转向梯形机构计算及优化

转向梯形有整体式和断开式两种，选择整体式或断开式转向梯形方案与悬架采用何种方案有联系。无论采用哪一种方案，必须正确选择转向梯形参数，做到汽车转弯时，保证全部车轮绕一个瞬时转向中心行驶，使在不同圆周上运动的车轮，作无滑动的纯滚动运动。同时，为达到总体布置要求的最小转弯直径值，转向轮应有足够大的转角。 5.5.1转向梯形结构方案分析

1.整体式转向梯形

图5－14 整体式转向梯形

1—转向横拉杆 2—转向梯形臂 3—前轴

整体式转向梯形是由转向横拉杆1，转向梯形臂2和汽车前轴3组成，如图5－14所示。 其中梯形臂呈收缩状向后延伸。这种方案的优点是结构简单，调整前束容易，制造成本低；主要缺点是一侧转向轮上、下跳动时，会影响另一侧转向轮。 当汽车前悬架采用非悬架时，应当采用整体式转向梯形。整体式转向梯形的横拉杆 可位于前轴后或前轴前(称为前置梯形)。对于发动机位置低或前轮驱动汽车，常采用前置 梯形。前置梯形的梯形臂必须向前外侧方向延伸，因而会与车轮或制动底板发生干涉，所以 在布置上有困难。为了保护横拉杆免遭路面不平物的损伤，横拉杆的位置应尽可能布置得高 些，至少不低于前轴高度。 2.断开式转向梯形

转向梯形的横拉杆做成断开的，称之为断开式转向梯形。断开式转向梯形方案之一如图5－15所示。断开式转向梯形的主要优点是它与前轮采用悬架相配合，能够保证一侧车轮上、下跳动时，不会影响另一侧车轮；与整体式转向梯形比较，由于杆系、球头增多，所以结构复杂，制造成本高，并且调整前束比较困难。

图5－15断开式转向梯形

横拉杆上断开点的位置与悬架形式有关。采用双横臂悬架，常用图解法(基于三心定理)确定断开点的位置。其求法如下(图5－16b)：

1)延长KBB与KAA，交于立柱AB的瞬心P点，由P点作直线PS。S点为转向节臂球销中心在悬架杆件(双横臂)所在平面上的投影。当悬架摇臂的轴线斜置时，应以垂直于摇臂轴的平面作为当量平面进行投影和运动分析。

2)延长直线AB与KAKB，交于QAB点，连PQAB直线。 3)连接S和B点，延长直线SB。

4)作直线PQBS，使直线PQAB与PQBS间夹角等于直线PKA与PS间的夹角。当S点低于A点时，PQBS线应低于PQAB线。

5)延长PS与QBSKB，相交于D点，此D点便是横拉杆铰接点(断开点)的理想的位 置。

图5－16断开点得确定

以上是在前轮没有转向的情况下，确定断开点D位置的方法。此外，还要对车轮向左转和向右转的几种不同的工况进行校核。图解方法同上，但S点的位置变了；当车轮转向时，可认为S点沿垂直于主销中心线AB的平面上画弧(不计主销后倾角)。如果用这种方法所得到的横拉杆长度在不同转角下都相同或十分接近，则不仅在汽车直线行驶时，而且在转向时，车轮的跳动都不会对转向产生影响。双横臂互相平行的悬架能满足此要求，见图5－16a和c。

5.5.2整体式转向梯形机构优化设计 1.优化设计的一般过程 以机械产品设计为例，通常的设计方法是从任务中给定的原始数据出发，通过理论计算或经验性的类比试凑，先确定若干主要的参数，然后按照强度、刚度、几何等方面的条件进行必要的验算，以判断这些参数是否合理。如果不合理，则妖对其中某些参数做适当的更改，再进行验算，知道满足各项条件为止。这样的设计方法不但使设计人员要消耗大量的时间和精力，而且最后确定的参数方案也只能作为一种认可的方案，而并不一定是一种最优方案。因此，设计工作中就提出了这样一个问题：能否找到某种方法或途径，使所选择的参数不仅满足各种条件，而且使它在某一方面达到最理想的效果。例如机械性能指标最好，用料最省或成本最低等。这样一个问题就是机械产品设计中的最优化设计问题，简称优化设计问题。

