最新相似三角形”8“字模型(含详细答案)-经典

授课日期： 年 月 日 授课课时： 课时 学员姓名 学科教师 教学课题 教学目标 教学重难点 课前检查 年 级 班 主 任 辅导科目 数学 授课时间 作业完成情况： 优□ 良□ 中□ 差□ 建 议: 教学内容 一、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等 BB，CC． △ABC与△ABC相似，则有AA， 2．相似三角形的对应边成比例 △ABC与△ABC相似，则有ABBCAC． k（k为相似比）ABBCAC 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． △ABC与△ABC相似，AM是△ABC中BC边上的中线，AM是△ABC中BC边上的中线，则有ABBCACAM（k为相似比）． kABBCACAM △ABC与△ABC相似，AH是△ABC中BC边上的高线，AH是△ABC中BC边上的高线，则有ABBCACAH（k为相似比）． kABBCACAH △ABC与△ABC相似，AD是△ABC中BAC的角平分线，AD是△ABC中BAC的角平分线，ABBCACAD则有（k为相似比）． kABBCACAD4．相似三角形周长的比等于相似比． △ABC与△ABC相似，则有ABBCAC．应用比例的等比性质有k（k为相似比）ABBCACABBCACABBCACk． ABBCACABBCAC5．相似三角形面积的比等于相似比的平方． △ABC与△ABC相似，AH是△ABC中BC边上的高线，AH是△ABC中BC边上的高线，则有精品文档

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SABBCACAH（k为相似比）．进而可得△ABCkS△ABCABBCACAH1BCAHBCAH2k2． 1BCAHBCAH2 二、相似三角形的判定 1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似． 3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似． 5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明） 7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似． 三、相似证明中的基本模型 8字形 图①8字型，结论： 【例1】．如图，在▱ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF交DC于点E，则图中相似三角形共有（ ）对 A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【解答】解：∵ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，DC∥AB， ∴△ABF∽△DEF∽△CEB， ∴相似三角形共有三对． 故选：B． 【例2】．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论中不正确的是（ ） A． B．S△BCE=36 C．S△ABE=12 D．△AFE∽△ACD AOBOAB， ODCOCD【解答】解：∵在▱ABCD中，AO=AC， ∵点E是OA的中点， ∴AE=CE， 精品文档

精品文档 ∵AD∥BC， ∴△AFE∽△CBE， ∴==， ∵AD=BC， ∴AF=AD， ∴=；故选项A正确，不合题意； ∵S△AEF=4，=（）=， 2∴S△BCE=36；故选项B正确，不合题意； ∵==， ∴=， ∴S△ABE=12，故选项C正确，不合题意； ∵BF不平行于CD， ∴△AEF与△ADC只有一个角相等， ∴△AEF与△ACD不一定相似，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 【练习1】．如图，E为▱ABCD的DC边延长线上一点，连AE，交BC于点F，则图中与△ABF相似的三角形共有 2 个． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴△ABF∽△CEF，△CEF∽△AED， ∴△ABF∽△AED． ∴图中与△ABF相似的三角形是：△CEF，△AED． 故答案为：2 【练习2】．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接精品文档

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BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：①中一定正确的是 ①②③ ．（填序号） 【解答】解：∵在▱ABCD中，AO=AC， ∵点E是OA的中点， ∴AE=CE， ∵AD∥BC， ∴△AFE∽△CBE， ∴==， =；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF∽△ACD，其∵AD=BC， ∴AF=AD， ∴=；故①正确； ∵S△AEF=4，=（）=， 2∴S△BCE=36；故②正确； ∵==， ∴=， ∴S△ABE=12，故③正确； ∵BF不平行于CD， ∴△AEF与△ADC只有一个角相等， ∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误， 故答案为：①②③． 【练习3】．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有 4 对． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴△ABG∽△FHG，△ABE∽△DHE∽△CHB， ∴图中的相似三角形共有4对． 故答案为：4． 精品文档

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【练习4】．在△ABC中，DB=CE，DE的延长线交BC的延长线于P，求证：AD•BP=AE•CP． 【解答】解：过点C作CG∥DP交AB于G， ∴∴DG=∴=，，DG=， ， ， ∵BD=EC， ∴， ∴AD•BP=AE•CP． 【练习5】．如图，在△ABC中，AB＞AC，边AB上取一点D，边AC上取一点E，使AD=AE，直线DE和BC的延长线交于点P．求证：BP：CP=BD：CE． 【解答】证明：如图，过点B作BF∥AC交PD延长线于点F．则△PCE∽△PBF， ∴=． ∵BF∥AC， ∴∠1=∠2． 又∵AD=AE， ∴∠2=∠4， ∠1=∠3=∠4， ∴BF=BD． ∴=， ∴BP：CP=BD：CE． 【练习6】．已知：线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点．连接AC，BD交于点P． 精品文档

