椭圆二级结论大全

PF1x2y211.PF 2.标准方程 3.e1 PF2a12a2b2d14．点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

5．PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴

的两个端点. 6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

8．设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2（或PF1）上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2（或A1）.

x2y29．椭圆221（a＞b＞0）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时

abx2y2A1P1与A2P2交点的轨迹方程是221.

abxxyyx2y210．若P0(x0,y0)在椭圆221上，则过P0的椭圆的切线方程是02021.

ababx2y211．若P0(x0,y0)在椭圆221外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线

abxxyy方程是02021.

abb2x2y212．AB是椭圆221的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则kOMkAB2.

aabx0xy0yx02y02x2y213．若P0(x0,y0)在椭圆221内，则被Po所平分的中点弦的方程是2222.

abababx2y2x0xy0yx2y214．若P0(x0,y0)在椭圆221内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2222.

abababx2y2111115．若PQ是椭圆221（a＞b＞0）上对中心张直角的弦，则2222(r1|OP|,r2|OQ|).

r1r2ababx2y216．若椭圆221（a＞b＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为AxBy1(AB0),则(1)

ab2a4A2b4B21122. AB;(2) La2A2b2B2a2b2a2b22ab)17．给定椭圆C1：bxayab（a＞b＞0）, C2：bxay(2,则(i)对C1上任意2aba2b2a2b2x0,22y0). 给定的点P(x0,y0),它的任一直角弦必须经过C2上一定点M(2ab2ab''''''(ii)对C2上任一点P(x0,y0)在C1上存在唯一的点M,使得M的任一直角弦都经过P点.

2222222222x2y218．设P(x0,y0)为椭圆（或圆）C:221 (a＞0,. b＞0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1, PP2

ab1

1mb22. 斜率存在，记为k1, k 2, 则直线P1P2通过定点M(mx0,my0)(m1)的充要条件是k1k21max2y219．过椭圆221 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，

abb2x0则直线BC有定向且kBC2（常数）.

ay0x2y220．椭圆221 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点F1PF2，则椭圆

aba2b2222cbtan,tan) . 的焦点三角形的面积为SF1PF2btan，P(c2c22x2y221．若P为椭圆221（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, PF1F2,

abacPF2F1，则tantan.

ac22x2y222．椭圆221（a＞b＞0）的焦半径公式：|MF1|aex0,|MF2|aex0(F1(c,0) , F2(c,0)，

abM(x0,y0)).

x2y223．若椭圆221（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当

ab21e1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y224．P为椭圆221（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则

ab2a|AF2||PA||PF1|2a|AF2|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.

(a2b2)2x2y2225．椭圆221（a＞b＞0）上存在两点关于直线l：yk(xx0)对称的充要条件是x02. 22abkab26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切

线垂直.

27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 28．P是椭圆xacos12（a＞b＞0）上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是e. 21sinybsinx2y2x2y229．设A,B为椭圆22k(k0,k1)上两点，其直线AB与椭圆221相交于P,Q,则

ababAPBQ.

x2y230．在椭圆221中，定长为2m（o＜m≤a）的弦中点轨迹方程为

abx2y22bx2m1(22)acos2b2sin2,其中tan,当y0时, 90.

ayabx2y2M(x0,y0)31．设S为椭圆221（a＞b＞0）的通径，定长线段L的两端点A,B在椭圆上移动，记|AB|=l，

aba2lc(c2a2b2,e);当lS时，有是AB中点，则当lS时，有(x0)maxc2ea2

a4b2l2,(x0)min0. 2bx2y22222232．椭圆221与直线AxByC0有公共点的充要条件是AaBbC.

ab(xx0)2(yy0)21与直线AxByC0有公共点的充要条件是33．椭圆22abA2a2B2b2(Ax0By0C)2. (x0)maxx2y234．设椭圆221（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2

absince. 中，记F1PF2, PF1F2,F1F2P，则有

sinsina22222235．经过椭圆bxayab（a＞b＞0）的长轴的两端点A1和A2的切线，与椭圆上任一点的切线相交

2于P1和P2，则|P1A1||P2A2|b.

x2y236．已知椭圆221（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.（1）

ab4a2b2a2b2111122

;（2）|OP|+|OQ|的最小值为2;（3）SOPQ的最小值是2.

ab2ab2|OP|2|OQ|2a2b222222237．MN是经过椭圆bxayab（a＞b＞0）焦点的任一弦，若AB是经过椭圆中心O且平行于MN的

弦，则|AB|2a|MN|.

38．MN是经过椭圆bxayab（a＞b＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O的半弦OPMN，则

222222221112. 22a|MN||OP|abx2y239．设椭圆221（a＞b＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M引一

aba2条直线与椭圆相交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q(A1 ,A2为对称轴上的两顶点)的交点N在直线l：x(或

mb2y)上.

m40．设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

41．过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y2'42．设椭圆方程221,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l：ykx的共轭直线ykx上,

abb2'而且kk2.

ax2y243．设A、B、C、D为椭圆221上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为,，直线AB与CD相交

abPAPBb2cos2a2sin2于P,且P不在椭圆上,则. 2222PCPDbcosasinx2y244．已知椭圆221（a＞b＞0）,点P为其上一点F1, F 2为椭圆的焦点，F1PF2的外（内）角平分

ab3

线为l，作F1、F2分别垂直l于R、S，当P跑遍整个椭圆时，R、S形成的轨迹方程是

222aybxxc222). 22xya(cy2a2y2b2xc245．设△ABC内接于椭圆，且AB为的直径，l为AB的共轭直径所在的直线，l分别交直线AC、BC于E和F，又D为l上一点，则CD与椭圆相切的充要条件是D为EF的中点.

