ｗｗｗ ｚｈｏｎｇｓｈｔｉｃａｎ．ｅｏｍ锄 ２ｏｌ５年第１２霸ｌ上旬Ｉ 等式与柯西不 艘 综合应用 口 广『＝Ｊ 刘康宁（陕西省西安市铁一中） 均值不等式和柯西不等式是两个著名的不等式， 它们在解决有关数学问题的过程中，各自发挥了重要 的作用。但是，对于一些比较复杂的不等式，如果它 们能够“携手”应对，便可产生更大的威力。本文以近 所以，士＋ ｑ ＋ ｚ ｙｚ ｑ ２：Ｘ ， 当且仅当 — —ｚ＝√３时，上式等号成立。 几年的竞赛题为例，谈谈这两个重要不等式的综合 应用。 为了应用方便起见，我们先将均值不等式和柯西 不等式罗列，如下： 从而， ＋熹＋ ≤ １× 一譬。 故当 一．），一ｚ一 时，而１＋ １ ＋ ｌ＿取得 最大值为 。 例２ （第３６届ＩＭＯ试题）设Ⅱ、ｂ、ｃ为正实数， 且ｎ６ｃ：１。证明： ＋ １ ＋ １．均值不等式：设ａｉ＞Ｏ（ｉ：＝＝１，２，…，竹），则 土 ≥ 了 ， 而ｉ 当且仅当ａ 一ｎ。一·一口 时，等号成立。 ２．柯西不等式：设口 、ｂ ∈Ｒ（ｉ＝＝＝１，２，…， ），则 （口１ｂ１＋口２ｂ２＋…＋ｎ ｂ ）。≤（口 ＋口；＋…＋ｎ：）· ≥导。 说明：在文献Ｅ１］中，笔者利用“一次函数逼近”的 方法证明了此题，下面利用均值不等式和柯西不等式 再给出一种证法。 （６；＋ｂ；＋…＋ｂ：）， 当且仅当口 ＝＝＝ （ｉ一１，２，…， ）时，等号成立。 变式２设口 ∈Ｒ，ｂ ＞０（ ＝Ｉ，２，…， ），则 证明：由ｎ 一１，得 而１ ＋ １ ＋ 十 ａ２＋…＋ ２≥ 芊 ， ｃ３（ｎ＋６） 口（６＋ｃ）‘ｂ（ｃ＋ｎ）。ｃ（ａ＋ ）。 丝 ！＋ ：＋ 当且仅当。 一 （ 一１，２，…，７ｚ）时，等号成立。 例１（《数学教学）｝２０１５年第８期数学问题９５２） 故只需证明： ＋ 置 ＋ ≥导。 ② 设正实数ｚ、Ｙ、 满足 ＋ ＋ｚ—ｘｙｚ求 ＋ ｌ＿ ＋— 的最大值。 由柯西不等式的变形及均值不等式，得 （６ｃ） 。 （ｃｎ） ． （口６） 口（６＋ｃ）‘ｂ（ｃ＋口）’ｃ（ａ＋６） 解：由已知条件，得 Ｖ ＋ ＋ 一１。 Ｖｚ ｚＺ ‘由均值不等式，得 ① （６ｃ＋ｃｎ＋ａｂ）。 而 １（口ｂ＋ｂｃ＋ｃ口） ＋ ＋ ≤ （ ＋去＋去）， 当且仅当ｚ一３，一 时，上式等号成立。 又由柯西不等式及①式，得 ≥告×３ 而一萼。 从而，不等式②成立，故原不等式成立。 例３（２０１２年克罗地亚国家队选拔考试题）设 （ ＋去＋去）。