等差数列的性质及其应用

西昌学院

毕 业 论 文（设 计）

（一二届）

题 目： 等差数列的性质及其应用 院（系、部）： 彝语言文化学院 专 业： 数学与应用数学 姓 名： 吉子么阿佳 学 号 1010010046 指导教师： 阿力非日

南京师范大学泰州学院教务处 制

摘要：等差数列是高中数学的一个重要模块，也是高考的必考内容。它同时也是很多同学的盲点，因为在面对具体问题时，好多同学就不知从何下手。为此，本文借助具体实例给出了等差数列的性质及其应用，尤其是高中数学习题中的解题技巧。在解题过程中学生要系统的掌握等差数列的性质并熟练的应用其技巧。

关键词：等差数列；性质；应用；技巧

Abstract: The Arithmetic progression is not only one of the most important modules of high school math, but also the compulsory entrance examination

content. For many students, it is a blind spot, because they don’t know how to deal with the specific problems when they are faced with those problems. Therefore, based on the specific examples, this passage will show the problem-solving strategies on the nature of Arithmetic progression and its applications, especially problem-solving skills of the high school exercises. In problem-solving process, students have to master the system and the nature of the arithmetic series skilled application of their skills.

Keywords: Arithmetic progression; nature; application; skills

目 录

1绪论.....................................................................................................................3 2等差数列的性质.................................................................................................4

2.1 等差数列的性质归纳...................................................................................................4 2.2 等差数列的判定及证明...............................................................................................5

3等差数列的性质运用技巧.................................................................................8

1

3.1 巧用等差数列的第二通项公式...................................................................................8 3.2 设项的技巧...................................................................................................................8 3.3 基本量与性质的应用技巧...........................................................................................9 3.4 等差中项与前n项和公式结合运用技巧.................................................................10 3.5 等差数列前n项和公式的运用技巧.........................................................................10

4等差数列的例题诠释.......................................................................................13 5结论...................................................................................................................16 谢辞.....................................................................................................................17 参考文献.............................................................................................................18

1绪论

理解等差数列的概念、掌握等差数列的通项公式与前n项和公式并且能运用公式解答问题成为本课题的学习方向。等差数列的性质是等差数列的概念，通项公式，前n项和公式的引申。应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视，高考中也一直重点考查这部分内容。既有选择填空、又有解答题。客观题突出“小而巧”主要考察性质、概念的理解，主观题都是“大而全”，着重考查函数方程、等价转换、分类讨论等数学思想方法。

本课题详细研究等差数列的性质，通过具体实例解释说明其性质以及如何巧妙的运用性质来解题。数列是高考的重点，属于离散型函数，结合2010年高考和《江苏省普通高中课程标准教学要求》，浅谈学习数列的几个注意点。1) 二元思想：等差数列最重

2

要的刻画量是首项和公差，因此将等差数列问题转化为首项和公差的问题是一种重要的

S,n1思想方法；2) an与Sn的关系：若已知Sn，巧妙利用an1可以解决通项公

SS,n2n1n式的问题。反之，an也可以表示Sn；3) 函数的思想。

数列学习要紧抓在《江苏省普通高中课程标准教学要求》，做好对数列的基本认识，

掌握好数列中各量之间的联系，学会将函数问题转化为数学问题，打好三基，可以有效地解决高考中所出现的数列问题。

数列向来是中职教材中代数部分的重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用,而且起着承前启后的作用,一方面,数列作为一种特殊的函数,与函数思想密不可分,另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列知识的进一步深入和拓广，同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。

2 等差数列的性质

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

2.1 等差数列的性质归纳

1. 当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和Snna1n(n1)dddn2(a1)n是关于n的二次函数2223

且常数项为0。

2. 若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d0，则为常数列。

3. 当mnpq时,则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有

aman2ap。

注：a1ana2an1a3an2，

4. 若an、bn为等差数列，则anb，1an2bn都为等差数列。 5. 若{an}是等差数列，则Sn,S2nSn,S3nS2n ，…也成等差数列。

6. 数列{an}为等差数列，每隔kkN*项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等差数列。

7. 设数列an是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和

(1) 当项数为偶数2n时，

na1a2n1S奇a1a3a5a2n1nan

2na2a2nS偶a2a4a6a2nnan1

2S偶S奇nan1nannan1an

S奇nanan S偶nan1an1

(2) 当项数为奇数2n1时，则

S2n1S S 2n1an1S n1an1S n1 S nS -S an1S nan1（其中an+1是项数为2n1的等差数列的中间项）。

A8. {bn}的前n和分别为An、Bn，且nf(n)，

Bna(2n1)anA2n1则nf(2n1)。 bn(2n1)bnB2n19. 等差数列{an}的前n项和Smn，前m项和Snm，则前mn项和

Smnmn。

10. 求Sn的最值

法一：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性nN*。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和。