x2y246．过椭圆221（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x

ab|PF|e. 轴于P，则

|MN|2x2y2b2x147．设A（x1 ,y1）是椭圆221（a＞b＞0）上任一点，过A作一条斜率为2的直线L，又设d

abay1是原点到直线 L的距离, r1,r2分别是A到椭圆两焦点的距离，则rr12dab.

x2y2x2y248．已知椭圆221（ a＞b＞0）和22（01 ），一直线顺次与它们相交于A、B、C、

ababD四点，则│AB│=|CD│.

x2y249．已知椭圆221（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点

aba2b2a2b2P(x0,0), 则x0.

aax2y250．设P点是椭圆221（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F1PF2，则

ab2b22(1)|PF1||PF2|.(2) SPF1F2btan.

1cos251．设过椭圆的长轴上一点B（m,o）作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结AP和

2amanmAQ分别交相应于过H点的直线MN：xn于M，N两点,则MBN90. 22amb(na)x2y252．L是经过椭圆221（ a＞b＞0）长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是椭圆两个焦点，e是

ab离心率,点PL，若EPF，则是锐角且sine或arcsine（当且仅当|PH|b时取等号）.

2x2y253．L是椭圆221（ a＞b＞0）的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点,点PL，e是离心率，EPF，

ababH是L与X轴的交点c是半焦距，则是锐角且sine或arcsine（当且仅当|PH|时取等号）.

cx2y254．L是椭圆221（ a＞b＞0）的准线，E、F是两个焦点，H是L与x轴的交点，点PL，EPF,

abb2222ac时取等离心率为e，半焦距为c，则为锐角且sine或arcsine（当且仅当|PH|c号）.

x2y255．已知椭圆221（ a＞b＞0），直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B两点，将A、B与椭

ab(2a2b2)22圆左焦点F1连结起来，则b|F1A||F1B|（当且仅当AB⊥x轴时右边不等式取等号，当且2a4

仅当A、F1、B三点共线时左边不等式取等号）.

x2y256．设A、B是椭圆221（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB,

ab2ab2|cos|.(2) PBA,BPA，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA|22accos22a2b22tantan1e.(3) SPAB2cot. 2bax2y257．设A、B是椭圆221（ a＞b＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且xA、xBab2的横坐标xAxBa，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则PBAQBA；（2）若过B

引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则PABQAB180.

x2y258．设A、B是椭圆221（ a＞b＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过

abA点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，（若B P交椭圆于两点，则P、Q不关于x轴对称），且PBAQBA，

2则点A、B的横坐标xA、xB满足xAxBa；（2）若过B点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，且PABQAB180,则点A、B的横坐标满足xAxBa2.

x2y2'''59．设A,A是椭圆221的长轴的两个端点，QQ是与AA'垂直的弦，则直线AQ与AQ的交点P

abx2y2的轨迹是双曲线221.

abx2y260．过椭圆221（ a＞b＞0）的左焦点F作互相垂直的两条弦AB、CD则

ab8ab22(a2b2)|AB||CD|.

a2b2ax2y2ac61．到椭圆221（ a＞b＞0）两焦点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹

abb222圆(xa)yb.

'x2y2ac62．到椭圆221（ a＞b＞0）的长轴两端点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹

abba2b22是姊妹圆(x)y().

eex2y2ac63．到椭圆221（ a＞b＞0）的两准线和x轴的交点的距离之比为（c为半焦距）的动点的

abba2b22轨迹是姊妹圆(x2)y(2)（e为离心率）.

eex2y2'64．已知P是椭圆221（ a＞b＞0）上一个动点，A,A是它长轴的两个端点,且

abx2b2y2''AQAP,AQAP，则Q点的轨迹方程是241.

aa65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.

x2y2b2x1'66．设椭圆221（ a＞b＞0）长轴的端点为A,A,P(x1,y1)是椭圆上的点过P作斜率为2的

abay15

'直线l，过A,A分别作垂直于长轴的直线交l于M,M,则（1）|AM||AM|b.（2）四边形MAA'M''''2面积的最小值是2ab.

x2y267．已知椭圆221（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交

ab于A、B两点,点C在右准线l上，且BC//x轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

(xa)2y221（ a＞0,b＞0）的两条互相垂直的弦，O为坐标原点，则（1）直线AB68．OA、OB是椭圆

a2b2ab2,0).(2) 以O A、O B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是必经过一个定点(22abab222ab22(x22)y(22)(x0). abab(xa)2y221（a＞b＞0）上一个定点，P A、P B是互相垂直的弦，则（1）直线69．P(m,n)是椭圆2ab2ab2m(a2b2)n(b2a2),2).（2）以P A、P B为直径的两圆的另一个交点Q的轨AB必经过一个定点(222abab迹方程是

ab2a2m2b2n2a2[b4n2(a2b2)](x2)(y2)(xm且yn).

ab2ab2(a2b2)2270．如果一个椭圆短半轴长为b，焦点F1、F2到直线L的距离分别为d1、d2，那么（1）d1d2b，且F1、

d1d2b2，d1d2b2，F 2在L 同侧直线L和椭圆相切.（2）且F1、F2在L同侧直线L 和椭圆相离，（3）

或F1、F2在L异侧直线L和椭圆相交.

x2y271．AB是椭圆221（a＞b＞0）的长轴，N是椭圆上的动点，过N的切线与过A、B的切线交于C、

abx24y2D两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是221(y0).

abx2y2x2y272．设点P(x0,y0)为椭圆221（ a＞b＞0）的内部一定点，AB是椭圆221过定点P(x0,y0)ababa2b2(a2y02b2x02)的任一弦，当弦AB平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时(|PA||PB|)max.当弦

b2a2b2(a2y02b2x02)AB垂直于长轴所在直线时, (|PA||PB|)min.

a273．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c. 76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.