≤（１ ２＋１ ２＋１２）（ ＋ ＋ ）＿３口 Ｘ、Ｙ、ｚ为正实数，且ｚ＋ ＋２—１８ｘｙｚ。证明： ：．—．．一— ———— — —— ——． 一— —————— ——— ！ ———一 ￣／ｘ—Ｚ＋２ｙ—ｚ＇￣ｌ。 千Ｔ’ 玎 中学数学教学参考 ２０１５犀，■１２Ｍ‘．ｋ．ｔａ） ≥１。 证明：由已知及柯西不等式的变形，得 ＋ ｚ＋ｚｚ＝ｘｙｚ（ ＋ ＋ ）≥ （１＋１＋１） ９ １ ｘ＋ｙ—＋ｚ－ｘｙ 一１８ｘｙｚ—２—’ 即２（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）￣ｌ。 ③ 又由③及均值不等式，得 ＋２ｊ， ＋１≤ 。＋２ｊ， ＋２（ ＋ ＋ ）一（ｚ＋ ２ ）（ ＋２ｚ）≤『 ］２一（ ＋３，＋ｚ） 。 秀 ≥ ｖ／ｘ———４—－ ｙ— ＋。—— ｚ——。 同理， ≥赤’—￣／ｚ２ ＋２ｘｙ＋ｌ 例４（２０１３年摩尔多瓦国家集训队试题）设ｚ、 ｚ为正实数，且ｚ＋ ＋ ≥１。证明： ＋ ＋ ≥譬。 证明：由均值不等式，得 ］ｃ ２ －一：ｃ 七ｙ ｙ ≥ ３ · · — 同理，ｚ ＋２ｚ ≥３ｚ 。 两式相加，得２（ｘ ＋３， ＋ ）≥３ （ ＋ ） 所以， ≥ ３ｘ ３，ｔｚ ２（ｚ ＋３，√歹＋ ）。 同理， ≥ 丽３ｙｚ ， ≥ ３ ｚ２丽。 三式相 得 ＋ ＋ ≥ ３（ｚ。＋ ＋ ） ２（ｚ ＋ ４７＋ｚ ）。 故只需证明： ｚ ｑＶｘ Ｙ Ｙ ｚ ～≥去。３ ④ 由柯西不等式及已知，得 （ｚ ＋ ＋ｚ４７） ≤（ｚ。＋ 。＋ 。）（ｚ＋ ＋ ｚ），ｚ＋ ＋２≤（ ＋ ＋ｚ）。≤３（ｚ ＋３， ＋ｚ。）。 锄ｗＷＷ．ｚｈｏｎｇｓｈｕａ；￣ｌｌ ｃｏ１１１ 两式相乘，得（ｚ ＋ ＋ ）。≤３（ｚ ＋ｙ。 ＋ｚ。）。。 所以，ｚ ＋ ＋ｚ ／＾ （ｚ ＋ ＋ ）， ≥去。 从而，不等式④成立，故原不等式成立。 例５（２０１２年土耳其国家队选拔考试题）设ａ、 ６、ｃ为正实数，且ａ６＋６ｃ＋ｃ口≤１。证明：ａ－４－ｂ－４－ｃ＋ｖ／－３ ≥８咖（ ＋南＋南）。 证明：由已知及均值不等式，得 ｎ。＋１≥ｎ。＋ａｂ－｝＂ｂｃ＋ｃｎ≥４ 而一 ４ａ 。 所以，２ ｖ ／ｂ…Ｔ＞￣８ ａｂｃ 十ｎ同时，２ ，２ 。 三式相加，得２（ ＋￣／ ＋￣／ ）≥ ８ （ ＋ ＋南）。 故只需证明：ｎ＋ｂ＋ｃ＋ ≥２（￣／ ＋ｊ－ｆ＋ ￣／ ）。 ⑤ 由柯西不等式及已知，得 （￣／ ＋￣／ ＋ ）。≤（１。＋１ ＋１。）（ａｂ＋ｂｃ＋ ｆｎ）≤３。 所以， 河＋ ＋ 。 ⑥ 又由均值不等式（或柯西不等式），得 口＋６＋ｃ≥ ＋，／－５７＋￣／ 。 ⑦ 由⑥、⑦得口＋ｂ＋ｃ＋√ ≥２（，／７＋．／－ｇｇ＋ ￣／ ）。 即不等式⑤成立，故原不等式成立。 例６设ｚ、儿ｚ为正实数，且 ＋ ＋ 一１。 证明： ＋ ＋ 。 ｚ 十ｚ Ｙ ｚ十ｚ ｚ ｚ十 证明：所证不等式等价于 ＋焘＋南） 焘＋南ＹＺ Ｚ 、 Ｊ 。 由柯西不等式的变形及已知，得 ＷＷＷ＋ｚｈｏｎｇｓｈｕｃａｎ ｃｏｒｎ盛 焘＋ ｙ＋焘 ≥ 譬 １ 历＋ｖ／７＋７＋￣／—ｘ＋—ｙ’ 型 Ｚ Ｉ Ｖ Ｉ２ ≥ （＼ ＋ ＋ ＋ＪＴ－＋Ｓ＋，－－、研。 两式相加，得 ＋志＋志）＋ｆ熹＋ 丽Ｙ＋焘ＹＺ １＋（√ ｙｚＴ，＼／ ｚｘ＋√ ） ＋ ＋，／７Ｗ７。 故只需证明：１＋（√警＋√ 十√ ） ≥ · （ ＋～ ＋ｖ／７４ｙ）。 由均值不等式，得 ＋（ ＋ ＋ ）。≥２（ ＋ ＋ ）。 故只需证明：２（√警＋√等＋√ ）≥√ · （ ＋￣／ ＋ 而）。 ⑧ 又由均值不等式，得 √ ＋（ １√等＋ １√ ）≥２· 一 ．￣／一ｙ＋ｚ。 ‘同理，√等＋（ １√ ＋丢√警）≥ · 历，√ ＋（ １ ｙｚＴ， １，＼／￣ ＼／≥ ·ｖ／７￣ｙ’。 三式相加，得２（√ ＋＾ｖ ／ｙ＋√ ）≥ ‘ （ ＋腼＋ ）。 从而，不等式⑧成立，故原不等式成立。 例７设ｚ、儿 为正实数，求 一 警 ２０１５年第１２期（上甸Ｊ ＋ 再ｙ 。（ ＋ ）（ ３Ｚ ＋４Ｘ ３ ｚ ）。 ’＋ 青 （ （ ＋ ） ｚｘＬ＋）。 ＭＹｉＪ＇最 ｙ 取 大值。 解：注意到，ｚ ＋Ｙ ≥ｚ。Ｙ＋ｘｙ。一ｘｙ（ ＋Ｙ ）， 由均值不等式，得 （ｚ ＋ ）（ｘｙ＋ｚ。）。≥ｘｙ（ｘ ＋ ）（ｘｙ＋ｚ ） （ｘｙ ＋ ）≥ｚ （ｚ ＋ ）·４ｘｙｚ ·（ｚ ＋ ）：＝＝４ｘ。Ｙ · （ 。ｙ＋ｘｙ。＋Ｙ ＋ｚ ）≥４ｘ ｚ （２ｘ ｙ ＋．ｙ ＋ 。）。 所以， ｘ ３ｙ４ ｚ ３ ｘｙｚ丽ｚ。 同理， ｙａ ｚ４ｘ ａ ｙｚ￣两ｘ， Ｚ３ 。 ／ ｚ ２Ｙ （ ＋ｚ ）（ｚ ＋ｙ２）。 ４（２ｚ ｚ ＋ｚ ｖ。＋ｖ。 ）。 三式相加，得ｐ≤ １（ Ｆ．７ｃ ｙ２ ｚ干 ＋ ｙｚ ｚ ｌ ｚ ｖ 、 ２ ＋ 。ｚ ＋ｚ Ｙ。’２ｚ ＋ 。 ＋ ２ ／。 令ｎ—ｘｙ，ｂ—ｙｚ，ｃ— ｚ，ｎ＞０，ｂ＞０，ｃ＞０，则 ≤ １ （ ａ丽ｂ ＋ 『二Ｆ而ｂｃ ＋ ＣＧ 、 ２ｃ ＋ｎ ＋ｂ ，。 不妨设口≥６≥ｃ，则口６≥ｃｎ≥６ｆ， ≤ ≤ 。 