基于风险中性路径概率的三叉树期权定价模型

发表时间：2014-12-17T11:10:49.793Z 来源：《价值工程》2014年第7月下旬供稿 作者： 元毅

[导读] 文献综述树方法是一个非常流行的期权定价数值方法。它把从现在到到期日的时间分成了n 期，使得在这n 期里面的股价进行离散地变化。

A Trinomial Tree Pricing Model Based on the Risk-neutral Probability

元毅YUAN Yi（中央财经大学，北京102206）（Central University of Finance and Economics，Beijing 102206，China）

摘要院树方法是给经典期权进行定价的非常实用的数值方法，目前最流行的是二叉树模型。三叉树定价模型作为二叉树的一个扩展，其同样是在风险中性概率的基础上给经典期权进行定价，并且可以通过MATLAB 实现。相比于二叉树而言，三叉树模型的定价结果具有更好的收敛性。除此之外，用三叉树模型对影响期权价格的一些因素进行敏感性分析，可以验证该模型的合理性。

Abstract: The tree model is a practical method for pricing vanilla European and American options and the most popular oneisbinomial model. As an extending of binomial model and based on the risk-neutral probability, trinomial model is also used to pricevanillaoptions. It can be implemented in MATLAB as well. Compared with the outcomes of binomial model, the pricing outcomes of

trinomialmodel converge better to B-S-M analytic solution. Besides, sensitivity analysis can be conducted to test the influential factors ofoptionprice by using trinomial model and demonstrate the reasonability of this model.

关键词院三叉树模型；风险中性概率；收敛性；敏感性分析Key words: trinomial model；risk-neutral probability；convergence；sensitivity analysis中图分类号院F830.91 文献标识码院A 文章编号院1006-4311（2014）21-0174-030

引言二叉树模型作为金融资产定价尤其是衍生品定价的数值方法，自从创建以来应用十分广泛。Cox，Ross，Rubinstein 在1979 年创建的CRR 模型，相对于1973 年的B-S-M 期权定价公式，更易于大家所理解和操作，并且CRR 模型可以给美式期权定价，而大名鼎鼎的B-S-M 公式则在美式期权上无能为力。虽然二叉树模型仍然是教科书中一个不朽的经典模型，但是在实际操作过程中由于误差精度等问题，其实用性遭到了一定的质疑。在二叉树模型的基础上，我们通过构建一个新的三叉树模型来试图减小模型误差，使得期权价格的数值解可以更接近B-S-M公式所得出的解析解，从而证明三叉树模型的优越性。

1 文献综述树方法是一个非常流行的期权定价数值方法。它把从现在到到期日的时间分成了n 期，使得在这n 期里面的股价进行离散地变化。最有名的树方法当属Cox、Ross 以及Rubinstein 在1979 年提出的CRR 树。Duffie 在1996 年证明了当期数n寅肄时，CRR 模型的解收敛到连续时间模型下期权价格的解，即B-S-M 的解析解。然而，收敛的过程既不平滑也很漫长，对于例如障碍期权的一些期权而言，收敛的过程中会出现很明显的震荡情况，Boyle 和Lau 在1994 年的文章中说明了这一点。

三叉树模型最早于1986 年由Phelim Boyle 提出，作为二叉树模型的一个延伸和扩展，其中的上升因子和下降因子就是由Phelim Boyle提出，至于为什么要选2驻t 而非二叉树模型中的驻t，Boyle 的考虑是，首先三叉树中股价有三种变化情况，允许变化的时间更长一些；其次Boyle是在联合两个二叉树之后生成了三叉树，所以相当于两个时间间隔的变化。在此之后Kamrad 和Ritchken 于1991年发现了另一种形式的三叉树模型，他们对Boyle 的三叉树模型做了简化，并且证明了如果从二叉树中的某一阶段跳过下一阶段直接到第三阶段，这样就可以相应产生出一个三叉树。具体见图1。

Kamrad 和Ritchken 还对上升因子和下降因子进行了处理，使得上升概率、下降概率和保持不变的概率得到了简化，他们加入了参数并且通过寻找最优的使得三叉树计算出来的期权价格向B-S-M 公式计算出来的期权价格逼近。总的而言，Kamrad 和Ritchken 主要关注在阶段少的情况下三叉树的终值情况，并且使得三叉树模型效率更高，运算更快。

2 基本模型三叉树模型是一个网格状的用于给期权定价的数值方法模型，它最早于1986 年由Phelim Boyle 提出。同二叉树模型一样，构建三叉树的目的是为了给期权定价，包括欧式期权和美式期权。定价之前，首先要给出模型中的一些参数，比如股价从时刻到上涨的概率，下降的概率以及保持不变的概率，还有上升幅度，下降幅度等，其次我们要根据以上参数构建股票价格的三叉树模型，最后通过给定的期权价格三叉模型的终端支付运用倒向运算的方法来给初始时刻的期权进行定价。一个单阶段的股票价格树形图见图2。

三叉树模型可以在基于B-SM模型的基础上给出期权定价优良的数值解，其构建过程同构建二叉树的过程十分相似。由于股票价格服从对数正态分布，所以在给参数赋值时需要使得股票价格满足

由图6 可知，期权价格随着波动率的增加而增加，这也符合人们的直观感受。粗略而言，股票价格的波动率用于衡量股票价格变动的不确定性的一个测度，当波动率增大时，股票价格上升或者下降很多的机会将会增大，对于看涨期权的持有者而言，他们可以从股票价格上升中获利，而当股票价格下跌时，其损失最多为期权费用，看跌期权也类似，所以随着波动率的增加，期权价格也会增加。

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