77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.

81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.

82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径

6

所在直线平行.

83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.

84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.

85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e. 86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.

88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.

x2y2bb89. 已知椭圆221(a0,b0)(包括圆在内)上有一点P,过点P分别作直线yx及yxabaa222的平行线，与x轴于M,N，与y轴交于R,Q.,O为原点，则：（1）|OM||ON|2a；（2）|OQ|2|OR|22b2.

bbx及l2:yx的平行线，分别交x轴于M,N，交y轴于R,Q.aax2y2222222（1）若|OM||ON|2a，则P的轨迹方程是221(a0,b0).(2)若|OQ||OR|2b，

abx2y2则P的轨迹方程是221(a0,b0).

abx2y291. 点P为椭圆221(a0,b0)(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P引x轴、y轴的

abb平行线，交y轴、x轴于M,N，交直线yx于Q,R，记 OMQ与ONR的面积为S1,S2，则：

aab. S1S22bx轴于M,N，92. 点P为第一象限内一点，过P引x轴、y轴的平行线，交y轴、交直线yx于Q,R，

ax2y2ab记 OMQ与ONR的面积为S1,S2，已知S1S2，则P的轨迹方程是221(a0,b0).

ab290. 过平面上的P点作直线l1:y7

椭圆性质92条证明

1.椭圆第一定义。2.由定义即可得椭圆标准方程。3.椭圆第二定义。

4. 如图，设P(x0,y0)，切线PT（即l）的斜率为k，PF1所在直线l1斜率为k1，PF2所在直线l2斜率为k2。

4图

5图

由两直线夹角公式tank1k2得：

1k1k2b2x0y022b2a2cx0a2y0x0cb2x0a2y0b2x0ca2b2b2cx0kk1b2tan222b2x0y01kk1ax0y0a2cy0b2x0y0cx0y0a2cy0cy0acx0cy012ay0x0c

b2x0y022b2a2cx0a2y0x0cb2x0a2y0b2x0ca2b2b2cx0kk2b2tan222b2x0y01kk2ax0y0a2cy0b2x0y0cx0y0a2cy0cy0acx0cy012ay0x0c

,0, 同理可证其它情况。故切线PT平分点P处的外角。

25.如图，延长F1P至A，使PA=PF2，则PAF2是等腰三角形，AF2中点即为射影H2。则OH2理可得OH1a，所以射影H1，H2的轨迹是以长轴为直径的圆除去两端点。

6.设P，Q两点到与焦点对应的准线的距离分别为d1,d2，以PQ中点到准线的距离为d，以PQ为直径的圆的半径为r，则dF1Aa，同2d1d2PFFQrr，故以PQ为直径的圆与对应准线相离。 22ee8

7图 8图

PF12aPF2PF2aar，故两圆内切。 7.如图，两圆圆心距为dOM2228.如图，由切线长定理：FSFTPF1PF2F1F22a2c，F1SFTac 111而FTacF1A2，T与A2重合，故旁切圆与x轴切于右顶点，同理可证P在其他位置情况。 19.

x02y02易知A1a,0A2a,0,设P11x0,y0,P2x0,y0,则2ab2y0yxa,A2P2:y0xa ax0ax0A1P1:ya2ay0xP2yP2a2a2y02a2b2a2y02a2x2y2则xPP,1P点的轨迹方程为2212222222x0bx0bx0bx0abx0x0a 10.

22x0y0x2y2x2y2P0(x0,y0)在椭圆221上221，对221求导得：

ababab2x2yy'b2x0'20y2 2abay022x0xy0yx0y0b2x0切线方程为yy02xx0即22221

ababay0x0x1y0y1x0x2y0y21,21，因为点P1P2上，且1,P2在直线P222ababxxyyx0xy0yP:21 同时满足方程02021，所以P122abab11.设P1x1,y1,P2x2,y2，由10得：

2222x12y12x2y2x12x2y12y20 12.设Ax1,y1,Bx2,y2,Mx0,y0则有221,221作差得：22abababx1x2x1x2y1y2y1y20a2b29

kABb2x1x2b2x0y1y2b2b2222kABkOM2 x1x2ay1y2ay0akOMab2x022222213.由12可得：yy02xx0ay0yay0bx0xbx00

ay022x0xy0yx0y0bx0xay0ybxay2222

abab22220220yy0yb214. .由12可得：2a2y2a2y0yb2x2b2x0x0

xx0xax2y2x0xy0ybxaybx0xay0y2222

abab22222215.设Pacost,bsint,Qacost,bsint，则kOPkOQ''bsintbsint'a2'1tanttant2 acostacost'ba2cos2tcos2t'b2sin2tsin2t'11r12r2222222r1r2r1r2acos2tb2sin2ta2cos2t'b2sin2t'12tan2t'tan2t1ab222'222'222'22'2costcostcostcos2t'a2tanttantbtanttant2btanttant222222'a4a2b2tan2ttan2t'b4tan2ttan2t'abtantabtant2

