七年级数学下册《三元一次方程组解法举例1》课案 新人教版

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8.4三元一次方程组的解法举例(1)

（新授课）

【理论支持】

《数学课程标准》指出:数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上.教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验.学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者.

在中学数学中，化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略.所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法.一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.总之，化归在数学解题中几乎无处不在，化归的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗.说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决.这也是辩证唯物主义的基本观点.

本节课研究的内容是“三元一次方程组解法举例”，该内容是在学生已掌握了二元一次方程组的概念及其解法的基础上进行讨论的，但它比二元一次方程组多一个未知数，因此，选择好先消哪个未知数，而且要知道一般需要两次消同一个未知数是学习本课的关键.

通过本节课的学习，让学生进一步感受消元转化思想，经历知识的形成过程.教师应激发学生的积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助学生在自主探索与合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能，数学思想和方法，同时为二次函数的学习做一定的准备.

本课尝试实践“类比——发现——自悟”的课堂研究性学习教学模式.教学以核心问题的探索为中心，辅以一定的基本问题推动.主要以学生独立思考结合小组讨论的研究性学习的课堂教学形态呈现.对于本课的核心问题：“类比二元一次方程组解的有关讨论，推测三元一次方程组解的情况.”学生分析和掌握的深度和时间会有差异，因此，本课中较为重视“教师深入小组和学生共同探索”这一环节，这样可以弥补一些学生或小组由于思维水平的限制而带来的学习障碍，促进了学生的学习进程. 【教学目标】 知识技能 数学思考 了解三元一次方程组的概念，会用消元法解简单的三元一次方程组 理解用消元法解三元一次方程组时体现的“三元”化“二元”、“二元”化“一元”的化归思想. 解决问题 通过解三元一次方程组的训练及选用合理、简洁的方法解方程组，培养运算能力、技巧. 情感态度 让学生通过自己的探索、尝试、比较等活动去发现一些数学规律，体会一些数学思想，从而激发学生的求知欲望和学习兴趣. 【教学重难点】

1.重点:用消元法解三元一次方程组

2.难点:针对方程组的特点，选择最佳消元方案。 【课时安排】

一课时 【教学设计】

课前延伸

一、 复习二元一次方程组的相关知识

1.解二元一次方程组的解题思想是 ．

2.解二元一次方程组的方法有 和 ．

3．分别用代入法和加减法解二元一次方程组【参考答案】1.消元

2．代入消元 加减消元 3.x2y5，

3x2y1．x1，

y2．【设计说明】解三元一次方程组的思想方法与解二元一次方程组思想方法一样，都是

通过代入消元和加减消元法解，所以这里通过复习巩固二元一次方程组的相关知识，以便类比学习三元一次方程组的相关内容，让学生在已有知识基础上，自然进入最近发展区.

二、 预习课本第111页前5节，完成下列各题.

1.一般地，如果一个方程组中共含有 个未知数， 个方程，每个方程中含有未知数的项的次数都是 ，我们把像这样的方程组叫三元一次方程组． 2.下列方程组中是三元一次方程组的有

x2y3，x2y5， （1）x2y4， （2）3xz7，

2xy7；2y3z6；xyz3，x4y，（3）x2yz5， （4）xyz12，

3xy2z4；x2y5z2；x2y3， （5）2xy4，

x2y3z7．【参考答案】1. 3 三 1

2. （2）、（4）

【设计说明】三元一次方程组的概念与二元一次方程组概念一样，都是从未知数

的个数、含未知数的项的最高次数、及方程的个数这三个角度考虑的，这应该是同学们通过类比学习就能迅速掌握的内容，所以三元一次方程组的概念，可以安排学生预习，这样既能培养学生自主学习能力，又能节约时间以便快速进入本课的重点内容.

课内探究

一、 检查课前延伸部分的复习作业 二、 创设情境，导入新课：

1.我们遇到有两个未知数的问题，可以列二元一次方程组解决，那么遇到三个未知数的问题，通常该怎么办呢？（板书课题）

【设计说明】通过该情境创设，让同学们知道学习三元一次方程组的意义，感受到学

习本课的必要性，这样才能更好地激起同学们学习本节内容的欲望，充满学习的热情．

2.检查课前延伸部分的预习作业 三、 布置学生自学 1. 学生自主探究 （1）尝试解方程组

① x4y，② xyz12，

x2y5z22．③ 【点拨方法】二元一次方程组可以通过消元转化为已学的一元一次方程解，类似地可以引导学生将三元一次方程组消元转化为已学过的二元一次方程组求解，让学生感受类比化归的思想.

x8，【参考答案】y2，

z2．

（2）上述方程组还有其它的解法吗？

【点拨方法】引导同学们发现方程①中不含z,通过②、③消去z,得到的方程与①组

成关于x、y的二元一次方程组即可求解.

