相加减.2．乘法的计算⽅法：

整数乘法的计算⽅法：相同数位对齐,从末位算起,先⽤第⼆个因数每⼀位上的数分别去乘第⼀个因数,⽤第⼆个因数的哪⼀位上的数去乘,乘得的积的末位就要和那⼀位对齐,最后再把每次所乘得的积相加.

⼩数乘法的计算⽅法：计算⼩数乘法,先按照整数乘法的计算⽅法算出积,再看因数中⼀共有⼏位⼩数,就从积的末位起数出⼏位,点上⼩数点.

分数乘法的计算⽅法：分数乘分数,⽤分⼦相乘的积作分⼦,分母相乘的积作分母.（为了计算简便,能约分的,可以先约分再乘.）3．除法的计算⽅法：

整数除法的计算⽅法：（1）从被除数的⾼位除起,除的时候,除数是⼏位数,就先看被除数的前⼏位,如果前⼏位不够除,再多看⼀位.（2）除到被除数的哪⼀位,就把商写在那⼀位的上⾯.（3）每次除得的余数必须⽐除数⼩.

⼩数除法的计算⽅法：（1）除数是整数的⼩数除法,要按照整数除法的计算⽅法去除,商的⼩数点要和被除数的⼩数点对齐.如果除到被除数的末尾仍有余数,就在余数的后⾯添0再继续除.（2）除数是⼩数的除法,先移动除数的⼩数点,使它变成整数；除数的⼩数点向右移动⼏位,被除数的⼩数点也向右移动⼏位.位数不够时,在被除数的末尾⽤“0”补⾜,然后按除数是整数的⼩数除法进⾏计算.

分数除法的计算⽅法：甲数除以⼄数（0除外）,等于甲数乘⼄数的倒数.倒数：乘积是1的两个数互为倒数.四则运算的验算.

1．加法的验算⽅法：（1）⽤加法验算：即调换两个加数的位置再相加.（2）⽤减法验算：和⼀⼀个加数=另⼀个加数.2．减法的验算⽅法：（1）⽤加法验算：即差+减数=被减数.（2）⽤减法验算：即被减数⼀差=减数.

3．乘法的验算⽅法：（1）⽤乘法验算：调换两个因数的位置再乘⼀遍.（2）⽤除法验算：积÷⼀个因数=另⼀个因数.4．除法的验算⽅法：（1）⽤乘法验算：商×除数=被除数或商×除数+余数=被除数.（2）⽤除法验算：被除数÷商=除数或（被除数⼀余数）÷商=除数0与1在四则运算中的特性.

a+0=a a-0=a a-a=0 a×0=0 a×1=a a÷1=a 0÷a=0 1÷a= 错误！未找到引⽤源。a÷a=1四则运算的估算⽅法.

根据算式中各数的特点,估算时⼀般是将其中的⼤数看作整⼗、整百、整千……的数,使原式通过⼝算便可求出得数.由于得数是近似值所以计算时要⽤“≈”连接.简单应⽤题的类型.