建德市高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（ ） A．10米 A．42 C．22

B．100米

B．45 D．25

C．30米

D．20米

2． 圆心在直线2x＋y＝0上，且经过点（－1，－1）与（2，2）的圆，与x轴交于M，N两点，则|MN|＝（ ）

3． 如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）

A．（∁UB）∩A B．（∁UA）∩B C．∁U（A∩B） D．∁U（A∪B） 4． 已知集合A{2,1,0,1,2,3}，B{y|y|x|3,xA}，则A【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．

5． 棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积 为S1、S2、S3，则（ ）

A．S1S2S3 B．S1S2S3 C．S2S1S3 D．S2S1S3 6． 如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为上底面对角线A1C1的中点，若则（ ）

=

+x

+y

，

B（ ）

A．{2,1,0} B．{1,0,1,2} C．{2,1,0} D．{1,,0,1}

A．x=﹣ B．x= C．x=﹣ C．m＞6

D．x=

7． 已知f（x）=x3﹣3x+m，在区间[0，2]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则m的取值范围是（ ） A．m＞2 8． 方程x=

B．m＞4

D．m＞8

所表示的曲线是（ ）

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A．双曲线 C．双曲线的一部分

B．椭圆

D．椭圆的一部分

9． 已知函数f(x)cos(x的图象（ ）

3)，则要得到其导函数yf'(x)的图象，只需将函数yf(x)

个单位 B．向左平移个单位 2222C. 向右平移个单位 D．左平移个单位

33A．向右平移

10．对一切实数x，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣2） A．有最大值

B． D．上是减函数，那么b+c（ ）

C．有最小值

D．有最小值﹣

B．有最大值﹣

11．拋物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线C：x2－y2＝2的焦点重合，C的渐近线与拋物线E交于非原点的P点，则点P到E的准线的距离为（ ） A．4 C．8

B．6 D．10

12．一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为12π，则该几何体的体积是（ ）

A．4π （ ）

A．充分不必要条件

B．12π C．16π D．48π

13．已知d为常数，p：对于任意n∈N*，an+2﹣an+1=d；q：数列 {an}是公差为d的等差数列，则￢p是￢q的

B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

14．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=中错误的是（ ）

，则下列结论

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A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCD

C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值

D．异面直线AE，BF所成的角为定值

15．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）

A．

B． C． D．

二、填空题

16．运行如图所示的程序框图后，输出的结果是

17．=已知f（x）

x≥0，=ffn+1=fn∈N+， ，若f1（x）（x），（x）（fn（x）），则f2015（x）的表达式为 ．

18．给出下列四个命题：

①函数f（x）=1﹣2sin2的最小正周期为2π； ②“x2﹣4x﹣5=0”的一个必要不充分条件是“x=5”；

③命题p：∃x∈R，tanx=1；命题q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则命题“p∧（￢q）”是假命题； ④函数f（x）=x3﹣3x2+1在点（1，f（1））处的切线方程为3x+y﹣2=0． 其中正确命题的序号是 ．

19．将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记则S的最小值是 ．

，

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三、解答题

20．【常州市2018届高三上武进区高中数学期中】已知函数fxax2a1xlnx，aR．

2⑴若曲线yfx在点1,f1处的切线经过点2,11，求实数a的值； ⑵若函数fx在区间2,3上单调，求实数a的取值范围； ⑶设gx

21．△ABC中，角A，B，C所对的边之长依次为a，b，c，且cosA=（Ⅰ）求cos2C和角B的值； （Ⅱ）若a﹣c=

22．（本小题满分12分）

已知函数f(x)3sinxcosxcosx（1）求函数yf(x)在[0,21sinx，若对x10,，x20,π，使得fx1gx22成立，求整数a的最小值． 8222

，5（a+b﹣c）=3ab．

﹣1，求△ABC的面积．

1. 22（2）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，满足c2，a3，f(B)0，求sinA的值.1111]

]上的最大值和最小值；

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23．已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1 （Ⅰ）求f（x）在区间[0，

]上的最大值；

（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）=1，a+c=2，求b的取值范围．

24．如图，已知五面体ABCDE，其中△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC． （Ⅰ）证明：AD⊥BC

（Ⅱ）若AB=4，BC=2，且二面角A﹣BD﹣C所成角θ的正切值是2，试求该几何体ABCDE的体积．

25．在ABC中已知2abc，sinAsinBsinC，试判断ABC的形状.