机械优化设计的一般过程与传统的设计方法有所不同，它是以计算机自动设计选优为其基本特征的，其过程可分为四个阶段。

(1)工程设计问题的提出。首先决定设计目标，它可以是单项设计指标，也可以是多项设计指标的组合。从技术经济观点出发，机器的运动学和动力学性能、体积、质量、效率、成本、可靠性等都可以作为设计所追求的目标，然后分拆设计应满足的要求。主要有以下三类：一类是某些设计参数的取值范围；二类是由某些设计性能或指标根据设计规范推导出的性能要求；三类是工艺条件对某些设计参数的等。

(2)建立数学模型。将以上工程设计问题用数学方程式的形式予以全面地、准确地描述，

其中包括：根据设计目标建立起评价设计方案优劣的目标函数；把设计应满足的各类要求以等式或不等式的形式建立约束方程；确定哪些参数参与优选，也就是确定设计变量。这里，一是要准，必须严格提按各种规范建立相应的数学描述；二是要全，必须把设计中应考虑的各种因素全部包括进去，这两点对于整个优化设计的效果是至关重要的。

一个优化问题首先要把它用数学的形式表达出来，也就是要建立一个数学模型。最优化问题的数学模型必须考虑设计变量、设计约束和目标函数等诸方面才能完整地予以描述。下面我们将分别讨论这些问题。

机械设计地一个方案常用一组参数来表示。在各类不同的设计问题中，这些参数也是各不相同的。但概括起来不外是两种类型：一是几何参数，例如零件的直径、长度尺寸，齿轮的模数、变位系数等；令一类是物理参数，例如力、功率、质量、效率等。最优化问题中设计变量的数目称为该问题的维数。设计变量越多，即问题的维数越高，则设计的自由度也越大，容易得到比较理想的设计结果。但随着设计变量的增多也必然使问题复杂化，给优化设计带来更大的困难，因此在一般情况下，设计者还应尽量减少设计变量的数目为好。对于那些按照过去设计经验或工艺生产要求能给予规定的值先确定为设计常量，则对设计所追求的目标影响比较大的少量参数选定为设计变量。

根据设计变量的多少。可将最优化设计的题目分成三种。设计变量有2～10个为小型题目：设计变量有10～50个为中型题目；而设计变量在50个以上的称为大型题目。根据文献报道，目前已解决200个变量的优化问题。

在机械设计问题中，设计变量一般总要受到某些条件的，这些条件就称为设计约束。设计约束一般分为两大类：边界约束和性能约束。所谓边界约束是指考虑到设计变量的许可变化范围而给予的一种界限条件。例如，在机构设计中，杆件的长度必须满足

0llmax，某铰链支点的位置需限定在XA1XAXA2，YA1YAYA2范围内等；在

齿轮设计中，为避免非变位齿轮的根切和结构尺寸上的合理性，齿数的选择范围一般在17Z120范围内等。所谓性能约束是指由机械工作性能所提出的一些条件，例如：设计一曲柄摇杆机构需要各杆的长度关系满足曲柄存在的条件；齿轮设计中需要所选的参数满足接触强度和弯曲强度条件等。

设计约束在数学模型中用约束函数不等式来表示：

gu(X)0u1,2,,pgu(X)0 hv(X)0u1,2,,q式中，gu(X)，hv(X)是按设计条件建立起来的函数关系式，称为约束函数。gu(X)≤0和gu(X)≥0形式的设计约束称为不等式约束条件，简称不等约束。hv(X)＝0形式的约束则称为等式约束条件，简称等约束。

由于引入了设计约束，设计点X在n维设计空间内就被分成两个部分。一部分是满足设计约束条件的设计点，称之为可行设计点，可行设计点的集合D称为可行设计区域，或称可行域；另一部分是不满足设计约束条件的设计点，称之为非可行设计点，这种设计点的集合为非可行域。当设计点处于某一不等约束条件的边缘上时，该设计点称为边界设计点。这是一个为该约束所允许的极限设计方案。带有约束条件的最优化问题称为约束最优化问题。显然，没有约束条件的则称为无约束最优化问题。约束最优化问题较之无约束最优化问题难度要更大一些。在机械设计中，大多数问题都属于约束最优化问题。