由排序不等式，得 ２口 十６ ＋ｃ。ａｂ ‘＋ ２６ ＋ｃｂｃ ＋口。 。＋ ２ ｃ ＋口。＋ ｃａ葡ｂ２≤ ｎ０ ｌＯｃ ｌ２ｆ ＋ｎ ＋６ 。２口 ＋６ 斗一ｃ。。 ２ｂ ＋ｃ ＋ａ 。 所以，ｐ≤ １（ ａｂ丽十 ｂｃ雨＋ ＣＯ． 、 ２６０＋ｃ ＋ｎ ／。 由均值不等式，得 ａｂ丽≤ ）’２ａ ＋ｂ。＋ｃ ≤ （６＋ｃ） Ｃａ ４（２ａ ＋ｂ ＋Ｃ ）’２ｂ。＋ｃ。＋口 ≤ 菩 。 所以， ≤ ［ ＋ ＋ （ｆ＋ｎ）。 ］ ２６ ＋ｃ。＋口。＿Ｊ。 又由柯西不等式的变形，得 ｗｗｗ．ｚｈｏｎｇｓｈｕｅａｎ ｃｏｍ １０１５年第１２期（上 酋Ｉ） （ｎ＋６） ａ ｌｂ。 （６＋ｃ） ／ ２Ｃ＋ａ—２＋ｂｚ 干 十—ｃＺ＋—ｂｚ’—２ａｚ＋ｂ—２＋ｃｚ 答粟与提不 １．因为（ 可＋ ￣／ ） ≤（ｚ ＋ ）Ｅ（１ 而ｂ２＋ ｎ ＋６ 。ｎ０＋ｆ ，’ ＋ｃ２ｂ ＋以 ６≤南＋ ＋ｃ 。 ｂ 。＋０ 。 三式相加，得 ＋ ＋ ｚ）＋（１一 ｚ）］≤［ ± ］ 一１， 所以当 ≥０， ≥０且 。＋ 一１时，所求最大值 为１。 嘉等 ≤３。 ２．ｒ １ ＋ ＃ ＋ｒ １ ≥ｒＦ １ ＋ 于是， ≤素。 当且仅当ａ一６一ｃ，即ｘ：ｙ：ｚ时，以上各式等号 均成立。 故Ｐｍａｘ－－ 。 说明：以上解答除了多次用到均值不等式和柯西 不等式外，还应用了排序不等式，因此，这是一道高难 度的竞赛题。 思考题 １．设 、 为实数，求ｚ ＋ 再的最 大值。 ２．设ａ、ｂ、ｃ为正实数，且ａ。＋ｂ。＋Ｃ 一３。求证： ］＋２ ａｂｅ－ｌ ｌ￣ｃ－ｉ 。－ ＿啊≥１。多 。 ３．设ｄ、６、ｃ为实数，且ｎ ＋２ｂ ＋３Ｃ２一 ３求证： ３一。＋９ ＋２７ ≥１。 ４．（２０１１年浙江省高中数学预赛题）设ｎ、ｂ、Ｃ为 正实数，且 ＋√ ＋√ 一３。求证： ＋ ｂ而＋ｃ ＋ ≥号。 ５．（２０１１年克罗地亚国家队选拔考试题）设口、ｂ、 ｃ为正实数，且ｎ＋６＋ｃ一３。证明： ＋ ＋ ≥号。 ６．对满足１≤ｒ≤ｓ≤ｔ的一切实数ｒ、Ｓ、ｔ，求 一（ｒ １）。＋（ 一１）。＋（÷一１） ＋（÷一１）。的最小值。 ７．设ａ、ｂ、Ｃ为正实数，且ａｂ＋ｂｃ＠ｃａ一１。证明： ｖ／“ ＋１ ￣／６ ＋１ ￣／＋车氅＋ ＋１ 。 。 ８．设ｎ、６、ｃ为正实数，且ｎ６ｃ一１。求证：√ ＋ ＋√南≤号。 ＋ ≥再 一 。 ３．因为（ｎ＋２ｂ＋３ｃ）。≤［１ ＋（ ） ＋（ ）。］· ［ｎ ＋（ ６） ＋（ ｃ）。］一９，所以ａ＋２ｂ＋３ｃ≤３。