an0即当a10，d0， 由可得Sn达到最大值时的n值。

a0n1 （2）“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。 an0即 当a10，d0， 由可得Sn达到最小值时的n值。

a0n1

4

或求an中正负分界项

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，Sn取最大值（或最小值）。若SpSq则其对称轴为n

pq。 22.2 等差数列的判定及证明

经常有一类题目，我们必须先判断是何种数列，然后利用此类数列的性质进行解题，其中等差数列是我们最主要的数列之一，因此，我们应该掌握如何判断一个数列是否是等差数列，判断一个数列是否是等差数列，一般有以下五种方法：

1. 定义法：an1and（常数）（nN）{an}是等差数列。 2. 递推法：2an1anan2（nN）{an}是等差数列。 3. 性质法：利用性质来判断。

4. 通项法：anpnq（p,q为常数）{an}是等差数列。

5. 求和法：SnAn2Bn（A,B为常数，Sn为{an}的前n项的和）{an}是等差数列。

其中4、5两种方法主要应用于选择、填空题中，在解答题中判断一个数列是否是等差数列，一般用1、2、3这三种方法，而方法3还经常与1、2混合运用。下面举例说明如何判断一个数列是等差数列。

bccaab111,,例1：已知,,成等差数列，求证：也成等差数列。 abcabc111解法一：∵,,成等差数列，

abc211 babbac2ac

bcab2ca acb又∵

bcc2a2ab2ca acbbaca2c22ca acb 5

2ac2ca

ac2acac0

bcab2ca acbbccaab,,即也成等差数列。 abc解法二：∵

111，，成等差数列， abcabcabcabc ∴ ，，也成等差数列，

abc 即

bcabac1，1，1也是等差数列， abc 故

bcacab，，也是等差数列。 abc评析：上面的解法一是利用递推法，解法二是利用性质来判断。

(1) 解决此类问题常用两个途径：一是回归定义，二是巧用性质。根据条件宜用后者。

(2) 证明时不能只用化基本量的方法，还要会对条件作多种变形，化成什么形式, 什么时候用要根据具体题目而定。

2Sn1{}是等差an2例2：设数列{an}中，a11，且n（），证明数列Sn2Sn1数列，并求Sn。 解：由已知SnSn122Sn2，去分母得(2Sn1)(SnSn1)2Sn，2Sn1111112，∴{}是以1为

SnSnSn1S1a12SnSn12SnSn1，两边同除以SnSn1，得

首项，以2为公差的等差数列，故

11(n1)22n1（n2）。 SnS11（nN）。 2n1经验证n1时也成立，所以Sn评析：上面的解法是利用定义法。

6

例3：设数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有Sn证明{an}是等差数列。（1994年高考题）

解：当n2时，Snn(a1an)，2(n1)(a1an1)n(a1an)，Sn1 22n(a1an)(n1)(a1an1) （1） 22两式相减：anSnSn1∴an1(n1)(a1an1)n(a1an) （2）

22(n1)(a1an1)(n1)(a1an1)n(a1an)

22（2）－（1）：an1an整理得an1ananan1（n2） ∴an1ananan1a2a1， ∴数列{an}是等差数列。 评析：此题的解法是利用递推法。

3 等差数列的性质运用技巧

在解决等差数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便。本文对等差数列有关性质的运用技巧作一些介绍，希望能对同学们的学习提供一些帮助。

