向量在证明三角形相关性质中的运用

陈珊珊

摘要：向量的双重身份使其成为沟通几何与代数的强而有力的工具，更为几何证明开辟了新途径。

本文将利用向量来证明三角形的相关性质。 关键词：向量，三角形，特殊几何点 一、 引言

伴随着教育教学理论的不断发展，高中数学正如火如荼的进行着。这场课程改革的一个主要特征就是将向量引入中学数学教材 。这也是近几十年来国内外教学改革的一个共同特点。从六十年代初的新数运动到七十年代末的回到基础 ,许多国家的数学课程都不同程度涉及到平面向量 。日本数学课程安排的必学内容较少 ,但却安排不少的向量知识作为必学内容 。前苏联也曾致力于用向量、变换等来处理欧氏几何。由国家教委组织编写的《中学数学实验教材》、人教社编写的高中《数学》试验课本 ,都曾在不同程度上将向量知识渗透入中学数学 ,用向量方法处理传统的几

[1]

何、三角等问题 。这次将向量作为高一的必修内容 ,是一个重大举措 。

向量本身具有双重身份，一是几何形式——它既有大小又有方向，并用有向线段来表示，其运算都具有明确的几何意义。二是代数形式——平面内的任一向量可以用有序实数对来表示，其运算都具有相应的代数表示。这就使向量成为沟通几何与代数的强而有力的工具。同时也为几何证明开辟了全新的途径。

传统的几何证明称为综合法，是利用欧几里得几何学所采用的方法，也是最早的研究几何的方法。它不使用其他工具，只是依据基本的逻辑原理，从公理出发，通过演绎推理建立起来的几何体系。应当说，综合法所给出的几何论证严谨且优雅，但没有一般规律可循，存在较大的思考难度，往往对人的智力形成极大的挑战。与之相反，利用向量工具来进行几何证明遵循着一定的规律，那就是我们所熟悉的“三步曲”，简单的表述为：[形到向量]——[向量的运算]——[向量和数到形]。

例如，运用传统欧氏几何的证明方法来证明三角形的特殊几何点（重心、垂心、内心、外心）的存在性是较难的。然而利用向量可以把复杂的几何证明转化为简单的向量运算，从而有效的简化问题。

本文将利用向量来证明三角形的相关性质（包括三角形特殊几何点的存在性），并以此来体现向量证明的优越性。

二、 向量的基本性质

以下是证明三角形相关性质所涉及到的向量的基本性质。

命题2.1 向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使b＝a。

,b,a•bab。

命题2.2 对于任意向量a命题2.3 若向量a,b是平面内一组基底，当c1a2b1a2b时，恒有

11,22。

以上命题2.1，2.2的正确性是显然的，而命题2.3可用反证法借助命题2.1很快得到证明。

[2]

O、A则点C和、B不共线，向量OC对OA，OBA、B共线的充分必要条件是：

可分解，并且分解系数之和等于1。即存在实数，使得OC＝OB1－OA。

证明：必要性：

由于不共线，OA和OB不平行，并且

AB≠0。

C和A、B共线，即AC∥AB

存在实数，使得ACAB，即OCOAOBOA

 ∴OC＝OB充分性：

1－OA

1，即1，

设OC＝OBOA，其中OC＝1－OAOB则OCOAOBOA，

ACAB 则AC∥AB，

因此C和A、B共线。

∴

综上所述，命题得证。

三、 三角形相关性质

命题3.1 三角形的一边小于另两边的和，大于另两边差的绝对值。 证明：在△ABC中，记ABa，BCb,则ACab,a与b不共线

22222abab2a•bab2ababAC(ABBC)2从而ACABBC 又在△ABC中，记BA22222a,BCb,则CAa－b22

abab2a•bab2abab(BABC)2CA从而|BABC|AC综上所述，命题得证。22 相应的对于任意向量a,b都有a－baba＋b，利用三角形三边关系可对此命题进行证明。

命题3.2 在△ABC中，D是BC边上中点的充分必要条件是AD 证明：必要性:

以AB,AC为邻边作 即AD 充分性:

以AB,AC为邻边作

ABEC 则AEABAC

∵AD1ABAC ∴AD1AE

1ABAC 211AEABAC 221ABEC 则AD=AE

2ABDC22 ∴D是AE的中点 ，从而是BC的中点。 图1 综上所述，命题成立。

以命题2为基础可更进一步验证“直角三角性斜边上的中线是斜边的一半”这一命题，证明如下：

0

在RT△ABC中，∠BAC=90, 则|ABAC||ABAC|又AD1ABAC

2E∴|AD||111ABAC||ABAC||BC| 222即AD=

1BC,命题得证。 2 以下是关于三角形重心的三个命题。

命题3.3 三角形三条中线共点。

证明：如图2，设D、E、F分别为三角形三边BC、AC、AB的中点，

且BE与CF交于一点O。

设ABa,ACb则AD1(ab)2CO与CF共线，BO与BE共线1设CO＝CFAFACab,21设BOBE＝AEABba211则AO＝AC＋CO＝baba＋(1)b①22