故 ３一。＋９一 ＋２７～ｃ一３一。＋３ ２ｂ＋３—３ｃ≥３ 丽≥ ３ 一１。 ４．因为 ＋ ｂ丽＋ｃ ＋ ｃ ＋ａ ≥ ± ６ ２＋（ ｂｎ＋＋ｃ主 ） ，”所以只需证： ” ～一一一 ’（ 再 ＋ ＋ 再 ）ｚ≥９＋３（ｎ＋ｂ＋ｃ）。又（ ＋ ￣／雨＋￣７－４－ｇ） 一２（口＋６＋ｆ）＋２［￣／ 干 ＋、 Ｆ ＋、 而］一２（ａ＋ｂ＋ｃ） ＋２［￣／ Ｆ ＋￣／ Ｆ ＋ 、 ］≥２（ｎ＋ｂ＋Ｃ）＋２· （ ＿＿ ＋ ＋ ａ ＋２ａ ＋６ｃ）一２（ｎ＋６＋ｃ）＋２［（６＋￣／ ）＋（ｃ ＋、／／ ）＋（ｎ＋￣／ ）］一３（ａ＋６＋ｃ）＋（４－２＋√ ＋√ ）。 一３（ｎ＋ｂ＋ｃ）＋９，故原不等式成立。 ５． ＋ ＋ ≥ ａ。（ｎ＋。ｂ ）辛 ＋。ｂ 车 （６＋ｃ ）＋ｃ。（ｆ＋Ⅱ。），故只需证：’ 。 ‘ 口。干 十。ｂ ４－ 。 Ｃ ａ ｂ ｂ＋。 ＋ ｆ≥ Ｃ ＋。 ≥三口 ；， ’２， 这等价于ｎ… “ … ＋６ ＋ｃ ＋口 ｂ ＋ｂ Ｃ ＋Ｃ ａ ≥口。６＋ｂ。ｃ＋Ｃ３ａ＋ａｂ。＋ 。＋ ｃａ。又ａ ＋ａ ｂ ≥２ａ。ｂ，ｂ ＋ｂ ｃ。≥２ｂ。ｃ， ＋Ｃ ａ。≥ ２ｃ。ａ，ａ ＋ｃ。ａ ≥２ｃａ ，ｂ ＋ａ ｂ。≥２ａｂ。，ｃ ＋ｂ Ｃ ≥ ２ｂｃ。，以上六式相加即可得证。 ６．ｗ≥丢［（ｒ一１）＋（ 一１）＋（ Ｓ一１）＋（了４一 ）］。一丢（ｒ＋軎＋÷＋÷一４）。。又ｒ＋ ＋÷＋÷ ≥４√ｒ· ·ｔｓ·４ ＝４ ｖ￣，故∞≥｛（４ 一４） ｗＷｗ．ｚｈｏｎｇｓｔｍｃａｎ．ｃｏｎｌ 中学数学教学参考 ２０１５年第１２期（上匍） 纲扣本，突出四基， 研磨创新，反思提升 胡启山（福建省晋江市南侨中学） ２０１５年５月中旬，笔者主持并参与了南侨中学 卷）说明》对于圆锥曲线与方程的要求是：了解圆锥曲 与泉州地区其他四所兄弟学校“五校联合高考模拟试 线的实际背景；掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程 题最后一卷”的命题工作。本次命题工作笔者的任务 及简单性质（范围、对称性、顶点、离心率）；掌握直线 是命制一道圆锥曲线的解答题。笔者在此与大家分 享一些自己的收获。 与圆锥曲线的位置关系；理解数形结合的思想。 ２．２近几年高考数学福建卷圆锥曲线部分试题简析 Ｉ命题背景分析 考查的核心内容是直线与圆锥曲线。从考查的 １．１模拟考试背景 方法上来讲，主要是用代数方法研究几何问题。