解三角形 面积公式 学生版

一、基础知识

1.三角形自身特征

（1）三角形内角和等于，内角和不会超过；

A+B+C=π sinA=sin(B+C) cosA=−cos(B+C) tanA=−tan(B+C)tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

（2）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （3）大边对大角，小边对小角；

（4）三角形中只有一个钝角，只要存在一个钝角即可说明是钝角三角形，要说明是锐角三角形必须三个角都小于2.正弦定理：

abc===2R (其中R为三角形外接圆半径) sinAsinBsinC； 2正弦定理的变形：

（1）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC （2）a:b:c=sinA:sinB:sinC （3）等比：

abca+ba+b+c==== sinAsinBsinCsinA+sinBsinA+sinB+sinC（4）A＞B＞Ca＞b＞csinA＞sinB＞sinC 反推也可以 3.射影定理

a=bcosC+ccosB，b=acosC+ccosA，c=bcosA+acosB

4.余弦定理

b2+c2−a22 a=b2+c2−2bccosA cosA=2bca2+c2−b22 b=a2+c2−2accosB cosB=2aca2+b2−c22 c=a2+b2−2abcosC cosC=2ab5. 面积公式 （1）面积公式：SABC=12absinC=12acsinB=12bcsinA

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（2）S=a2sinBsinC2sinA=b2sinAsinC2sinB=c2sinAsinB2sinC=abc4R

（3）海式

S=（pp-a）(p−b（)p−c）,p=（4）向量法面积

a+b+c 21S=2(ab)1222（其中ab为边a,b所构成的向量，方向任意） −（ab）坐标表示：a=(x1,y1) ，b=(x2,y2)，S=1x1y2−x2y1 2r，r为内切圆半径 （5）S=（a+b+c）6. 三角形解的个数

在△ABC 中，已知a,b 和A 时，三角形解的情况如下：

A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的 个数 a＝bsin A bsin A < a < b Ab 一解 A > b 一解 两解 一解 7.三角形角平分线性质 在△ABC中AD 为角平分线则

ABAC= BDCDABAC= BDCD证明以C 为圆心截取CE=CD，则△ABD∽△ACE，因此8.中线长定理

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三角形中线长定理：如图设AD 为△ABC一条中线，则AB2+AC2=2(AD2+BD2)

第三节 面积公式

二、课堂练习

例1．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB=4asinBsinC，

b2+c2−a2=8，则ABC的面积为 ．

变式1．已知在ABC中，B=30，b=6，c=63，求a及ABC的面积S．

csinB变式2．已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，+=−1．

b−asinC+sinA（1）求A的大小；

（2）若a=413,c=12，求ABC的面积S．

例2．在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b， （1）求角A的大小，

（2）若a=6，b+c=8，求ABC的面积．

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变式1．在ABC中，AC=1,BC=7． （1）若A=150，求cosB；

（2）D为AB边上一点，且BD=2AD=2CD，求ABC的面积．

例3．已知：函数f(x)=23sin2x+4cos2x−3． （1）求函数f(x)的最大值及此时x的值；

（2）在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且对f(x)定义域中的任意的x都有f(x)f（A）．若a=2,c=3b，求ABC的面积．

变式1．已知函数f(x)=23sinxcosx+3sin2x+cos2x−2，xR； （1）求函数f(x)在(0,)上的单调递增区间；

（2）在ABC中，内角A、B、C所对边的长分别是a，b，c，若f（A）=2，C=c=2，求ABC的面积SABC的值；

4．，

4

三、课后练习

1．在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A−3cos(B+C)=1．

(I)求角A的大小；

(II)若ABC的面积S=53，b=5，求sinBsinC的值．

2．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S是ABC的面积，bcosC+ccosB=2acosB

（Ⅰ）求B的值

（Ⅱ）设a=8，S=103，求b的值．

3．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinB−asinA=3acosA−3bcosB，ab．

（1）求角C；

（2）若c=22，ABC的中线CD=2，求ABC的面积．

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4．在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2b−c=2acosC． （1）求角A；

（2）若2(b+c)=3bc，a=3，求ABC的面积S．

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