最优化设计是要在多种因素下寻求使人满意的、最适宜的一组参数。这里所指的“最满意”和“最适宜”当然都是针对某具体问题体现出来的人们所追求的某一特定目标而言的。根据特定问题所追求的目标，用设计变量的数学函数来表达它，这就是优化设计的目标函数，也称评价函数。对于有n个设计变量的最优化问题，目标函数可以写成

F(X)F(x1,x2,,xn)

目标函数的值是评价设计方案优劣程度的标准。在一般情况下，我们是追求目标函数的最小值，即目标函数值最小，设计方案最优。当然，对于某些设计问题也可以追求目标函数的的最大值（如追求效率最高），但对于追求F(X)极大值的问题也可转化为追求－F(X)的极小值问题。故在下面叙述中的最优化问题，都把优化过程看成是追求目标函数极小值的过程。目标函数有单目标函数和多目标函数之分，仅根据一项设计准则建立起来的目标函数称为单目标函数。若某项设计要求同时兼顾若干个设计准则，这就是多目标函数，例如设计一多档汽车变速器的设计准则为：a）要求箱体体积最小，即各齿轮中心距之和为最小；b）要求质量最轻，即齿轮、轴等体积之和最小；c)要求设计的变速器噪声最小等。工程实际问题中存在的大多数问题属于多目标优化问题。由于这类问题要同时考虑多个指标，往往比较复杂，所以多目标函数的最优化问题比起单目标函数来就复杂得多了。

（3）选择优化方法。根据数学模型中的函数的性质，设计的精度要求等选择适用的优化方法，并做出相应的程序设计。

我们简单介绍一下较为常用的复合形法。复合形法的基本思想来源于单纯形法，它实质上是对单纯形法的修正。复合形法的大致过程是这样的：在可行域内选取K个设计点作为初始复合形的顶点，通常取n1K2n。比较这些顶点的目标函数值，其中目标函数值最大的为坏点，以坏点之外其余各点的中心为映射中心，寻找坏点的反射点。如果反射点优于坏点，则以反射点代替坏点，构成新的复合形。依次步骤重复多次，使复合形的位置越来越靠近最优点，最后输出复合形中目标函数值最小的点作为近似最优点。

现以一个二维问题为例，在可行区域内先找出X(1)，X(2)，X(3)，X(L)(4)四个点作为

(H)初始复合形的顶点，计算这四个点的目标函数值，并作比较，得出好点X与坏点X。

X(L)：F(X(L))minF(Xi),i1,2,,K X(H)：F(X(H))maxF(Xi),i1,2,,K

若点X(2)为好点X(H)(L)，点X(1)为坏点X(R)(H)。以点X(2)，X(3)，X(4)三点之中心X(0)为映射中心，寻找X之反射点X，

X(R)X(0)(X(0)X(H))

式中为反射系数。

然后计算映射的反射点X(R)处目标函数值F(X(R))，并比较它是否比坏点目标函数值

F(X(H))小，并同时检查X(R)是否在可行域内。如果这两方面都得到满足，则以X(R)点

代替X(H)点，由X(2)，X(3)，X(4)和X(R)四个点构成一个新的复合形，重复再做。如果上述两个条件有一个不满足，则可用缩小反射系数的方法，使它最后满足这两个条件，并按上述迭代格式，不断地使复合形向着目标函数减小地方向前进，直到最后逼近最优解。

由于复合形顶点数目K比单纯形要多，因此它较单纯形法有更多地灵活性。同时，它地反射点要经过可行性条件地检验，所以可保持全部顶点在可行域内，使最后地输出最优点满足约束条件，获得约束最优解。