3.1 巧用等差数列的第二通项公式

等差数列的通项公式：ana1n1d， 第二通项公式：anamnmd m,nN*。

 7

例4：已知数列an是等差数列, 且有anm,amn mn，求amn。

分析：此题设首项为a1，公差为d， 根据条件列方程组解出a1 和d，即可求出amn， 下面利用第二通项公式解决，同学们可以比较一下两种方法的优劣。

解：∵anamnmd

mnnmd

d1

amnamndnn0 amn0

评注：运用第二通项公式充分利用了已知条件，减少了设置的变量个数，从而达到简化运算的目的。

3.2 设项的技巧

等差数列中设项时可以用首项和公差来设，但有时解题过程显得过于复杂，在设项时大家可以考虑以下两种设法：

（1）对于连续奇数项的等差数列，可设为,a2d,ad,a,ad,a2d,，此时公差为d；

（2）对于连续偶数项的等差数列，可设为,a3d,ad,ad,a3d,，此时公差为

2d。

例5：成等差数列的四个数之和为26，第二个数和第三个数之积为40，求这四个数。

分析：如果设四个数分别为a1，a1d,a12d,a13d，根据条件列方程组解出a1 和

d，即可求出四个数，但可以预见解方程组时比较复杂，作为对比，同学们可以自己解下。再来看下面的解题过程，体会这样设项的好处。

解：设这四个数为a3d,ad,ad,a3d，

a3dadada3d26则 （2）adad40由（1）得a（1）

133，代入（2）得d。 22所以四个数为2, 5, 8, 11 或11, 8, 5, 2。

评注：这种设项方法充分考虑了题目中各项和的条件，避免了烦琐的计算过程。

8

3.3 基本量与性质的应用技巧

例6：等差数列an中, a4a515, a715, 则a2 等于（ ）

A.1

B.1 C.0 D.2

分析：利用基本量法, 可以求出a1 和d， 再利用通项公式即可求出(解法一) ， 当然如果能看出4+5=7+2, 利用性质题目将会变得更为简洁(解法二)。

解法一：设首项为a1，公差为d，根据等差数列的通项公式ana1n1d，有

a13da14d15,a16d15

解得a13, d3，所以a20，故选C。

解法二：利用性质若mnpq，则amanapaqm,n,p,qN*，则a4a5a7a2，

所以a20，故选C。

评注：遇到几个项的项数和相等时可以考虑这种应用技巧，但要注意等式两边项的个数要相等。

3.4 等差中项与前n项和公式结合运用技巧

等差中项公式的变形“若mn2p, 则aman2ap,m,n,p,qN*” 和等数列前n项和公式Sn

例7：等差数列an中, S11121, 那么a6的值是( )

B.22 C.12 D.24 A.11

分析：如果设出首项和公差，题目中只有一个条件，不能解出两个变量，所以要结合等差数列的性质解决。

aa解：∵S1111111121 2a1ann2的有机结合可以具有意想不到的效果。

a1a1122

9

∵a1a112a6

a611

评注：应用等差中项与前n项和公式的有机结合很容易解决了问题, 当然也可以将第3类技巧与等差数列前n项和有机结合。

3.5 等差数列前n项和公式的运用技巧

(1) 等差数列前n项和公式Sna1annna21nn1nn1dnand 整理22以后得到SnAn2Bn( 其中A、B 为不同时为0的常数)，是关于n的缺少常数项的二次函数，利用这一性质可以得到许多用“基本量法”无法替代的简便方法。

(2) 等差数列

an的任意连续m项的和构成的数列

Sm,S2mSm,S3mS2m,S4mS3m,仍为等差数列(可以称为连续等差片断)。

例8：数列an是等差数列，且有Snm,Smn，其中m,nN*且mn，求Smn。 分析：用基本量法来解决，则要设出首项a1和公差d，再根据条件求出两个未知量a1和d，最后再用数列前n项和公式求出Smnmn，计算量相对较大。我们可以考虑利用等差数列前n项和公式的特点来求解。

解法一 ：因为数列an为等差数列，所以可设SnAn2Bn其中A、B为不同时为0

的常数

，则有

（1）

（2）2AnBnm2AmBmn（1）（2）得An2m2Bnmmn

∵mn

AnmB1

AnmBnmnm

2即Smnmn。

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SnAn2BnS解法二 ：AnB,所以n是关于n的一次函数，因此点

nnn

SmSnSmnSnSSSmnmnn，所以n,n、m,m、mn,mn在同一直线上，即

mnmnnmnnmSmnmn。

评注：解法一充分利用了等差数列前n项和公式的特点，融合了函数思想，解法新

颖、过程简单；解法二技巧性较强，结合了平面几何三点共线的知识，要求比较高。

例9：等差数列an的前m项的和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和为_________。

分析：此题我们给出三种方法，大家可以自己体会一下三种解法各自的优缺点。

nn1d，得： 解法一：将Sm30,S2m100代入Snna12mm1mad30 122ma2m2m1d10012解得d4010203m3m1,aS3mad210 ，所以13m1m2mm22解法二：设SnAn2Bn(A、B是不同时为0的常数）。

将Sm30，S2m100代入，得

20AAmBm30m22 A2mB2m100B10m2所以S3mA3mB3m210。

2解法三：根据等差数列性质知Sm,S2mSm,S3mS2m也成等差数列，

从而有2S2mSmSmS3mS2m， 所以S3m3S2mSm210。

评注：解法一属于“基本量法”，我们看到解题过程过于繁琐，解法二和解法三各有

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优劣，但相对来说解法三应用了连续等差片断来解题，简单易行。