图2

11AOABBOaba(1)ab②221＝122则解得＝＝31－＝1

213代入①得AO＝（ab）即AOAD32AO与AD共线，即AD过点O从而三条中线共点。称三条中线的交点为三角形的重心，另外从命题3的证明中还可以得到一个与三角形重心有关的结论，即“重心把每条中线分成两段的比值为2：1(从顶点起)”

点O是三角形证明： 必要性：

[3]

ABC的重心的充要条件是OAOBOC0。 ABC的重心，则每条中线被重心分成2:1的两段，因此

若O是三角形

OA21CBBA1CB2BA

3233OB21ACCB1AC2CB

32332121OCBAACBAAC

3233故 OAOBOC＝CBBAAC0

充分性： 图3 若OAOBOC0，如图3，以OA、OB为邻边作平行四边形OAC'B，设OC' 与AB交于点D，则D为AB中点。∴OAOBOC'，①

由OAOBOC0，得OAOBOC ② 由①，②得OCOC' 所以C、O、C'三点共线，

而D在OC上，故C、O、D共线，即CD为ABC的边因此O是ABC的重心。

[4]

'AB上的中线。

点O是三角形ABC的重心则SAOB = SBOC = SCOA。

此时FAFB ECEA DBDC

证明： 如图4， E、D、F分别为AC、BC、AB的中点，三条中线的交点为O。

且AFCBFC AFOBFO

所以

1111SACF＝FCFA＝FCFAsinAFC = SBCF ＝FCFB＝FCFBsinBFC 22221111SAOF＝FOFA＝FOFAsinAFO= SBOF ＝FOFB＝FOFBsinBFO

2222故SCOASACFSAOF ， SBOCSBCFSBOF

于是SCOASBOC 同理 SCOA=SAOB， SAOBSBOC 综合以上可得：SAOB=SBOC=SCOA 命题3.6 三角形三条高共点。

证明：如图5，记BE与CF的交点为O 则其中ADBC,BO

AC,COAB

图4

ABCACAB,AOABBOAO•BC(ABBO)•(ACAB)

2AB•ACABBO•ACBO•ABAB•ACABBOAB•OC0

FOEB图5

AOBC又过直线外一点引直线的垂线有且只有一条 AO与AD重合，即AD过点O

三角形三条高共点。称三角形三条高的交点为三角形的垂心。 命题3.7 三角形三边上的中垂线共点。

证明： 如图6，△ABC的三边BC、AC、AB的中点分别为D、E、F，

记BC与

DCAC边上的中垂线交于点O，则ODBC， OECA。

ab， 2令OA＝a， OB＝b， OCc， 则有OD＝bc， OE＝ca， OF＝22因此

22bc•cb0cb•cb0cb 图6 222caOE•CA•ac0ca•ac0ac

2OD•BC故a2bc22

∴OF•AB1122ab•abab0 ， 22 即OFAB即OF为AB边上的中垂线 ∴三角形三边上的中垂线共点。

称三角形三边上的中垂线的交点为三角形的外心。另外在以上证明中还可得外心到三顶点的距离相等。于是外心是三角形外接圆的圆心。 命题3.8 三角形的三内角平分线共点。

证明：如图7 △ABC三个角的内角平分线分别为AD、BE、CF 记CF与BE的交点为O,设BCa，CAb，ABc，

则由三角形内角平分线定理可得BDc即BD

CDb

cBC bc则ADABBD＝AB＋设AOABAC

ccbcBCAB＋ACABAB＋ACbcbcbcbc 又由三角形角平分线定理ABabacAF, ACAE bcabac故AOAFACABAE

bcA由于F、O、C共线，B、O、E共线，因此由命题2.4，得

abb1cb 解得，  abcabcFac1cEObcABAC，

abcabc即AObcAD

abc所以AOBDC图7

因此AO与AD共线，从而AD过点O，故三角形三条内角平分线共点。 称三角形三条内角平分线的交点为三角形的内心，即三角形的内切圆圆心。

参考资料：

[1]．潘洪亮.中学教材中平面向量的教学初探.中学数学月刊,2002年第05 [2]. 《解析几何讲义》.华南师范大学数学系几何教研室. 广东高等教育出版社 [3]. 顾希明.三角形重心的向量形式及应用.《数学通讯》，2003年第23期.P19～P20

注：(该文获校“2006年新课程论文、教学设计比赛”<教学论文>表扬奖) 豆

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