22211a22'ab2222'2tanttant222abtanttant2ab2b2ab11

a2a2b22a4a2b2tan2ttan2t'22'22tanttantb16.将直线AB代入椭圆方程中得：AaBb2222x22Aa2xa21B2b20

A2a2B2b21 4aBb2222abA2B2AaBb1，AB22AaB2b22222设Ax1,y1,Bx2,y2a21B2b2b21A2a22Aa2则x1x222，x1x222，y1y222 222222AaBbAaBbAaBb11 a2b2OAOB

x1x2y1y20a2b2a2b2A2B2A2B210

2abA2B2AB22AaB2b22424A2a2B2b21222a22b2A2a2B2b21A2a2B2b2

2AaBbabA2Bab22A2a2B2b22A2a4B2b4A2a2B2b217.设椭圆内直角弦AB的方程为：ymkxn即ykxmkn。 当斜率k存在时，代入椭圆C1方程中得：akb222x22a2kmknxa2mknb20

22a2mknb22a2kmkn

设Ax1,y1,Bx2,y2得x1x2，x1x2222222akbakb则PAPBx0x1x0x2y0y1y0y2

2k21x1x2k2nky0x0mkx1x2x00 y0mkn2222222222222ak1mknbknky0x0mk2akmknakbx0akby0mkn2222a2k21mkna2k21b2a2k2b2x0a2k2b2y0a2k2b2mkn222y0mkna2k2b22a2k2mkn2a2kx0mkn2a2k2y0mkn022222a2k2b2x0y0a2b2mkna2b2k212mkna2kx0b2y00222a2mkna2k21b2a2k2b2x0a2k2b2y0b2mkn2y0mknb22a2kx0mkn

22a2k2x0y0b2x02y02a2b2m2a2b2k2n22kmna2b2a2b2k2a2b22makx02mby02knax02knby0022a2x0a2b2n2b2x02na2x00b2a2ma2b2y02 max0nb2y0mna2b22222nabx2222220a2b2by0abmay02mby0022222

a2b2b2a2x,2y，此点在C2上。当直线斜率不存在时，直线AB也过C2上的定点。即直线AB过定点2 2020abab由上可知C和C上点由此建立起一种一一对应的关系，即证。

1

2

18.必要性：设P1P2：ymy0kxmx0。k存在时，代入椭圆方程中得：

ak22b2x22a2kmy0kx0xa2m2y0kx0a2b20

211

2a2kmy0kx0a2m2y0kx0a2b2设P，x1x2 1x1,y1,P2x2,y2得x1x2a2k2b2a2k2b22y0y1y0y2k2x1x2kmy0mkx0y0x1x2my0mkx0y0k1k22xxxxx1x2x0x1x2x001022b2m12kmx0y0k2x0m1y02m1b2m122222am12kmx0y0kx0m1y0m1am1k不存在时，P1P2：x=mx0则y2

b22， am2x0a2b2b22222b22amx0y0+amx0y02a2m2x0222y0bxm1b2m10aaa k1k222222222am1x01mx01max01m必要性得证。

充分性：设P1P2过定点q,p，则P1P2：ykxpkq。代入椭圆方程得：

a2k2b2x22a2kpkqxa2pkqa2b20

22a2kpkqa2pkqa2b2设P，x1x2 1x1,y1,P2x2,y2得x1x2a2k2b2a2k2b22y1y0y2y0k2x1x2kpkqy0x1x2pkqy0则k1k22x1x2x0x1x2x0x1x0x2x0222

a2k2pkqa2b2k22a2k2pkqpkqy0pkqy0a2k2b22a2pkqa2b22a2kx0pkqx0a2k2b222222bpkq2y0pkqy0k2x0m1b2222222m1aapkq2kx0pkqkx0y0

pkq2y0pkqy02k2x02m12222pkq2kx0pkqkx0y0m122k2mx0q2mqx0qx0kmpx0px0mqy0qy02pqmpy0py0p2my00

2qx0qmx001mx0q2mqx0qx00mpx0px0mqy0qy02pq0px0m1qy01m2pq222mpy0py0pmy00py0my0p032注意到m≠1，解（1）（3）得pmy0,qmx0，代入（2）式，成立。

12

验证k不存在的情况，也得到此结论。故l过定点mx0,my0m1，充分性得证。 19. 设AB：yy0kxx0即ykxy0kx0

ykxy0kx0222222222akbx2akykxxaykxb20 xy0000221ba2a2kkx0y0a2k2x02a2ky0b2x0b2y0a2k2y02b2kx0a2k2x02a2ky0b2x0x0xBxBB,222222222222akbakbakbakb

a2k2x02a2ky0b2x0b2y0a2k2y02b2kx04b2kx0b2x0同理C,2 kBC2222222akbakb4akyay0020.

22由余

2弦定理：

PF1PF22PF1PF2cos2cPF1PF22224c22PF1PF2cos1

2b2b24a4c2PF1PF2cos1PF1PF2

cos1cos222b2sincos1bsin22b2tancySF1PF2PF1PF2sinP2cos1222cos 2a22b2a2b2a22b22222yPtan,xPa2tancbtanPcbtan,tancc2c2c22c2221.由34：

ac1esinsinsinsinsinsin ac1esinsinsinsinsinsinsinsinsincossincossin1cossin1cossinsinsincossincossin1cossin1cos cossincossin2222222222222sincos2cos22sincos2cos2coscossincossincos2222222222222sincos2sin22sincos2sin2sinsin2tantan 22coscos222sinsin13

a2a222.由第二定义得：MF1ex0aex,MFex020aex0

cc23.

