集合、函数、导数测试题

函数、导数及其应用测试题

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1.已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩(∁NB)＝ ( ) A.{1,5,7} B.{3,5,7} C.{1,3,9} D.{1,2,3}

2．.对于定义在R上的任何奇函数，均有（ ）

A.f(x)-f(-x)>0 B.f(x)-f(-x)≤0 C.f(x)·f(-x)>0 D.f(x)·f(-x)≤0

x123.设f(x)11x2x≤1x1,1则f(f()) ( )

214925A. B. C.－ D. 2131

4．已知f(x)是R上的偶函数，且在［0，+∞）上是减函数，f(a)=0(a>0),那么不等式xf(x)<0的解集是（ ） A．{x|0a} C．{x|-aA.2 B.3 C.4 D.5

6.下列函数中，同时具有性质：(1)图象过点(0,1)；(2)在区间(0，＋∞)上是减函数；(3)是偶函数.这样的函数是 ( ) 1

A.y＝x3＋1 B.y＝log2(|x|＋2) C.y＝()|x| D.y＝2|x|

27.有关命题的说法错误的是 ( )

A.命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”. B.“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件. C.若p且q为假命题，则p、q均为假命题.

D.对于命题p：存在x∈R，使得x2＋x＋1<0，则  p为：对任意x∈R，均有x2＋x＋1≥0 8.下列是关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的几个命题：

①若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则(x0,0)是f(x)的一个零点； ②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；

③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点；

④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值. 那么以上叙述中，正确的个数为 ( ) A.0 B.1 C.3 D.4

11

9.若函数f(x)＝x3＋f′(1)x2－f′(2)x＋3，则f(x)在点(0，f(0))处切线的倾斜角为 ( )

32

ππ2π3π

A. B. C. D. 4334

10.关于x的方程(m＋3)x2－4mx＋2m－1＝0的两根异号，且负数根的绝对值比正数根大，那么实数m的取值范围是 ( )

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上) 11.已知命题p：x∈A∪B，则 p是 .

12.函数y＝log3(9－x2)的定义域为A，值域为B，则A∩B＝ . 13.已知f(x)为偶函数,g(x)是奇函数，且f(x)-g(x)=x2+x-2,则f(x),g(x)分别为___________________.

14.某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学 和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 人.

15.已知函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)，对于任意x≥2，当Δx>0时，恒有f(x＋Δx)>f(x)，则实数a的取值范围是 .

三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16. ( 12分)已知集合M＝{x|x2－x－6<0}，N＝{x|017．( 12分)如下图，在三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=22，一个边长为2的正方形由位置I沿

AB平行移动到位置Ⅱ,若移动的距离为x，正方形和三角形ABC的公共部分的面积为f(x),试求f(x)的解析式.

18.( 12分)已知函数f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2]上单调递减.

(1)求a的值；(2)记g(x)＝bx2－1，若方程f(x)＝g(x)的解集恰有3个元素，求b的取值范围.

19．( 12分)设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1,x2∈［0，

f(x1+x2)=f(x1)·f(x2). （1）设f(1)=2,求f(

1］都有211),f(); (2)证明f(x)是周期函数. 24mx－1

20. ( 13分)已知三个集合A＝{x|<0}，B＝{x|x2－3x－4≤0}，C＝{x|log1x>1}；三个命题p∶实数m

x

2为小于6的正整数，q∶A是B成立的充分不必要 条件，r∶A是C成立的必要不充分条件.已知三个命题p、q、r都是真命题，求实数m的值.

1－

21.( 14分)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(x＋4)，当2≤x≤6时，f(x)＝()|xm|＋n，f(4)＝31.

2

(1)求m，n的值；(2)比较f(log3m)与f(log3n)的大小.

1.解析：∵A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，∴∁NB＝{1,2,4,5,7,8，„}.∴A∩(∁NB)＝{1,5,7}. 答案：A 2. 解析：∵f(-x)=-f(x),∴f(-x)f(x)=-f2(x)≤0. 答案：D

134

3.解析：f(f())＝f(－)＝.答案：B

2213

4．解析：利用图象法，画出符合条件的函数图象，如下图，由此可知，

选项B正确. 答案：B

|x－2|

5.函数f(x)＝x3＋ax2＋3x 4.解析：∵>0，∴x＋2>0且x－2≠0，

x＋2∴x>－2且x≠2. 答案：B

5.解析：因为f(x)在x＝－3时取得极值，故x＝－3是f′(x)＝3x2＋2ax＋3＝0的解，代入得a＝5.答案：D 6.解析：显然四个函数都满足性质(1)，而满足性质(2)的只有C.答案：C