关注 本次模拟考试是在经历了省、市统一质量检查之 数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想 后，学生两次考试的成绩均不理想，自信心有些挫败。 的考查，另外关注对整体问题处理的策略。 基于这样的情况，命题组提出如下三个基调：通过本 次考试提升学生参加高考的自信心；检测出学生真实 ３试题要求与构思 存在的问题；为冲刺复习中“突出阅读，规范表达”教 ３．１试题命制要求 学提供参考。 Ｉ．２学生学习背景 考查椭圆标准方程、焦点、顶点、离心率等基本内 本次参加考试的学生学业水平处于本地区中等 容及基本性质，重点考查直线与椭圆的位置关系。考 水平，学生思维能力一般，分析问题的能力、运算能力 查数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思 等相对较弱。 想。关注与向量的交汇及曲线综合性问题的探究。 ２构思准备 ３．２试题雏形蓝本 ２ ２．１考试说明要求 经过椭圆等＋ｙ 一１的左焦点Ｆ 作倾斜角为 厶 ２０１５年《普通高等学校招生全国统一考试（福建 ６０。的直线ｚ，直线ｚ与椭圆相交于Ａ、Ｂ两点，求ＡＢ ＋“＋一＋“＋ｎ＋ ＋”＋”十一＋”— 一 ＝＝＝４（ 一１）ｚ。 ，／３（ａｂ－－４６ｆ－－４ｃａ）一√３，得证。 ７．些￣／ ４－１ ￣／ｎ。＋ａｂ＋ｂｃ－＋— 一：－４∞ ２￣／（口＋６）（＆－一— －４一 ｆ） ８．（√ ａ十－３￣ ６ 十ｂ－－３ 。 ｃ ） ≤３（ ＋ ≥ 干 ，同理可得另两个不等式。故只需 ＋ ｃ），故只 ＋ ＋南≤ ３址： 干万二Ｆ＿ 十 干＿＿ 而 十 ４。 又 ｎ。十 ３一 干 口。＋１ １－＋ ４－ｌ ３ｎ＋ ≤ １，同理可得另两 ’ 矸 ≥ 。又 ＋ 个不等式，故只需证： ＋ ＋ ≤ 。这 个不等式等价于３（ａｂ－－４ｂｃ－－４ｃａ）－－４５（口－－４６＋ｃ）≥２４。 （ｃ＋口）。 。 （ｎ＋６） 、 （６＋ｃ）＋（６＋口） ’ （ｃ＋“）＋（ｆ＋６） ／， 又３（ｎｂ￣ｂｃ－４－ｃａ）－－４５（ａ－４－ ＋ｃ）≥３×３ －４－５ 蔓２ Ｉ（６ ｆ４－ ）（４－ ｃ吉 ＋）ａ －＋（ｎ ６－４）ｌ…。一“＋扫＋ｃ” ”，故只需证ｎ ～ ×３ 一２４，故原不等式成立。 参考文献： ｒ１］刘康宁．利用“一次函数滔近”证明一一类不等式ｒＪ７．中学 十ｂ－－４Ｃ≥√３。又＆＋ｂ＋ｃ一√（ｎ－－４ｂ－－４ｃ）。≥ 数学教学参考：上旬，２０１５（１０）：６４—６８