PF1PF21eePF2ePF1aex0eaex0x02a dPF1eex00,a1e1e22e10e21或e122eee0,1e21,1

24.在APF2中,有PF2AF2PAPF2AF2

PF1PAPF1PF2AF22aAF2,PF1PAPF1PF2AF22aAF2都当且仅当A、P、F2三点共线时取等号。25.设椭圆上的点Ax1,y1,Bx2,y2关于l:ykxm对称，Mx0',y0'。 由12得：kAB

2'b2x0'a2y0'akx0m1a2m'b2m'2'k2'x02,y02

ay0kbx0b2x0'ckc又

2222a2m2b2m2abkmc4k221m222若mkx0，则M在椭圆内，424ckcc4k2abk42x0c a2b2k2a2b2k2a2b2226.由5即可得证。

a2bacoscossin27.设Pacos,bsin，则切线l:xy1，A,1

abcsinc27图

30图

b2bacosab2cosab2cos22FPFAacosc,bsin,bb0FPFA1ccccsin

28.设Pacos,bsin,由射影定理有:bsin22cacoscacosc2a2cos2

14

c2a2cos2a2c2sin2e2cos21e2sin211sinesincos1e1sin222222

x2y2x2y229.设C1:221,C2:22kk1,ABl:AxByC0。联立C1,l得：

abab2Aa2CAaBbx2AaCxaCabB0，由韦达定理：xAxBA2a2B2b2

22222222222同理

2Aa2CxPxQ22AaB2b2。则

A2A2A2APBQ=12xAxP12xBxQ12xAxPxBxQ

BBB而xAxP,xBxQ的符号一定相反，故xAxPxBxQ=xAxBxPxQ=0。所以AP=BQ 30.设Aacos,bsin,Bacos,bsin，Mx0,y0为AB中点。 则

ABa2coscosb2sinsin4a2sin2

2222sin224b2cos22sin224m2a2sin2而x02sin22b2cos22sin22m2

acosacosbsinbsin acoscos,y0bsincos22222222222222设Asin，则x0a1A1B,y0b1AB,maABbA1B ,Bsin22222a2y0b2x022222x0x0b2y0y022a2解得A122,B2，代入m得：m1222222xyxyxyabab00000022aba2b2a2b22y0b2 ：

令

tanbx0ay0得

2222x02y0y0a2b2tan2x0222m122122acosbsin 22btan1tan1aba2x2y22222所以定长为2m（0＜m≤a）的弦中点轨迹方程为m1(22)acosbsin。

ab215

其中tanbx,当y0时, 90。 ay31. 设Aacos,bsin,Bacos,bsin，Mx0,y0为AB中点。则：

x0x0acosacos acoscoscos2222acos222222ABa2coscosb2sinsin4a2sin2sin4b2cos2sin2222

22222222asinbcos41cosaccos22222l222222222aacosccoscosccos222244sin22x022ex0c2cos22cos2222

2

2l

2l22aa4l2l2222

二次函数y=ex-mx+a与y在0,a内的交点即为x0的值。由图易知y=ex-mx+a与y的左交点为

44

x0的值。当m增大时，x0减小。要使x0最大，则要使m最小。

2x0cos22c2cos222cx0，此时等号成立时cos22x0max1x0maxc c31图

35图

当

222此式成立时

l2l2lala2l222yexmxaex0max2cx0maxaex0maxax0max

442e2ec2e16

当x0maxala2l2b222c时：l4ceal2ace=通径 e2ec2eaa2l2b22b2c时：l=当l=。 时x0maxc，x0maxc2eaa当x0max2当x0maxc时，当cos21，即AB垂直于x轴时x0最大。

ex220maxx20maxl22acx0max422l2b2aa22224 4blx4bl0max221e4b2b2考虑到对称性x0min0对任意情况均成立。

x0min0，x0maxa2lx02b22xc,l=,AB过焦点，cos0maxc2ea2c 22ba4b2l2x2c,l=，ABx轴，cos10max2ba2b2x2a2y2a2b232.A2a2B2b2x22a2ACxa2C2B2b20

AxByC04a4A2C24a2C2B2b2A2a2B2b20A2a2B2b2C2

222222bxx0ayy0ab33. 

AxByC022A2a2B2b2x22a2ACB2b2x0a2ABy0xa2C2a2B2y0B2b2x0a2B2b22a2BCy00

220A2a2B2b2A2x0B2y0C22ABx0y02ACx02BCy0Ax0By0C 22222当x0y00时，即为32：AaBbC

234.由正弦定理得

F1F2sin2ccF1F2PF2PF1e。 ，所以

sinsinPF1PF22aasinsinsin35. 设Pacos,bsin，则P点处的切线为

cossinxy1， abb21cos2bb2由此可得：yP1 b1cos,yP21cosP1A1P2A22sinsinsin36.（1）同15.