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2

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建德市高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参） 一、选择题

1． 【答案】C

【解析】解：如图，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂足为B，设A处观测小船C的俯角为45°，

设A处观测小船D的俯角为30°，连接BC、BD Rt△ABC中，∠ACB=45°，可得BC=AB=30米 Rt△ABD中，∠ADB=30°，可得BD=在△BCD中，BC=30米，BD=30由余弦定理可得：

AB=30

米

米，∠CBD=30°，

CD2=BC2+BD2﹣2BCBDcos30°=900 ∴CD=30米（负值舍去） 故选：C

【点评】本题给出实际应用问题，求炮台旁边两条小船距的距离．着重考查了余弦定理、空间线面的位置关系等知识，属于中档题．熟练掌握直线与平面所成角的定义与余弦定理解三角形，是解决本题的关键．

2． 【答案】

【解析】选D.设圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）． 2a＋b＝0

由题意得（－1－a）＋（－1－b）＝r，

（2－a）＋（2－b）＝r

2

2

2

2

2

2

解之得a＝－1，b＝2，r＝3，

∴圆的方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝9， 令y＝0得，x＝－1±5，

∴|MN|＝|（－1＋5）－（－1－5）|＝25，选D. 3． 【答案】A

【解析】解：由图象可知，阴影部分的元素由属于集合A，但不属于集合B的元素构成，

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∴对应的集合表示为A∩∁UB． 故选：A．

4． 【答案】C

【解析】当x{2,1,0,1,2,3}时，y|x|3{3,2,1,0}，所以A5． 【答案】A 【解析】

B{2,1,0}，故选C．

考

点：棱锥的结构特征． 6． 【答案】A

【解析】解：根据题意，得； ===又∵

+﹣=+（+++x+

） ， +y

，

∴x=﹣，y=， 故选：A．

【点评】本题考查了空间向量的应用问题，是基础题目．

7． 【答案】C

2

【解析】解：由f′（x）=3x﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0得到x1=1，x2=﹣1（舍去） ∵函数的定义域为[0，2]

∴函数在（0，1）上f′（x）＜0，（1，2）上f′（x）＞0， 则f（x）min=f（1）=m﹣2，f（x）max=f（2）=m+2，f（0）=m 由题意知，f（1）=m﹣2＞0 ①； 由①②得到m＞6为所求． 故选C

f（1）+f（1）＞f（2），即﹣4+2m＞2+m②

∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，

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【点评】本题以函数为载体，考查构成三角形的条件，解题的关键是求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大值

8． 【答案】C 【解析】解：x=故选C．

22

两边平方，可变为3y﹣x=1（x≥0），

表示的曲线为双曲线的一部分；

【点评】本题主要考查了曲线与方程．解题的过程中注意x的范围，注意数形结合的思想．

9． 【答案】B 【解析】

试题分析：函数fxcosx考点：函数yAsinx的图象变换. 10．【答案】B

【解析】解：由f（x）在上是减函数，知 f′（x）=3x2+2bx+c≤0，x∈， 则

⇒15+2b+2c≤0⇒b+c≤﹣故选B．

11．【答案】

．

5,f'xsinxcosx，所以函数 336fxcosx，所以将函数函数yf(x)的图象上所有的点向左平移个单位长度得到

235ycosxcosx，故选B.

326

x2y2p

【解析】解析：选D.双曲线C的方程为－＝1，其焦点为（±2，0），由题意得＝2，

222∴p＝4，即拋物线方程为y2＝8x， 双曲线C的渐近线方程为y＝±x，

2

y＝8x由，解得 x＝0（舍去）或x＝8，则P到E的准线的距离为8＋2＝10，故选D.

