第三章 矩阵的初等变换与线性方程组习题 含答案

3.4.1 基础练习

1211．已知A011，求R(A).

2513210322．已知B000000110，求R(B). 020003．若矩阵A,B,C满足ABC，则（ ）. (A)R(A)R(B) (B) R(A)R(C)

(C)R(A)R(B) (D) R(A)max{R(B),R(C)}

4234． 设矩阵X满足关系AXA2X，其中A110，求X.

12310115． 设矩阵A210，求(EA).

3256．A是mn矩阵，齐次线性方程组Ax0有非零解的充要条件是 .

%

7．若非齐次线性方程组Axb中方程个数少于未知数个数，那么( ). (A) Axb必有无穷多解； (B) Ax0必有非零解； (C) Ax0仅有零解； (D) Ax0一定无解. 8． 求解线性方程组

x1x2x317x2y3z15（1）2x13x23x33， （2）5x3y2z15

x3x3x210x11y5z36231x1x22x3x40（3）2x1x2x3x40

2x2xx2x02341x12x2x313x2x329．若方程组  x2x3(3)(4)(2)有无穷多解，则 .

TT10．若1(1,0,2),2(0,1,1)都是线性方程组Ax0的解，则A( ).

011201102422

(A)2,1,1 (B) (C) (D)011011001>

3.4.2 提高练习

1．设A为5阶方阵，且R(A)3，则R(A)= .

*21233，以下结论正确的是( ).

42．设矩阵A35a445037a(A)a5时，R(A)2 (B) a0时，R(A)4 (C)a1时，R(A)5 (D) a2时，R(A)1

1023．设A是43矩阵，且R(A)2，而B020，则R(AB) .

1031223，B为3阶非零矩阵，且AB0，则t . 4．设A4t311123k5．设A12k3, 问k为何值，可使

k23（1）R(A)1 （2）R(A)2 （3）R(A)3.

k1A6．设矩阵

11/

111k11，且R(A)3，则k .

1k111k

1337．设A143，试将A表示为初等矩阵的乘积. 1348．设n阶方阵A的个行元素之和均为零，且R(A)n1，则线性方程组Ax0的 通解为 .

a11a12a21a219．设Aa31a32a41a4210P200a13a21a33a43a14a14a21a24，Ba34a34aa4444a13a23a33a43a12a22a32a42a1100a21，P10a311a41001100 010000000010，其中A可逆，则B1 .

10000110．设n阶矩阵A与B等价，则必有（ ）.

（A）当Aa(a0)时，Ba （B）当Aa(a0)时，Ba （C）当A0时，B0 （D）当A0时，B0

abb*11．设Abab，若R(A)1，则必有（ ）.

bba（A）ab或a2b0 （B）ab或a2b0

&

（C）ab或a2b0 （D）ab或a2b0

x1x22x3012．齐次线性方程组x1x2x30的系数矩阵记为A，若存在三阶矩阵B0，使

xxx0312得AB0，则（ ）.

（A）2且B0 （B）2且B0 （C）1且B0 （D）1且B0

13．设A是三阶方阵，将A的第一列与第二列交换得到B，再把B的第二列加到第三列得到C，则满足AQC的可逆矩阵Q为（ ）.

010010010011（A）100 （B）101 （C）100 （D）100

10100101100112314．已知Q24t，P为三阶非零矩阵，且PQ0，则（ ）.

369（A）t6时，R(P)1 （B）t6时，R(P)2 （C）t6时，R(P)1 （D）t6时，R(P)2

x1x2a1xxa23215．若线性方程组有解，则常数a1,a2,a3,a4应满足条件 .

x3x4a3x4x1a4\\

a11x1116．设方程组1a1x21有无穷多个解，则a .

11ax2317．设n阶矩阵A与n维列向量，若ATR(A)，则线性方程组（ ）.

0（A）Ax必有无穷多解 （B）Ax必有唯一解 （C）ATxA仅有零解 （D）0T0yx0必有非零解.

0y18．设A为mn矩阵，B为nm矩阵，则线性方程组(AB)x0（ ）. （A）当nm时仅有零解 （B）当nm时必有非零解 （C）当mn时仅有零解 （D）当mn时必有非零解

(3)x1x22x3019．求的值，使齐次线性方程组 x1(1)x2x30

3(1)xx(3)x0123有非零解，并求出通解.

(2)x12x22x3120．设 2x1(5)x24x32

2x4x(5)x1123~

问为何值时，此方程组有唯一解，无解或无穷多解并在有无穷多解时，求其通解.

x1x2x3x4021．问a,b为何值时，线性方程组 x22x32x41x2(a3)x

32x4b3x12x2x3ax41有唯一解、无解、有无穷多解并求出有无穷多解时的通解.

x1x322．问为何值时，线性方程组4x1x22x32有解，并求通解.

6x1x24x3231223．已知3阶矩阵A的第一行为(a,b,c)，a,b,c不全为零，矩阵B2436k为常数.若AB0，求线性方程组Ax0的通解.

24．设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B. （1）证明B可逆；（2）求AB1.

）

【

36k，

第三章参考答案

3.4.1 基础练习

1．R(A)2． 2．R(B)3． 3．因为R(A)min{R(B),R(C)}故选C．

100386r010296 4．由已知(A2E)XA，因为(A2E,A)00121293861故X(A2E)A296．

212910235．3410,

01． 6．R(A)n． 7．B． 20

4x2x198．（1）无解； （2）y1； （3）x2c,cR．

4z1x339．有无穷多解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且小于未知数的个数 得3。

10．将解向量代入即可，选A． 3.4.2 提高练习

*1. 因为R(A)3，故A0，所以R(A)0．

*233212331201a9 r4522. 由矩阵A35a445037a00153a05a故a5时，R(A)2，所以选（A）．

3. 由于B100，故R(A)R(AB)2． 4. 由于A7(t3)，由已知A0，故t3． 5.

\"

6.

k123k11r0k1k1由A12k3 可知：

k2300(k1)(k2)当k1时，R(A)1；当k2时，R(A)2；当k1且k2时，R(A)3． 7.

k3．

8. 将A通过初等变换化为单位阵，再将每次的初等变换通过初等矩阵的乘积表示

133100100130103010110010010．

A1431341010010010019.

k(1,1,,1),kR。

10. 本题考查初等变换与初等矩阵之间的关系及初等矩阵的性质，由已知BAP2P1， 故B1P1-1P2-1A1P1P2A，选（C）。

11. 选（D）． 11．选（C）． 12．选（C）

13．选（D），本题考查初等矩阵的概念与性质，根据矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系，对题中给出的行（列）变换通过左（右）乘一相应的初等矩阵来实现。对A作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而Q为此两个初等矩阵的乘积。由题意

010100011011BA100，CB011，故CA100AQ，故Q100。

001001001001[

14．选（C）． 15．a1a2a3a40． 16．2． 17．选（D）． 18．选（D）．

1119．当0时， xc11(c1R)；当1时，xc22(c2R)． 11

20．当1,10，方程组有唯一解。当10时，方程组无解,

122当1时，方程组有无穷多解，通解为x0c11c20(c1,c2R)． 001

21．a1时，方程组有唯一解；a1且b1时，方程组无解,

111122a1且b1时，方程组有无穷多解，且解为 c1c2．

0100011122．1时有解，解为1k2．

0123．因为AB0所以R(A)R(B)3。而a,b,c不全为零，R(A)1,

13当k9时，R(B)2，有R(A)1，由AB0可得A20，A60,

3k13则Ax0的通解为c12c26,c1,c2R。

3k24．BE(i,j)A，BA0，即B可逆；AB

1E(i,j)．