17

11|OP|2|OQ|2|OP|2|OQ|2a2b2（2）由15,36（3）：22 22222|OP||OQ||OP||OQ|4SOPQab|OP|2（

a|OQ|222b24SOPQa2b2）

4a2b2a2b24a2b222 2222ababab23设

Pacos,bsin,Qacos,bsin，

a2OPOQacoscosbsinsin0tantan2

b222SOPQOPOQ24SOPQacosbsinacosbsinabsincossincos

ab22sin2cos2+sin2cos22sincossincos

a44a22btan222tan2tan22tantantanb =4atan21tan2144a2btan142btana4a2222222122422422ab4aba2abbaba2b22bb211SOPQ2SOPQ22a44SOPQ4a2b24a2b2abab24a22btan22tan2ba2b2Smin2ab2

xtcospb237.设MFx,AB:，椭圆p

1ecosaytsin 37图 38图

18

pp2p2ab22ab2则MN

1ecos1ecos1e2cos2a2c2cos2a2sin2b2cos2a2b2将AB的方程代入椭圆的标准方程中得：t2，由参数t的几何意义可知： 222asinbcos24a2b2AB4t222aMN 22asinbcos2238.作半弦OQ⊥OP，由37得：OQ2111211a2 MN，由15：2222|OP||OQ||OP|aMNab2，

239.设

l:xtym,Px1,y1,Qx2,y22将

2l的方程代入椭圆得：

a2bty2222bmtybma0

2

b2m2a2y12b2mty由韦达定理得：y1y22，直线AP的方程为,yyxa，直线11222222x1aabtabtA2Q

的方程为yy2xa，联立x2aA1P和A2Q得交点N的横坐标

x2ty1y2amy2may1a，代入化简：

amyamy212b2tm22b2ta22b2m2taa2b2t2y2y12ab2mtma2b2t2y2y1a2aa

2222mmabty2y12abt2222aabtyy2abt21xa2所以交点一定在直线x上。同理可证M在y轴上的情况。

m引理（张角定理）：A,C,B三点按顺序排列在一条直线上。直线外一点P对AC的张角为α，对CB的张角为β。 则：

sinsinsin

PCPBPA19

40图

图

40.如图，A为左顶点时，设PFH,MFH，则AFP,PFM

FHa2ccb2b2ppb2caee,FMecos。 对F-APM由张角定理pasinsinsinFPFMFA

sinesincosesincossinesinsinsin

0即FM平分PFH，同理FN平分QFH。MFN90即MF⊥NF

当A为右顶点时，由39可知左顶点A’与P、M；Q、N分别共线，于是回到上一种情况。 41.如图，设PFA2,MFA2，则A1FP,PFMA2FQ 对

F-QA2M

和

F-A1PM

由

张

角

定

理

sinsinsinsinsinFPFMFA,sinFQ 1FA2FM两式相减并化简得：

sinsinsinsinFPFQFAFAsinsin

120即FM平分PFA2，同理FN平分QFA2。MFN90即MF⊥NF

42.由12即可证得。 43.设Pxxx0tcos0,y0，AB：y，CD：xx0tcosy，将AB的方程代入椭圆得：

y0tsiny0tsinb2cos2a2sin2t22b2x2220cosa2y0sintb2x20ay0ab20

由参数t的几何意义可知：

PAPBtb2x2y220a20ab21t2b2cos2a2sin2，同20

41

：

：

理

PCPD22b2x0a2y0a2b2bcosasin2222

PAPBb2cos2a2sin2 PCPDb2cos2a2sin244. 对于外角平分线的情况由5即可证得，下仅证l为内角平分线的情况。

设Pacos,bsin，则l0:2cossinxy1bcosasinab0 ab则l:asinxbcosycsincos0，l1:bcosxasinybccos0

l2:bcosxasinybccos0。分别联立l、l1和l、l2得：

ccosacsin2b2cosbcsincosccosacsin2b2cosbcsincos，H2 H1,,22222222asinbcosaccosasinbcosaccosbxcbxcacsin2acsin2tantan则xH1c，xH2c 对H1点：

accosaccosayaysinbxcayb222xc222,cosayayb222xc2，代回xH1c式得：

b2xca2y2b2xcb2cxcxccy122 222acy222acaybxcaybxca2a2y2b2xccyaybxc2222

bcxcaybxc22222a2y2b2xc2222aybxxcaybxxc2222cy22ayb2xca2y2b2xc222221

222222aybxxcaybxxc 2222同理对H2点得cy。故H1点、H2点的轨迹方程为cy22a2y2b2xca2y2b2xc2245.由伸缩变换y'a，椭圆中的共轭直径变为圆中相互垂直的直径。所证y将椭圆（左图）变为圆（右图）

b命题变为证CD与圆O相切的充要条件是D为EF中点。

充分性：若D为EF中点 ∵C在圆上，AB⊥OE ∴FC⊥CE，OF⊥OB ∴CD=DE=DF ∴∠DCF=∠OFB=∠OAC=∠OCA

∴∠OCD=∠OCA+∠ECD=∠ECD+∠DCF=∠ECF=90°∴OC⊥CD ∴CD与圆相切。 必要性：若CD与圆相切，则∠OCD=∠ACB=∠FOB=90°∴∠DCF=∠OCA=∠OAC=∠CFD ∴DF=DC ∵∠ECF=90° ∴∠DEC=90°－∠CFD=90°－∠DCF=∠DCE ∴CD=DE=DF 即D为EF中点。 46.设MFx，由椭圆极坐标方程：MNpp2p 221ecos1ecos1ecosppHFPFepcos1ecos1ecosepe， PFHFcos1e2cos2MN221e2cos247.由10可知l为切线l:bx1xay1yab0 d2222a2b2b4x12a4y12222 由22:r1r2aex1

r1r2daex48.同29。

2221a2b2bxay421421a2b2a2e2x12bxabax42122221a2ba2e2x12acx4221ab

49.设AB中点为Mx0,y0,则kABb2x0a2y0a2y02kMP2MP:yy02xx0

ay0bx0bx0a2b2令y0,得xPx0a250.同20。

a2b2a2b2x0a,axP,

aa51.设l:xtym,Px1,y1,Qx2,y2，代入椭圆方程得：abt222y22b2mtyb2m2a20

22

b2m2a22b2mt由韦达定理得：y1y22 ,y1y2ab2t2a2b2t2由A、P、M三点共线得yMnay1，同理ynay2 nay1Nx1aty1maty2manay1y2nm22ty1y2tmay1y2ma22BMBNnmyMyN2

nm22b2m2a2nab2mana222b2t2m2a22b2mt2mamaa2b2t22222b2manaamanmnm22nm02222222amaamb(na)2btma2bmtmaabt