xy＝±

12．【答案】B

【解析】解：由三视图可知几何体是底面半径为2的圆柱，

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∴几何体的侧面积为2π×2×h=12π，解得h=3，

2

∴几何体的体积V=π×2×3=12π．

故选B．

【点评】本题考查了圆柱的三视图，结构特征，体积，表面积计算，属于基础题．

13．【答案】A

【解析】解：p：对于任意n∈N，an+2﹣an+1=d；q：数列 {an}是公差为d的等差数列，

*

*

则￢p：∃n∈N，an+2﹣an+1≠d；￢q：数列 {an}不是公差为d的等差数列，

由￢p⇒￢q，即an+2﹣an+1不是常数，则数列 {an}就不是等差数列，

*

若数列 {an}不是公差为d的等差数列，则不存在n∈N，使得an+2﹣an+1≠d，

即前者可以推出后者，前者是后者的充分条件， 即后者可以推不出前者， 故选：A．

【点评】本题考查等差数列的定义，是以条件问题为载体的，这种问题注意要从两个方面入手，看是不是都能够成立．

14．【答案】 D

【解析】解：∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，BE⊂平面B1D1DB，∴AC⊥BE，故A正确； ∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故B正确； ∵EF=

，∴△BEF的面积为定值×EF×1=

，又AC⊥平面BDD1B1，∴AO为棱锥A﹣BEF的高，∴三棱

锥A﹣BEF的体积为定值，故C正确；

∵利用图形设异面直线所成的角为α，当E与D1重合时sinα=，α=30°；当F与B1重合时tanα=直线AE、BF所成的角不是定值，故D错误； 故选D．

，∴异面

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15．【答案】A

【解析】解：几何体如图所示，则V=

，

故选：A．

【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，正确得出直观图是解答的关键．

二、填空题

16．【答案】 0

【解析】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin由于sin所以S=sin

周期为8， +sin

+…+sin

=0．

+sin

+…+sin

的值，

故答案为：0．

【点评】本题主要考查了程序框图和算法，考查了正弦函数的周期性和特殊角的三角函数值的应用，属于基本知识的考查．

17．【答案】

【解析】解：由题意f1（x）=f（x）=

．

．

f2（x）=f（f1（x））=，

f3（x）=f（f2（x））=…

=，

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fn+1（x）=f（fn（x））=故f2015（x）=故答案为：

．

，

18．【答案】 ①③④ ．

【解析】解：①∵

的充分不必要条件，故②错误； ③易知命题p为真，因为确；

④∵f′（x）=3x2﹣6x，∴f′（1）=﹣3，∴在点（1，f（1））的切线方程为y﹣（﹣1）=﹣3（x﹣1），即3x+y﹣2=0，故④正确．

综上，正确的命题为①③④． 故答案为①③④．

19．【答案】

【解析】解：设剪成的小正三角形的边长为x，则：S=令3﹣x=t，t∈（2，3）， ∴S=立； 故答案为：

． =

=

，当且仅当t=即t=2

时等号成

=

，（0＜x＜1）

．

＞0，故命题q为真，所以p∧（￢q）为假命题，故③正，∴T=2π，故①正确；

②当x=5时，有x2﹣4x﹣5=0，但当x2﹣4x﹣5=0时，不能推出x一定等于5，故“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”成立

三、解答题

20．【答案】⑴a2⑵,,⑶2

11【解析】试题分析：（1）根据题意，对函数（求导，由导数的几何意义分析可得曲线y（ 在点fx）fx）（2，）11，计算可得答案； （，（））1f1处的切线方程，代入点

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3）（2）由函数的导数与函数单调性的关系，分函数在（2，上单调增与单调减两种情况讨论，综合即可得答案；

2（3）由题意得，fmin 分析可得必有fx＝ax2a1xlnx（x）gmax（x）2，15 ，对（求导，fx）8对a分类讨论即可得答案． 试题解析：

⑵

f'x2ax1x1，

x

若函数fx在区间2,3上单调递增，则y2ax10在2,3恒成立，

4a101{ ，得a；

46a10若函数fx在区间2,3上单调递减，则y2ax10在2,3恒成立，

{4a101 ，得a，

66a1011综上，实数a的取值范围为,,；

⑶由题意得，fminxgmaxx2，

1gmaxxg，

281515fminx，即fxax22a1xlnx，

88212ax2a1x12ax1x1由f'x2ax2a1， xxx当a0时，f10，则不合题意；

当a0时，由f'x0，得x当0x1或x1（舍去）， 2a1时，f'x0，fx单调递减， 2a第 13 页，共 18 页

1时，f'x0，fx单调递增． 2a117115ln， fminxf，即4a2a82a8117， 整理得，ln2a22a8111设hxlnx，hx20，hx单调递增，