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（1）如图1，当OA=OB，且D为OA中点时，求（2）如图2，当OA=OB，且的值； 时，求tan∠BPC的值． 时，直接写（3）如图3，当AD：AO：OB=1：n：出tan∠BPC的值． 【解答】 解：（1）过D作DE∥CO交AC于E， ∵D为OA中点， ∴AE=CE=，， ∵点C为OB中点， ∴BC=CO，∴∴PC==， ， ， ∴=2； （2）过点D作DE∥BO交AC于E， ∵∴=， =， ∵点C为OB中点， ∴∴∴PC==， ， ， 过D作DF⊥AC，垂足为F，设AD=a，则AO=4a， ∵OA=OB，点C为OB中点， ∴CO=2a， 在Rt△ACO中，AC=又∵Rt△ADF∽Rt△ACO， ==2a， 精品文档

精品文档 ∴∴AF=，DF=， ， a﹣=． a， ﹣=， PF=AC﹣AF﹣PC=2tan∠BPC=tan∠FPD=（3）与（2）的方法相同，设AD=a，求出DF=PF= a，所以tan∠BPC=． 【练习7】．已知线段OA⊥OB，C为OB上中点，D为AO上一点，连AC、BD交于P点． （1）如图1，当OA=OB且D为AO中点时，求（2）如图2，当OA=OB，的值； =时，求△BPC与△ACO的面积之比． 【解答】解：（1）过C作CE∥OA交BD于E， ∴△BCE∽△BOD， ∴， ∵C为OB上中点， ∴CE=OD， ∵D为AO中点， ∴CE=AD， ∵△ECP∽△DAP， ∴ （2）过C作CE∥OA交BD于E，过P作PF⊥OB交OB于F， 设AD=x， ∵=， =2； ∴AO=OB=4x， ∴OD=3x， ∵△BCE∽△BOD，C为OB上中点， 精品文档

精品文档 ∴CE=OD=x， ∵△ECP∽△DAP， ∴； 由勾股定理可知BD=5x，DE=x， ∴， ∴PD=AD=x， ∵PF=2，S△BPC=， ∵S△ACO=4x， ∴ 图②反8字型，结论： 【例3】．如图，不能判定△AOB和△DOC相似的条件是（ ） A．AO•CO=BO•DO B． C．∠A=∠D D．∠B=∠C ． AOBOAB、四点共圆 CODOCD【解答】解：A、能判定．利用两边成比例夹角相等． B、不能判定． C、能判定．两角对应相等的两个三角形相似． D、能判定．两角对应相等的两个三角形相似． 故选：B． 【练习1】．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC=∠DBC，那么下列结论不一定正确的是（ ） A．△AOD∽△BOC B．△AOB∽△DOC C．CD=BC 【解答】解：A、∵∠DAC=∠DBC，∠AOD=∠BOC， ∴△AOD∽△BOC，故此选项正确，不合题意； B、∵△AOD∽△BOC， ∴=， D．BC•CD=AC•OA 精品文档

精品文档 ∴=， 又∵∠AOB=∠COD， ∴△AOB∽△DOC，故此选项正确，不合题意； C、∵△AOB∽△DOC， ∴∠BAO=∠ODC， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠BAC， ∴∠BAC=∠BDC， ∵∠DAC=∠DBC， ∴∠CDB=∠CBD， ∴CD=BC，故此选项正确，不合题意； D、无法得出BC•CD=AC•OA，故此选项错误，符合题意． 故选：D． 【练习2】．如图，（1）若AE：AB= AF：AC ，则△ABC∽△AEF；（2）若∠E= ∠B ，则△ABC∽△AEF． 【解答】解：（1）若AE：AB=AF：AC，则△ABC∽△AEF； （2）若∠E=∠B，则△ABC∽△AEF． 故答案为：AF：AC，∠B． 图③双8字型，结论： 【例4】如图，AB//CD,点E为AB上一点，点F为CD上一点，求证： AEDF， BECF 精品文档