7.解析：A、B、D均正确，对于C，由p且q为假命题知p为假命题或者q为假命题，因此p与q可以是一真一假，故C错.答案：C

8.解析：因为①中x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点，而不是(x0,0)，所以①错误；

②因为函数f(x)不一定连续，所以②错误；③方程f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，所以③错误； ④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，所以④也错误.答案：A

9.解析：由题意得：f′(x)＝x2＋f′(1)x－f′(2)，令x＝0，得f′(0)＝－f′(2)，令x＝1，得f′(1)＝1＋f′(1)－f′(2)，

3

∴f′(2)＝1，∴f′(0)＝－1，即f(x)在点(0，f(0))处切线的斜率为－1，∴倾斜角为π.答案：D

4

02m110.解析：∵x1x2<0，x1＋x2<0，0,解得-3m34m0m3B.答案：x∉A且x∉B 11.解析：由x∈A∪B知x∈A或x∈

12.解析：由9－x2>0⇒－3所以A∩B＝(－3,2].答案：(－3,2]

13. 解析：∵f(x)-g(x)=x2+x-2,∴f(x)+g(x)=x2-x-2，故f(x)=x2-2,g(x)=-x. 答案：x2-2,-x

14.解析：如图，设同时参加数学和化学小组的有x人，则26＋15＋13－6－4－x＝36， 解得x＝8.答案：8

15.解析：依题意，对于任意x≥2，当Δx>0时，恒有f(x＋Δx)>f(x)，说明函数f(x)在[2，＋∞)上是单调递增a≤2函数，所以应有2，解得－4222a3a>016.解：M＝{x|x2－x－6<0}＝{x|－22≥m, ⇒－6≤m≤－2， 所求m的取值范围是[－6，－2]. 3≤m9

17．解析：设AB的中点为D，则AD=CD=2.当0≤x<2时，f(x)=

当2≤x<4时，f(x)=S△ABC-当4≤x≤6时，f(x)=

12

x.如图（1）. 211(x-2)2-(4-x)2=-x2+6x-6.如图（2）. 221(6-x)2.如图（3）. 212x22∴f(x)=x6x6122(6x)(0x2),(2x4), (4x6).18.解：(1)f′(x)＝4x3－12x2＋2ax，因为f(x)在[0,1]上递增，在[1,2]上递减，所以x＝1是f(x)的极值点，所以f′(1)＝0，即4×13－12×12＋2a×1＝0.解得a＝4，经检验满足题意，所以a＝4. (2)由f(x)＝g(x)可得x2(x2－4x＋4－b)＝0，由题意知此方程有三个不相等的实数根， 此时x＝0为方程的一实数根，则方程x2－4x＋4－b＝0应有两个不相等的非零实根， 所以Δ>0，且4－b≠0，即(－4)2－4(4－b)>0且b≠4，解得b>0且b≠4， 所以所求b的取值范围是(0,4)∪(4，＋∞). 19．（1）解析：令x1=x2=

xxxx11.则f(x)=f(+)=f2()≥0.再令x1=x2=,∴f(1)=f2(). 2222221∴f()=

21111f(1)2；令x1=x2=,∴f()=f2().∴f()=

4244121f()24. 21(2)证明：∵f(x)是偶函数，∴f(-x)=f(x). 又因f(x)的图象关于直线x=1对称， ∴f(x+2)=f(-x), ∴f(x+2)=f(x). 即f(x)是周期为2的周期函数.

mx－11

20.解：∵命题p是真命题，即0xm

1

又B＝{x|x2－3x－4≤0}＝{x|－1≤x≤4}，C＝{x|log1x>1}＝{x|0221解：(1)因为函数f(x)在R上满足f(x)＝f(x＋4)，所以4是函数f(x)的一个周期.

1≤4,∵命题q、r都是真命题，  ② 由①②得m＝1.  m11

m2,1|2－m|1|6－m|1|4－m|可得f(2)＝f(6)，即()＋n＝()＋n， ① 又f(4)＝31，()＋n＝31， ②

222联立①②组成方程组解得m＝4，n＝30.

1|x－4|(2)由(1)知，函数f(x)＝()＋30，x∈[2,6]. 因为121|log34＋4－4|1

f(log3m)＝f(log34)＝f(log34＋4)＝()＋30＝()|log34|＋30.

22又因为31log304f(log3n)f(log330)()33028114log3301log330()30()30.2281 因为log3log3430811log341log3301181()()()log3430()log330.222230所发f(log3m)f(log3n).