等差数列性质的应用技巧是在“基本量法”熟练基础上总结出来的，技巧有很多，但技巧都要建立在对等差数列基础知识熟练掌握的基础上，当然本文中所列技巧并不是所有的解题技巧，同学们在学习的过程中要注意总结，希望本文能给同学们的学习提供一些帮助。

4 等差数列的例题诠释

数列知识是中学的重要内容，而等差数列又是数列中最基本、最重要的一类数列。等差数列有许多重要性质，本节拟用一个题目贯穿整个等差数列相关知识。

nm题目：等差数列an的前n项和为Sn，若Sn，Sm，求Smn （其中m，n是

mn正整数，且mn）。

这道题目可以概括等差数列的几乎所有知识。从不同角度出发来解这道题，可以帮助学生掌握等差数列的性质，并且可以进一步培养学生分析问题、解决问题的能力。 解法一：从首项和公差这两个基本量出发。

设数列an的首项a1，公差为d，由题目条件可得到

nn1nSnad1n2m Smamm1dmm12n

12

可以解得a112，d。 mnmn2mnmn1mn Smnmna1d2mn解法二：从Sn具有的形式出发。

由Snna1nn1ddd，可见Sn具有SnAn2Bn的形式（其中A,Ba1）。222故可设SnAn2Bn，

n2SAnBnnm则有，

SAm2Bmmmn1A解得mn

B0Smn2mn.

mn解法三：从等差数列自身性质出发。

不妨设mn，则有SmSnan1an2am由an是等差数列，知an1ama1amn，

aaaamnSmSnn1mmn1mnmn, nm22可以解出a1amnmn.

2mnan1ammn. 2Smnmn. aa1mnmn2mn2解法四：从

Sn的形式出发。 nSnn1dd，有na1n1， 由Snna12n2S设nbn，则数列bn是等差数列。设公差为d， nSmSn11bmbnmnnm1 则d=mnmnmnmn 13

bmnSmn11mnbmnd mnnmmn2mn。 从而Smnmn解法五：利用解析几何中直线的知识。

S由解法二知，SnAn2Bn，nAnB是关于n的一次式，

nSSS则在直角坐标系下，三点m,m,n,n,mn,mn共线，

mnmnSmn111mnmnn nmmnm解得Smn2mn。

mn解法六：由解法一得数列an的公差d2，这里不妨设mn， mnSmnSmam1am2amn

Sma1mda2mdanmd

SmSnmnd

mn2 mnnmmn2mn

mn

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5 结论

纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题。这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度。

数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和

Sn可视为数列Sn的通项。通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列

极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法。

1. 数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同。因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性。

2. 数列an前n项和Sn与通项an的关系式 3. 求通项常用方法

①作新数列法，作等差数列。

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②累差叠加法。最基本形式是：ananan1an1an2a2a1a1。 ③归纳、猜想法。

4. 数列前n项和常用求法 ① 重要公式

1+2+…+n=nn1

1222+…+n2=nn12n1

221323n3=12n= n2n1

② 等差数列中SmnSmSnmnd

③ 裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，即anfn1fn，然后累加时抵消中间的许多项.应掌握以下常见的裂项：

④ 错项相消法 ⑤ 并项求和法

数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 等差数列的性质是数列基本规律的深刻体现，是解决等差数列问题的既快捷又方便的工具，应有意识去应用。在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形。“巧用性质、减少运算量”在等差数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果。

谢 辞

四年的读书生活在这个季节即将画上一个句号，而于我的人生却只是一个逗号，我将面对又是一次征程的开始。四年的求学生涯在师长、亲友的大力支持下，走得辛苦却也收获满囊，在论文即将付梓之际，思绪万千，心情久久不能平静。伟人、名人为我崇拜，可是我更急切地把我的尊意和赞美给一位平凡的人，我的指导老师夏慧明老师。我不是您最出色的学生，而您却是我最尊敬的老师。您治学严谨，学识渊博，思想深邃，视野雄阔，为我营造了一种良好的精神氛围。授人以鱼不如授人以渔，置身其间，耳濡目染，潜移默化，使我不仅接受了全新的思想观念，树立了宏伟的学术目标，领会了基本的思考方式，从论文题目的选定到论文写作的指导，经由您悉心的点拨，再经过思考后的领悟，常常让我有“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。

感谢我的爸爸妈妈，焉得艾草，言树之背，养育之恩，无以回报，你们永远健康快乐是我最大的心愿。在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长，可爱的同学朋友给了我无言的帮助，在这里请接收我诚挚的谢意！

最后我再一次感谢所有在毕业设计中曾经帮助过我的良师益友和同学，以及在设计中被我引用或参考的论著的作者。

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参考文献

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