精品文档 【例5】．如图，在平行四边形ABCD中（AB≠BC），直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：①AO=BO；②OE=OF； ③△EAM∽△EBN；④△EAO≌△CNO，其中正确的是（ ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【解答】解：①平行四边形中邻边垂直则该平行四边形为矩形，故本题中AC≠BD，即AO≠BO，故①错误； ②∵AB∥CD， ∴∠E=∠F， 又∵∠EOA=∠FOC，AO=CO ∴△AOE≌△COF， ∴OE=OF，故②正确； ③∵AD∥BC， ∴△EAM∽△EBN，故③正确； ④∵△AOE≌△COF，且△FCO和△CNO不全等， 故△EAO和△CNO不全等，故④错误， 即②③正确． 故选：B． 20．如图，在△ABC中，E为高AD上的动点，F是点D关于点E的对称点（点F在高AD上，且不与A、D重合）．过点F作BC的平行线与AB交于P，与AC交于Q，连接PE并延长交直线BC于点N，连接QE并延长交直线BC于点M，连接PM、QN． （1）试判断四边形PMNQ的形状，并说明理由； （2）若要使四边形PMNQ是一个矩形，则△ABC还应满足什么条件？请说明理由； （3）若BC=10，AD=6，则当点E在何处时，四边形PMNQ的面积与△APQ的面积相等？ 【解答】解：（1）四边形PMNQ是平行四边形． ∵PQ∥MN， ∴∠EPQ=∠ENM；∠EQP=∠EMN， ∴△PEQ∽△NEM， ∵ED⊥MN，EF⊥PQ， ∴=， ∵F、D关于点E对称， 精品文档

精品文档 ∴EF=ED， ∴PQ=MN， ∵PQ∥MN， ∴四边形PMNQ是平行四边形； （2）满足条件：AB=AC， ∵PQ∥BC， ∴∠APQ=∠B，∠AQP=∠C， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠APQ=∠AQP， ∴AP=AQ， ∵AF⊥PQ， ∴AF平分PQ， ∴EP=EQ， ∵四边形PMNQ是平行四边形， ∴PE=EN，ME=EQ， ∴PE=EQ=EM=EN， ∴MQ=PN， ∴当AB=AC时，PMNQ是矩形； （3）设ED=x， ∵SPMNQ=S△APQ， ∴PQ×2x=PQ×（6﹣2x）， ∴x=1， ∴当ED=1时，四边形PMNQ与△APQ面积相等． 精品文档

精品文档 21．如图，在平行四边形ABCD中（AB≠BC），直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F， （1）求证：△AOE≌△COF； （2）若AM：DM=2：3，△ONC的面积为2cm，求△AEM的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，OA=OC， ∴∠E=∠F， 在△AOE和△COF中， ∵， 2∴△AOE≌△COF（AAS）； （2）解：∵AB∥CD， ∴△AEM∽△DFM， ∴EM：FM=AM：DM=2：3， ∵△AOE≌△COF， ∴OE=OF， ∵AD∥BC， ∴∠AMO=∠CNO， 在△AOM和△CON中， ∵， ∴△AOM≌△CON（AAS）， ∴OM=ON， 即EM=FN， 设EM=2x，FM=3x，则FN=2x，OM=ON=MN=（FM﹣FN）=x， ∴EM：OM=2x：x=4， ∵S△ONC=2cm， ∴S△OAM=2cm， ∴S△AEM=4S△ONC=4×2=8（cm）． 精品文档

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22．如图，ABCD为四边形，两组对边延长后得交点E、F，对角线BD∥EF，AC的延长线交EF于G．求证：EG=GF． 【解答】证明：如图，过C作EF的平行线分别交AE、AF于M、N． 由BD∥EF，可知MN∥BD． 易知S△BEF=S△DEF． 又则S△BMC=S△DCN． 则MC=NC． 又==， ， ∴EG=GF． 图④A8字型，结论：111ABCDEF 【例6】．如图，在▱ABCD中，过点B的直线与对角线AC，边AD分别交于点E和点F，过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似的三角形有 5 对． 【解答】解：图中相似三角形有△ABC∽△CDA，△AGE∽△ABC，△AFE∽△CBE，△BGE∽△BAF，△AGE∽△CDA共5对， 理由是：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD，∠D=∠ABC， ∴△ABC≌△CDA， ∴△ABC∽△CDA， ∵GE∥BC， ∴△AGE∽△ABC∞△CDA， ∵GE∥BC，AD∥BC， ∴GE∥AD， ∴△BGE∽△BAF， ∵AD∥BC， ∴△AFE∽△CBE． 故答案是：5． 精品文档

