广东省佛山市第一中学2019_2020学年高二数学上学期第一次段考(10月)试题

广东省佛山市第一中学2019-2020学年高二数学上学期第一次段考（10月）试

题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.

注意事项:

1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．

2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 如果

A.

，那么下列不等式成立的是（ ）

B.

C.

D.

2. m，n，l为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）

A. ,,则 B. ,,则 C. ,,则 D. ,,则 3. 设Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S1＋3S2－S3＝0，且a1＝1，则a4=( )

A. 9 B. 18 C. 21 D. 27 4. 设α为锐角，若cos

A.

B.

=，则sin

C.

的值为（ ）

D.

5. 已知水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′（斜二测画法）是边长为面积为（ ）

A.

B.

中

C. 与

的交点，则

D.

a的正三角形，则原△ABC的

在该正方体各个面上的射影可能是

6. 如图，P为正方体

（ ）

A.

B. C. D.

7. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、

秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（单位：cm），则该阳马的外接球的体积为（）

1

A. B. C. D.

8. 我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺（注：1丈等于10尺）（ ） A. 29尺 B. 24尺 C. 26尺 D. 30尺

9. △ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果a，b，c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面

积为，那么b等于（ ） A.

B.

C.

D.

10. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种

名为“刍甍”的五面体（如图）：面ABCD为矩形，棱EF∥AB．若此几何体中，AB=4，EF=2，△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为（ ） A. B. C. D.

11. 如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：

①AF⊥GC；②BD与GC成异面直线且夹角为60°； ③BD∥MN；④BG与平面ABCD所成的角为45°． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

12. 如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（ ） A. 是定值

B. 点M在某个球面上运动 C. 存在某个位置,使 D. 存在某个位置,使平面

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.

13. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8=32，则a2+2a5+a6= ______ ． 14. 已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为15. 设x与y均为正数．且16. 棱长为的正方体

的面积是_________________．

三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分10分) 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosA=acosC+ccosA．

+

，则此圆锥的体积为______

．

=1，则x+2y的最小值为______．

中，是棱

的中点，过

作正方体的截面，则截面

2

（1）求角A的大小；

（2）若a=3，△ABC的周长为8，求△ABC的面积．

18. (本小题满分12分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为PA的中点，F为BC的中点，底面ABCD是菱 形，对角线AC，BD交于点O．求证： （1）平面EFO∥平面PCD； （2）平面PAC⊥平面PBD．

．

19.(本小题满分12分)

已知关于x的不等式．

当时，解不等式；

当

时，解不等式．

20.(本题满分12分)

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点． （1）求证：AE⊥B1C；

（2）求异面直线AE与A1C所成的角的大小； （3）若G为C1C中点，求二面角C-AG-E的正切值．

3

21.(本小题满分12分)

为数列的前项和，已知，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）记数列的前项和为，若对于任意的，

恒成立，求实数

的

取值范围．

22.(本小题满分12分)

在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，AB＝AP＝3，AD＝PB＝2，E 为线段AB上一点，且AE︰EB＝7︰2，点F、G分别为线段PA、PD的中点． （1）求证：PE⊥平面ABCD；

（2）若平面EFG将四棱锥P－ABCD分成左右两部分，求这两部分的体积之比．

4

佛山一中2019—2020学年第一学期高二级第一次段考数学答案 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1-5 ADDBD 6-10 CBCBB 11-12 BC 三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分. 13. 16 14. 96π 15. 3+6

16.

三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.解：（1）由正弦定理得：2sinBcosA =sinAcosC +sinCcosA ..........1分 2sinBcosA=sin（A+C）=sin（π-B）=sinB．..........2分

sinB≠0，所以cosA=，..........3分

又A为△ABC的内角•.........4分 A=60°．..........5分

（2）a=3及△ABC的周长为8， b+c=5，..........6分

由余弦定理得a2=b2+c2-2bcosA=（b+c）2-2bc-2bccos60°=（b+c）2

-3bc．

3bc=（b十c）2-a2

=25-9=16， bc=，..........9分

△ABC的面积S=bcsinA=

．..........10分

18. 解：（1）E为PA的中点，O为AC的中点，所以EO∥PC ..........1分 又EO⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，所以EO∥平面PCD ..........2分 同理可证，FO∥平面PCD，..........3分 又EO∩FO=O ,EO、FO面EFO..........5分

平面EFO∥平面PCD．..........6分

（2）PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，PA⊥BD .........7分 底面ABCD是菱形，AC⊥BD，.........8分

又PA∩AC=A ,PA、AC面PAC.........10分

BD⊥平面PAC .........11分

又BD⊂平面PBD，平面PAC⊥平面PBD．.........12分

19. 解：（1）当a=-1时，此不等式为-x2-x+2＜0，可化为x2+x-2＞0， 化简得（x+2）（x-1）＞0，.........2分 解得即{x|x＜-2或x＞1}；.........4分