52,53,54为同一类题（最佳观画位置问题），现给出公式：若有两定点Ak,0，Bk,0，点Pm,y在直线x=m上（m>k），则当y2mkmkm2k2时，∠APB最大，其正弦值为

k。 ma2ab52.k=c,m=a ∴sinα≤e,当且仅当PH=b时取等号。 53. k=a,m= ∴sinα≤e,当且仅当PH=时取等号。

cca2b2254. k=c,m= ∴sinα≤e2,当且仅当PH=ac时取等号。

ccpp2a55.设∠AF2x=，F1AF1B2a1ecos1ecos2 F1AF1B pp4a0 cospp4a2 4a221ecos∴当

=0°时，

F1AF1Bminb2；当=90°时，

2F1AF1Bmax2a2b222a

∴bF1AF1B22a2b2a2

56.（1）设AP:xtcosa222222，代入椭圆方程得：bcosasint2abtcos ∵AP=t≠0

ytsin2ab2cos2ab2cos22∴AP=t2 2222bcosasinaccos23

2y0b22（2）设Px0,y0则tantan2 1e22ax0a12a2b2sincos2a2b2tan2（3）SPAABsin 222222accosatanbat由（2）：nb2nat22a2nat2banat2bc2nat12anatoct2cnat22b2ant

2a2b2cot2a2b2cotS 222cba57.由58可证。

58.（1）易知PQ的斜率为0和斜率不存在时，对任意x轴上的点A都成立。设PQ:xtym，A（m，0） 代

入

椭

圆

方

程

得

：

a2bty2222bmtybm2a02，则22y12b2my22,2ab2m2a2tby1y2 2t2ab2t2若PBAQBA，则kBQkBP0y1y20y1ty2mxBy2ty1mxB0

x1xBx2xB2b2mtmxB22222ty1y2mxBy1y2002btma2bmtmxB0222222abtabta2a2222mtatmtmtxB0xBxAxBma2mm

（2）作P关于x轴的对称点P，由（1）即证。 59.同9。

'2b2tm2a2pb260.设椭圆，0,。

1ecosaccos2b2则ABCDaccosb2b2b23accosaccosaccos22

8ab2a2b2b2b2b2b2 2242accosaccosacsinacsin4abcsin224

2a2b28ab2当时，ABCD有最小值2；当0或时，ABCD有最大值

ab242a2a2b28ab2 22ABCDaba61,62,63为同一类问题，现给出公式：若点P到两定点Am,0，Bm,0的距离之比

PAkk0,k1，PBk212km则P点的轨迹为一个圆，圆心坐标为2。 m,0，圆的半径为2k1k1下三个题的比值k均为

bacm，代入上述公式得：圆心坐标为,0，圆的半径为m。

cbe22261.m=c，圆心坐标为a,0，圆的半径为b。轨迹方程是姊妹圆xayb。

baab62.m=a，圆心坐标为,0，圆的半径为。轨迹方程是姊妹圆xy2。

eeeea2baab63.m=，圆心坐标为2,0，圆的半径为2。轨迹方程是姊妹圆x2y22。

ceeee64.

设

2222Pacos,bsin,Qx,y,Aa,0,A'a,0，由

'APAQA'PAQ0得

a2sinQacos,

bx2b2y2消去参数得Q点的轨迹方程：241

aa65.同37。 66.（1）同35（2）由基本不等式AMA'M'2b，则梯形MAAM面积的最小值为

''12a2b2ab。 2AMBCFMACAMBCAFBCe1 67.设AC交x轴于M，AD⊥l于D。由椭圆第二定义：EMCMADCMADBFADeAC∴AC过EF的中点。

a2b2x2y2a,068.（1）由17可知当椭圆方程为221时，AB过定点2。当椭圆方程变为2abab(xa)2y221 2ab25

a2b2时，椭圆向右平移了a个单位，定点也应向右平移了a个单位，故此时AB过定点2aa,0即2ab2ab2,02 2abab22ab2（2）由69（2）P为原点，即m=n=0时Q点的轨迹方程是x22y22x0。

abab22a2b2x2y2b2a269.（1）由17可知当椭圆方程为221时，AB过定点2ma,222ababab(xa)2y221 为2abn。当椭圆方程变时，椭圆向右平移了a个单位，定点也应向右平移了a个单位，故此时AB过定点

a2b2b2a222maa,22abab2ab2m(a2b2)n(b2a2)n即,22。 22ababx2y2（2）先证椭圆中心在原点的情况。椭圆方程为：221，Px0,y0，AB的斜率为ktan。