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【练习1】．如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F．过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（ ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【解答】解：图中相似三角形有△ABC∽△CDA，△AGE∽△ABC，△AFE∽△CBE，△BGE∽△BAF，△AGE∽△CDA共5对， 理由是：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD，∠D=∠ABC， ∴△ABC≌△CDA，即△ABC∽△CDA， ∵GE∥BC， ∴△AGE∽△ABC∽△CDA， ∵GE∥BC，AD∥BC， ∴GE∥AD， ∴△BGE∽△BAF， ∵AD∥BC， ∴△AFE∽△CBE． 故选：B． 【练习2】．如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F．过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（ ） A．7对 B．6对 C．5对 D．4对 【解答】解：图中相似三角形有△ABC∽△CDA，△AGE∽△ABC，△AFE∽△CBE，△BGE∽△BAF，△AGE∽△CDA共5对， 理由是：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD，∠D=∠ABC， ∴△ABC≌△CDA，即△ABC∽△CDA， ∵GE∥BC， ∴△AGE∽△ABC∽△CDA， ∵GE∥BC，AD∥BC， ∴GE∥AD， ∴△BGE∽△BAF， ∵AD∥BC， ∴△AFE∽△CBE． 精品文档

精品文档 故选：C． 【练习3】．如图，AB∥DC，AC与BD 交于点E，EF∥DC交BC于点F，CE=5，CF=4，AE=BC，则A． B． C． D． 等于（ ） 【解答】解：∵EF∥DC交BC于点F，CE=5，CF=4，AE=BC， ∴△CEF∽△CAB， ∴即∴， ， ， 解得，AE=20， ∵AB∥DC， ∴△DCE∽△BAE， ∴即故选：B． 【练习4】．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE与对角线AC交于点F，FG∥AD，且FG=EF． （1）求证：四边形ABED是菱形； （2）连接AE，又知AC⊥ED，求证：AE=EF•ED． 【解答】证明：（1）∵AD∥BC，DE∥AB， ∴四边形ABED是平行四边形． ∵FG∥AD， ∴△CFG∽△CAD， ∴=． =． ， 2， ， 同理：∴=∵FG=EF， ∴AD=AB， ∴四边形ABED是菱形． 精品文档

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（2）连接BD，与AE交于点H，如图所示． ∵四边形ABED是菱形， ∴EH=AE，BD⊥AE， ∴∠DHE=90°． 同理：∠AFE=90°， ∴∠DHE=∠AFE． 又∵∠AED是公共角， ∴△DHE∽△AFE， ∴∴ ， =EF•ED． 图⑤，结论：EFEG、S△AEDS△BECS△ABES△CDE 【例7】．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线相交于O点，EF过O点，且EF∥AD，则图中一共有 5 对相似三角形． 【解答】解：∵四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO， ∴△ADO∽△CBO， ∵EF∥AD，AD∥BC， ∴EF∥AD∥BC， ∴△AEO∽△ABC，△DFO∽△DCB，△BEO∽△BAD，△CFO∽△CDA， ∴共有5对相似三角形． 故答案为：5． 精品文档

精品文档 【练习1】．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=a，BC=b，E、F分别是AD、BC的中点，且AF交BE于P，CE交DF于Q，则PQ的长为 ． 【解答】解：∵AD∥BC，E、F分别是AD、BC的中点， ∴∴ ∴PQ∥AD， ∴==． ． ， ===，=， ==， ∴PQ=故答案为：【练习2】．已知P为△ABC的中位线MN上任意一点，BP、CP的延长线分别交对边AC、AB于D、E，求证：+=1． 【解答】证明：过点A作QL∥BC，分别交CE、BD的延长线于点Q、L． ∵MN为△ABC的中位线， ∴MN∥BC， ∴QL∥MN∥BC， 又∵AM=BM，∴PQ=PC，PL=PB． 在△PQL与△PCB中， ， ∴△PQL≌△PCB（SAS）， ∴QL=BC． ∵AL∥BC，∴△ADL∽△CDB， ∴同理可证， ， 精品文档

精品文档 ∴而AL+AQ=QL=BC， ∴+=1． ， 课堂小结：

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