（4）得出最优设计方案。上机计算，并自动解得最优解，然后对计算结果做出分析和正确得判断，得出最优设计方案。

汽车转向行驶时，受弹性轮胎侧偏角的影响，所有车轮不是绕位于后轴沿长线上的点滚动，而是绕位于前轴和后轴之间的汽车内侧某一点滚动。此点位置与前轮和后轮的侧偏角大小有关。因影响轮胎侧偏角的因素很多，且难以精确确定，故下面是在忽略侧偏角影响的条件下，分析有关两轴汽车的转向问题。此时，两转向前轮轴线的延长线应交在后轴延长线上，如图5－17所示。设i、o分别为内、外转向车轮转角，L为汽车轴距，K为两主销中心线延长线到地面交点之间的距离。若要保证全部车轮绕一个瞬时转向中心行驶，则梯形机构应保证内、外转向车轮的转角有如下关系 cot0cotiK （5－58） L 若自变角为o，则因变角i的期望值为

图5－17 理想的内、外车轮转角关系简图

if(o)arccot(cotoK/L) （5－59）

现有转向梯形机构仅能近似满足上式关系。以图5－17所示的后置梯形机构为例，在图

上作辅助用虚线，利用余弦定理可推得转向梯形所给出的实际因变角i为

'K2coscos(o)co2ssin(o)'m iarcsinarccos22KKKK(o)(o)12cos12cosmmmm（5－60）

式中，m为梯形臂长；为梯形底角。

所设计的转向梯形给出的实际因变角i，应尽可能接近理论上的期望值i。其偏差在 最常使用的中间位置附近小角范围内应尽量小，以减少高速行驶时轮胎的磨损；而在不经常 使用且车速较低的最大转角时，可适当放宽要求。因此，再引入加权因子0(o)，构成评价设计优劣的目标函数f(x)为

'i'(oi)i(oi)f(x)(oi)×100％ （5－61）

()oi1ioi将式（5－59）、式（5－60）代人式（5－61）得

omaxarcsinsin(oi)2KK12cos(oi)mmKarccotcotoiLomax f(x)(oi)×100％ K2coscos(oi)cos2oi1arccosmKK12cos(oi)mmKarccotcotoiL2式中，x为设计变量，xx1；omax为外转向轮最大转角，由图5－17得 x2m omLarcsin （5－62） axDmina2式中，Dmin为汽车最小转弯直径；a为主销偏移距。

考虑到多数使用工况下转角o小于20°，且10°以内的小转角使用得更加频繁，因此

取

1.50o10(o)1.010o20 （5－63）

0.520oomax建立约束条件时应考虑到：设计变量m及过小时，会使横拉杆上的转向力过大；当

m过大时，将使梯形布置困难，故对m的上、下限及对的下限应设置约束条件。因越大，梯形越接近矩形，f(x)值就越大，而优化过程是求f(x)的极小值，故可不必对的上限加以。综上所述，各设计变量的取值范围构成的约束条件为

mmmin0 （5－） mmaxm0 （5－65）

min0 （5－66）

梯形臂长度m设计时常取在mmin0.11K，mmax0.15K。梯形底角了min70。

此外，由机械原理得知，四连杆机构的传动角不宜过小，通常取≥min＝40°。如图5—17所示，转向梯形机构在汽车向右转弯至极限位置时达到最小值，故只考虑右转弯时≥min即可。利用该图所作的辅助用虚线及余弦定理，可推出最小传动角约束条件为

cosmin2coscos(omax)2m≥0 （5－67）

(cosmincos)cosK式中，min为最小传动角。

已知omaxarcsinLDmina2，故由式(7—32)可知，min为设计变量m及的函数。

由式(5－)、式(5－65)、式(5－66)和式(5－67)四项约束条件所形成的可行域，如图5－18所示的几种情况。图5－18b适用于要求min较大，而min可小些的车型；图5－18c适用于要求min较大，而min小些的车型；图5－18a适用介于图5—18b、c之间要求的车型。

5.5.3断开式转向梯形机构优化设计

图5－18转向梯形机构优化设计的可行域

由上述数学模型可知，转向梯形机构的优化设计问题，是一个小型的约束非线性规划问题，可用复合形法来求解。