2xx2xaZ，2a为偶数，

1717又h2ln2，h4ln4，

48882a4，故整数a的最小值为2。

当x21．【答案】

【解析】解：（I）由∵cosA=∴sinA=

222

∵5（a+b﹣c）=3

，0＜A＜π，

=， ab，

∴cosC=∵0＜C＜π， ∴sinC=

=，

=，

2

∴cos2C=2cosC﹣1=，

∴cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣∵0＜B＜π， ∴B=（II）∵∴a=∵a﹣c=∴a=

=．

=c，

，

×+×=﹣

﹣1，

，c=1，

×1×

=．

∴S=acsinB=×

【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，两角和与差的正弦公式等知识．考查学生对基础知识的综合运用．

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22．【答案】（1）最大值为，最小值为【解析】

试题分析：（1）将函数利用两角和的正余弦公式,倍角公式,辅助角公式将函数化简f(x)sin(2x再利用f(x)Asin(x)b(0,||3321；（2）. 2146)1

)的性质可求在[0,]上的最值；（2）利用f(B)0,可得B,22再由余弦定理可得AC,再据正弦定理可得sinA.1

试题解析：

（2）因为f(B)0，即sin(2B)1 611)，∴2B，∴B ∵B(0,)，∴2B(,666623又在ABC中，由余弦定理得，

1b2c2a22cacos492237，所以AC7.

32ba73321由正弦定理得：，即，所以sinA.

sinAsinBsinA14sin3考点：1.辅助角公式；2.f(x)Asin(x)b(0,||

2)性质；3.正余弦定理.

【思路点睛】本题主要考查倍角公式,正余弦定理.在利用正,余弦定理 解三角形的过程中,当所给的等式中既有正弦又有余弦时,常利用正弦定理将边的关系转化为角的关系;如果出现边的平方或者两边长的乘积时 可考虑使用余弦定理判断三角形的形状.解三角形问题时,要注意正,余弦定理的变形应用,解题思路有两个:一个是角化为边,二是边化为角.

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23．【答案】

【解析】（本题满分为12分）

2

解：（Ⅰ）f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1=2sinxcosx+2cosx﹣1

=sin2x+2×=sin2x+cos2x =

sin（2x+

]， ，=

﹣1 ），

∵x∈[0，∴2x+

∈[

]，

时，f（x）min=

sin（

+…6分 ）=1，

∴当2x+，即x=

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（B）=∴sin（∴∴B=

+

+=，

）=，

，

由正弦定理可得：b==∈[1，2）…12分

【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

24．【答案】

【解析】（Ⅰ）证明：∵AB是圆O的直径， ∴AC⊥BC， 又∵DC⊥平面ABC ∴DC⊥BC， 又AC∩CD=C， ∴BC⊥平面ACD， 又AD⊂平面ACD， ∴AD⊥BC．

（Ⅱ）解：设CD=a，以CB，CA，CD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 则C（0，0，0），B（2，0，0），由（Ⅰ）可得，AC⊥平面BCD，

，D（0，0，a）．

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∴平面BCD的一个法向量是由条件得，∴

=即

=

，，

，

=（﹣2，0，a）．

设=（x，y，z）为平面ABD的一个法向量，

不妨令x=1，则y=∴=

，z=， ．

又二面角A﹣BD﹣C所成角θ的正切值是2， ∴∴

．

=cosθ=

，

∴==，解得a=2．

∴VABCDE=VE﹣ADC+VE﹣ABC ====8．

∴该几何体ABCDE的体积是8．

+

+

【点评】本题考查了向量相互垂直与数量积的关系证明线面垂直、利用法向量的夹角求出二面角的方法、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

25．【答案】ABC为等边三角形．

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【解析】

试题分析：由sinAsinBsinC，根据正弦定理得出abc，在结合2abc，可推理得到abc，即可可判定三角形的形状．

22考点：正弦定理；三角形形状的判定．

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