aba2b2b2a2b2a2a2b2由17（1）：AB过定点2x,2y，设AB：y22y0kx22x0，PQ：2020ababababyy0两

者

1xx0 k联

立

得

a2k21y02b2kx0b2y0yQ2222222k1abk1abab2，

b21k2x02a2ky0a2x0xQ222 22222abk1abk1abb21k2x0b2x01tan2a2x02a2ky02a2y0tan22则xQ2 22222222222abk1abk1abtan1abtan1ab2222a2y0sincosbx0cossina2y0b2x022sin222cos2 2222ababababa2k21y0a2y0tan21b2y02b2kx02b2x0tanyQ222 22222222222abk1abk1abtan1abtan1ab2222b2x0sincosay0sincosb2x0a2y022sin222cos2 2222abababab26

b2x0a2x0b2y0a2y0b2x0a2y0xQ2ysin2cos2sin2cos2Q22ab2a2b2a2b2a2b2a2b2ab

22b4x0a4y02222ab2222b2a2b2a2y0a4y02ab2224222a2byab0a2b22(xa)2y221时，椭圆向右平移了a个单位，圆心也应向右平移了a个单位，而半径不当椭圆方程变为

a2ba2maab2a2mb2nb2n变。故此时圆心的坐标为即，半径的平方仍为a,2,2222222abababab4222a2byab0a2b22。

∴Q点的轨迹方程为xQabambnyQa2b2a2b2222224222a2byab0a2b22xm且yn。

70.设L:Ax+By+C=0,则d1将

L

代

入

椭

圆

CAcAB方

22,d2得

CAcAB：

22 d1d22C2A2c2A2B2

，

程

Aa2B2b2y22BCb2yb2C2A2a2b204a2b2A2A2a2B2b2C2

0A2a2B2b2C20A2B2b2A2c2C20C2A2c2A2B2b20

d1d2b2 直线L 和椭圆相离，且F1、F2在L同侧。 d1d2b2 直线L和椭圆相切，且F1、F 2

在L 同侧。

d1d2b2 直线L和椭圆相交，或F1、F2在L异侧。

71.

由

35

：

yC111sinsin2bb 1cos,yD1cosyMyCyDb1cosb1cosbsinsinsin

27

yMxayMbsin 由M得xMacos，消去参数得M点的轨迹方程为：2ay2Dx24y221y0 2ab22b2x0a2y0a2b222a2b2b2x0a2y072.由43：PAPBbcosasin2222bcsin222。当0即AB与椭圆长轴平行时，

PAPBmaxPAPBmin22a2b2b2x0a2y0b2；当2即AB与椭圆短轴平行时，

22a2b2b2x0a2y0a2

73.同7。 74.同8。 75.由8可知，F2处的切线长F2Tac2cac，同理可证P在其他位置情况。

76. 如图，由切线长定理PS=PT，PS+PT=PF1+PF2-F1S-F2T= PF1+PF2-F1Q-F2Q= 2a-2c，所以PS=PT=a-c

76图

77图

c2coscxcaM77. 设Pacos,bsin，由79中得到的内点坐标和22中的焦半径公式：e，PF1accosc2cosccxMae PF2accos78.

MN平分F1MF2MF1NF1MF2MF1,同理F2I平分MF2NMF2NF2NF2NF1MIMF2MF1MF22a1 NINF2NF1NF22ce79. 设Pacos,bsin，则F1PF2外角平分线（即切线）l:cossinxy1，由此得外点abaN,0 cos28

c2cossincosc2xysincos0，同理F1PF2内角平分线（即法线）l':由此得内点M,0 baabac2cosaxMxNc2

acosc2cosc2cosa80.由79中得到的内外点坐标可得：ccc，即证。

aacosaac2cos81.由79中得到的内外点坐标可得：ccc，即证。

cosacos82.同5。 83.同5。 84.由5,7即证。 85. 设P

acos,bsin，则F1PF2外角平分线（即切线）l:cossinxy1，abcosb tanasinatanbbcsincsin，b则 由50得：tantancotb2bcsin2b2b2c2sin21c2sin2222222costan21tan1atanb2e2cos2c2sin2 atan1b2cos2tan21b2c2sin2b2c2sin21tan21c2sin21b2e2b2e2sin2a2e2sin2b2e2c2e2sin2cos2ee 222222bcsinbcsincos86.由4即证。 87.同4。 88.由71：yCbb1cos,yD1cos，F1c,0,F2c,0 sinsinCF1F1Dacacb21cos2sinb21cos2sin220 同理：

CF2F2Dacac0

CF1F1D,CF2F2D，即两焦点在以两交点为直径的圆上。

89. 设Pacos,bsin，则l1:ybsin同

理

bbxacosyxbsincos aabl2:a29



ybcossin222acossina21sin2 ∴OMba同

理

22222ONa2cossina21sin2OMONa21sin2a21sin22a2

同理OQORb1sin2b1sin22b

2222290.设Px0,y0，则l1:ybx0y02OMaba222bbbbxy0x0,l2:yxy0x0 aaaa2b2ax0y0bx0ay022bx0ay0 ,ONbbba222222bx0ay0bx0ay02bx0ay0OMON2a2 2bbb同

2bbOQx0y0,ORx0y0aa22理

22：

b22bb22OQORx0y0x0y022x0y02b

aaa222x2y2均推出P点的轨迹方程为221。

ab91.

baPx,y,PMQ//x轴,PNR//y轴M0,y,Nx,0,Qy,y,Rx,x

ab

1a1ay21b1bx21ay2bx2abx2yS1yy,S2xx S1S22b2b2a2a2ba2a2b22ab 222abbx01ay0ab92. 设Px0,y0，则xQy0,yRx0 S1S2 由此得P点的轨迹方程为ba2ba230

x2y21。 a2b231