10.1 多元函数

10.1 多元函数

一、n 维欧式空间

定义 设有两个非空集合A 与B. 在A 中任取一个元素a放在第一个位置，在B 中任取一个元素放在第二个位置，组成了有序元素对a,b .将集合

a,b|aA,bB

称为集合A 与集合B 的笛卡尔积，记为AB. 若A甲，乙，丙,Ba,b ，则

AB甲，a,甲，b,乙，a,乙，b,丙，a,丙，b,BAa,甲，a,乙，b,乙，b,甲，a,丙，b,丙.当AB 时，ABBA. 但当AB 时，ABBA.

R2RRx,y|x,yR 称为二维空间. R3RRRx,y,z|x,y,zR 称为三维空间.

RnRRRx1,x2,,xn|x1,x2,,xnR 称为n 维空间.

设Pa1,a2,,an 与Qb1,b2,,bn 是R 中的两个点，它们之间的距离PQ 定义

n为

PQab.

iii1n2Rn 中的距离所具有的三个性质参见课本P138.

在R 中引入了上述距离，R 就称为n 维欧氏空间.

2定义 设Pa,bR ，以Pa,b 为圆心，任意r0 为半径的圆内所有点x,y 的集

nn合

x,y|xayb22r

称为点Pa,b 的r （圆形）邻域，记为Up,r. 以点Pa,b 为中心，任意2r 为边长的正方形内所有点x,y 的集合

x,y|xar,ybr

称为点Pa,b 的r （方形）邻域，也记为UP,r. 把点集

x,y|0xayb22r

或

x,y|xar,ybr,x,ya,b

称为点P 的去心邻域，记为UP,r. 定义 设ER2,PR2.

1）若存在r0 ，使得UP,rE ，则称P 是E 的内点，如下图所示.



2）若对任意r0 ，在邻域UP,r 内既有属于E 的点，又有不属于E 的点，则称点P 是E 的边界点，如图所示.E 的所有边界点组成的集合称为E 的边界.

3）若存在l0，使得EUO,l ，则称E 是有界集，如下图，其中O 是坐标原点. 否则，称E 是无界集.

定义 设ER.

1）若E 的任意点都是它的内点，并且E 内任意两点都能用属于E 的折线连接起来（即E 是联通的），则称点集E 是开区域.

2）若E 是开区域添加它的边界，则称E 是闭区域.

今后，如果不需指明区域的开闭性或区域的开闭性比较明显，就简称为区域. 定义 设ER ，E 是有界闭区域.正数

23supP1P2|P1,P2E

称为区域E 的直径，记为dE ，即

dEsupP1P2|P1,P2E.

圆域的直径就是圆的直径，矩形域的直径就是它的对角线的长. 定义 设ER2,PR2,

1）若对任意r0 ，邻域UP,r 内都含有E 的无限多个点，则称P 是点集E的聚点； 2）若存在r0 ，使得邻域UP,rEP ，则称P 是E 的孤立点. 不难证明，P 是E 的聚点 r0,UP,rE.

二、多元函数的概念 1. 二元函数

函数(或映射)是两个集合之间的一种确定的对应关系．实数集到实数集的映射是一元函数，现在定义二元函数．

定义2 设平面点集DR，若按照某种对应法则f，D中每一点P(x,y)都有惟一确定的实数z与之对应，则称f为定义在D上的二元函数(或称f为D到R的一个映射)，记作

f: DR,

2Pz, (7)

且称D为f的定义域；PD所对应的z为f在点P的函数值，记作zf(P)或

zf(x,y)；全体函数值的集合为f的值域，记作f(D)R．通常还把P的坐标x与y称为f的自变量，而把z称为因变量．

在映射意义下，上述zf(P)称为P的象，P称为z的原象．当把(x,y)D和它对应的象zf(x,y)一起组成三维数组(x,y,z)时，三维欧氏空间R中的点集

3

S{(x,y,z)|zf(x,y),(x,y)D}R3

便是二元函数f的图象．通常zf(x,y)的图象是一空间曲面，f的定义域D便是该曲面在xOy平面上的投影．

为方便起见，由(7)式所确定的二元函数也记作

zf(x,y), (x,y)D或zf(P) PD,

且当它的定义域D不会被误解的情况下，也简单地说“函数zf(x,y)”或“函数f” ．

例1 函数 z2x5y的图象是R中的一个平面，其定义域是R，值域是R．

22例2 函数 z1(xy)的定义域是xOy平面上的单位圆域{(x,y)|x2y21}，

32值域为区间[0,1]，它的图象是以原点为中心的单位球面的上半部分(图16-4)．

例3 zxy是定义在整个xOy平面上的函数，它的图象是过原点的双曲抛物面(图16-5)．

222例4 z[xy]是定义在R上的函数，值域是全体非负整数，它的图形如图16-6

所示．

若二元函数的值域是有界数集，则称该函数为有界函数，如例3中函数；若值域是无界数集，则称该函数为无界函数，如例2、4、5中的函数．

2. n元函数

所有n个有序实数组(x1,x2,,xn)的全体称为n维向量空间，简称n维空间，记作

Rn．其中每个有序实数组(x1,x2,,xn)称为Rn中的一个点；n个实数x1,x2,,xn是这个

点的坐标．

设E为R中的点集，若有某个对应法则f，使E中每一点 P(x1,x2,,xn)，都有惟一的一个实数y与之对应，则称f为定义在E上的n元函数(或称f为ER到R的一个映射)，记作

nn f: ER,

(x1,x2,,xn)y. (8) 也常把n元函数简写成

y(x1,x2,,xn),(x1,x2,,xn)E

或 yf(P),PE. (9) 对于后一种被称为“点函数”的写法，它可使多元函数与一元函数在形式上尽量保持一致，以便仿照一元函数的办法来处理多元函数中的许多问答；同时还可把二元函数的某些论断推广到n(3)元函数．