（2）不等式ax2-（a+2）x+2＜0化为（ax-2）（x-1）＜0，.........5分 当a=0时，x＞1；.........6分

当a＞0时，不等式化为（x-）（x-1）＜0，.........7分

5

若＜1，即a＞2，解不等式得＜x＜1； 若=1，即a=2，解不等式得x∈∅；

若＞1，即0＜a＜2，解不等式得1＜x＜；.........10分

当a＜0时，不等式（x-）（x-1）＞0，解得x＜或x＞1；.........11分

综上所述：当a=0，不等式的解集为{x|x＞1}；当a＜0时，不等式的解集为{x|x＜或x＞1}；

当0＜a＜2时，不等式的解集为{x|1＜x＜}；当a=2时，不等式的解集为∅；

当a＞2时，不等式的解集为{x|＜x＜1}．.........12分

20. 证明：（1）BB1⊥面ABC，AE⊂面ABC，AE⊥BB1,.........1分 由AB=AC，E为BC的中点得到AE⊥BC,.........2分 ∵BC∩BB1=B，BC、BB1面BB1C1C，.........3分

∴AE⊥面BB1C1C， ∴AE⊥B1C；.........4分

解：（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，则AE∥A1E1，

∴∠E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角(或其补角)，.........5分 设AC=AB=AA1=2，则由∠BAC=90°， 可得A1E1=AE=

，A1C=2

，E1C1=EC=BC=

，∴E1C=

=

，

∵在△E1A1C中，cos∠E1A1C==，.........7分

所以异面直线AE与A1C所成的角为；........8分

（3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC， 又∵平面ABC⊥平面ACC1A1,平面ABC平面ACC1A1=AC ∴EP⊥平面ACC1A1，而PQ⊥AG∴EQ⊥AG．

∴∠PQE是二面角C-AG-E的平面角，.......10分 由(2)假设知：EP=1，AP=1，

RtRt，PQ=，

6

故tan∠PQE==，........11分

所以二面角C-AG-E的平面角正切值是.........12分 21. 解：（Ⅰ）由，

可知两式相减得

，.........1分

即，.........3分

∵，∴

，

∵，

∴（舍）或，则是首项为3，公差的等差数列，.........5分

∴

的通项公式为；.........6分

（Ⅱ）∴，.........7分

∴;.........8分

∵，即，

∴，.........10分

又，当且仅当时，等号成立，∴，

∴．.........12分

22. (1)证明：在等腰△APB中，, .........1分

则由余弦定理可得, ∴,.........2分

∴PE2＋BE2＝4＝PB2，∴PE⊥AB，.........3分

7

∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB， ∴PE⊥平面ABCD；.........4分

(2)解：设平面EFG与棱CD交于点N，连接EN，如下图:

∵GF∥AD，∴GF∥平面ABCD，∴可得EN∥AD， 延长FG至点M，使GM＝CF，连接DM，MN，........7分 ∴AFE－DMN为直三棱柱，

∵F到AE的距离为， ∴，

∴，.........9分

∴，.........10分

又，.........11分

∴..........12分

10.【答案】B 解：过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC的中点P，连结PF， 过F作FQ⊥AB，垂足为Q，连结OQ．

∵△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，∴OP=（AB-EF）=1，PF=∴OF=又S△BCF=S△ADE=

==，FQ=

=

，∴S梯形EFBA=S梯形EFCB=

，OQ=BC=1，

=3

，

，S矩形ABCD=4×2=8，

+

+8=8+8

．

∴几何体的表面积S=3故选：B．

8

11.【答案】B 解：将正方体纸盒展开图还原成正方体，

在①中，如图知AF与GC异面垂直，故①正确；

在②中，BD与GC成异面直线，连接EB，ED．则BM∥GC，

在等边△BDM中，BD与BM所成的60°角就是异面直线BD与GC所成的角，故②正确； 在③中，BD与MN异面垂直，故③错误；

在④中，GD⊥平面ABCD，所以在Rt△BDG中，∠GBD是BG与平面ABCD所成的角， Rt△BDG不是等腰直角三角形．所以BG与平面ABCD所成的角不是为45°，故④错误． 故选：B．

12.【答案】C 解：取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE， ∴MB∥平面A1DE，故D正确

由∠A1DE=∠MFB，MF=A1D=定值，FB=DE=定值，

由余弦定理可得MB=MF+FB-2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，故A正确． ∵B是定点，∴M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，故B正确， ∵A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直， ∴存在某个位置，使DE⊥A1C不正确． 故选：C． 15.【答案】3+6-6=3+

16.【答案】 解: 如图:

延长D1M,DA,相交于N,连接NC,交AB于G，

为M是棱AA1的中点,所以M是D1N的中点,A是ND的中点， 以G是NC的中点,也是AB的中点，

因为正方体ABCD-A1B1C1D1是棱长为2的正方体， 以

，

，

因所又所因故

+

解：根据题意，x+2y=（x+2）+2（y+2）-6=[（x+2）+2（y+2）]（≥3+2

=3+6

，即x+2y的最小值为3+6

，故答案为：3+6

+

）．

2

2

2

此等腰梯形MGD1C的面积为. 答案为.

9