【设计说明】看到本方程组中的方程①是用含y的代数式表示x的形式，容易使同学

们想到用代入法解该方程组；如果仔细观察比较发现方程①中不含z这个特点，思维灵活的同学会想到通过②、③消去z,得到的方程与①组成关于x、y的二元一次方程组也可行.所以这里又追加了问题⑵，这样既让优生展示了自己的思维独创性，调动了他们的积极性，又让全体同学发现解三元一次方程组时消元的基本方法与二元一次方程组类似，即既可用代入法，又可以用加减法，同时培养了学生的观察能力，训练了学生的思维发散性.

（3）巩固练习

y3x7， 解方程组2x3y2z2，

3xyz10． 【参考答案】

x3， y2，z1．【设计说明】巩固所学知识，培养学生分析问题和解决问题的能力．

2、小组合作探究

① 3xyz4， (1）对于方程组 2x3yz12， ②，你能通过以下三种不同的途径将其化为二元一

xyz6③ 次方程组吗?你认为通过哪条途径解该方程组最简单?

途径：a.先消去x,得到关于y、z的方程组；

b.先消去y,得到关于x、z的方程组； c.先消去z,得到关于x、y的方程组；

【点拨方法】因为该方程组中三个方程都是三元方程，要引导同学们讨论发现解该三

元一次方程组必须两次消去同一个未知数，才能转化为二元一次方程组，这是与解二元一次方程组不同的地方.同时通过引导同学们比较，让同学们知道一般要先消系数比较简单的，解起来才方便.

【设计说明】该方程组是三元一次方程组的一般形式，要让同学们掌握一般解法，通

过三个途径的思考，让同学们遇到系数较复杂的方程组时也能坦然应对.同时要知道系数较简单的未知数是需要先消的未知数.

2x4y3z9，① ② 思考先消哪个未知数解该，（2） 观察三元一次方程组3x2y5z11

5x6y7z13③ 方程组较简便，并说明理由.

【点拨方法】观察三个未知数前面的系数，可以发现只有y前面系数有倍数关系，从而

想到要先消y.

【参考答案】先消y,因为只有y前面系数有倍数关系. 【设计说明】通过本题让学生明白解一般的三元一次方程组消系数成倍数关系的，是常

用的消元方案，同时培养了学生的合作探究精神，还为解二次函数问题奠定了一定的基础.

四、 教师精讲点拨

1.知识点辨析

(1） 解三元一次方程组的基本思想：消元； (2） 消元的途径为: 代入消元和加减消元 2.探究题评析

善于观察方程组的特征，选择好合适的消元对象

3．规律总结

解三元一次方程组时先消去的未知数一般为系数比较简单的或系数成倍关系的.

4.方法指导

类比、化归的思想方法

五、 课堂反馈训练

解下列方程组

xz4，xy2z9，(1）z2y1， （2）3x2y3z0，

xyz1；5x4y7z6．【参考答案】

x7，x6，(1）y5， （2）y27，

z11；z12．【讲评策略】交换评改，无错的还给对方，有错误的请批改的同学先找原因，而后交还

给对方，再让作业者本人订正，无法订正者请批改的同学帮助分析.

【设计说明】当堂反馈训练这一环节的实施，不但使学生对所学知识得到及时巩固和提

升，同时又使得还存在模糊认识的学生得到进一步澄清，这就让学生在第一时间得到更清晰的认识

.

课后提升

课后练习题及答案

4x9z17，3xyz4，1．必做题：(1）3xy15z18， （2）2x3yz12，

x2y3z2；xyz6；2x4y3z9，， （3）3x2y5z11

5x6y7z13．x:y3:2，2. 选做题： y:z5:4，

xyz66．【设计说明】能力一般的同学完成选做题，能力强一些的同学既做必做题，也完成选做

题，通过这样的分层练习，既巩固了所学基础知识，又能让优生能力得到进一步的发展和提高.