， 々 ２０１３年８月 Ｕｎｉｖｅ￣ｉｔｙ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ 大学数学案例教学研究与应用 黄敢基王中兴刘新和 ５３０００４） （广西大学数学与信息科学学院，广西 南宁［摘要］大学数学其主要包括高等数学、概率论与数理统计和线性代数三门课程。案例教学法模式能很好地把理论学习与实 践应用相结合。大学数学应用案例教学有助于培养学生的学习兴趣，活跃课堂气氛，有助于实现教学相长。实施案例教学中需合理 选择案例，遵循可行性原则、针对性原则和趣味性原则。教师的主导作用在于做好课前准备、课中引导、课后总结工作案例教学方法 应与多种教学方式相结合。 ［关键词］大学数学案例 案例教学 ［文献标识码］ Ａ ［文章编号］ ２０９５—３４３７（２０１３）１５—０１０２—０３ ［中图分类号］ Ｇ６４２．０ 一、引言 在不同的表述。一般认为，案例教学是围绕教学目标，在 教师的指导下，让学生对呈现的典型案例进行讨论分 析、归纳总结，从而培养其思维能力的一种新型教学方 法。ｉｌｌ由于案例教学以案例为基本教学材料，将学生引入 理论与实践相结合的情境中，使学生在对话、交流和讨 论中加深对课程基本理论、概念和方法的理解和掌握， 大学数学是高校理工农类、经管类等专业必修的公 共基础课程，其主要包括高等数学、概率论与数理统计 和线性代数三门课程。大学数学的理论和方法是高校许 多学科各专业后续专业课程学习的基础，有助于学生数 学素养的养成及提高运用数学思想和方法解决实际问 题的能力。然而，由于大学数学内容丰富、抽象，逻辑推 理性较强，一直被许多学生认为是枯燥乏味、比较困难 的课程，学生上课兴趣普遍不高、考试通过率低。因此， 如何结合课程和专业特点，科学合理地设计教学方式、 因此，案例教学对于培养学生自主学习能力、创新精神、 团队协作精神及提高发现问题、分析问题和解决问题能 力等多方面具有重要的意义。 三、大学数学课程应用案例教学的可行性 方法，有效开展教与学的双边活动，提高课堂效率，是广 大从事大学数学教学的教师应该关注和研究的问题。 案例是案例教学中的一个重要的要素，［２１而来源于 现实生活中出现的实际情况与具体问题的真实案例更 本文结合大学数学理论和方法具有较强应用性的 特点，结合教学实践，研究案例教学在大学数学课程教 学中的应用问题，以期通过科学设计教学环节、合理运 用案例教学，把大学数学抽象的理论知识与实际问题联 能引起学生的关注和参与，也有助于案例教学活动实现 最佳的教学效果。大学数学的三门公共基础课的理论和 方法在实际中都具有广泛应用。首先，在高等数学中，对 函数各种性态的研究方法和结果可用于解决实际生活、 系起来，培养学生的学习兴趣，使学生不仅乐于学，而且 感觉学有所用，从而提高教学效果。 二、案例教学的定义 生产活动中诸如求最优值、平面图形面积、变力做功及 相对或绝对变化率等相关的问题。其次，由于现实世界 中普遍存在着各种不确定性和随机性，故概率论与数理 统计的理论与方法在生物、医学、金融以及管理决策等 多个领域都有着广泛的应用。法国数学家拉普拉斯就曾 说过：生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只 是概率的问题。另外，随着电子计算机技术的快速发展 和普及，线性代数作为一种解决离散变量的线性关系问 案例教学法是由美国哈佛法学院前院长克里斯托 弗・各伦斯布斯・兰德尔在１８７０年提出的一种全新的教 学方法，由于该教学模式能很好地把理论学习与实践应 用相结合，故自其出现之后，案例教学方法便迅速在世 界各地得到了广泛的发展和应用。与此同时，对案例教 学的定义也由于各种不同的认知观点和理论基础而存 题的重要的计算和分析工具也已在控制与决策、经济管 ［收稿时间］２０１３—０４—１３ ［基金项目］新世纪广西高等教育教学改革工程项目（２０１１ＪＧＡ００１）；新世纪广西大学高等教育教学改革工程项目《加强学生概 率论与数理统计应用能力研究与实践》。 ［作者简介］黄敢基（１９７２一），男，广西钦州人，广西大学数学与信息科学学院副教授，硕士，研究方向：概率统计、系统控制。王中 兴（１９６２一），男，广西钦州人，广西大学数学与信息科学学院教授，硕士生导师。刘新和（１９６９一），男，湖南湘乡人，广西大学数学与信 息科学学院教授，硕士生导师。 １０２ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ …………………………………………………一……………………………… 理等领域得到广泛的应用。因而，大学数学在实际中的 表一后代基 基因型概率矩阵 父体一母体的基因对 广泛应用实例为开展案例教学提供了必要的可行性。 四、实施案例教学中需注意的几个问题 （一）合理选择案例 因对 ＡＡ—ＡＡ ＡＡ—Ａａ ＡＡ－ａａ Ａａ—Ａａ Ａａ－ａａ ＡＡ Ａａ １ ０ １／２ １／２ Ｏ １ １，４ １，２ Ｏ １／２ Ｏ Ｏ 案例是案例教学的主要内容，在整个课程教学中发 挥着至关重要的作用，案例选取的好坏直接影响到案例 教学的效果。下面结合作者本人的教学实践，给出大学 数学课程案例选择的几个参考原则。 １．可行性原则 可行性是指所选案例要有真实感，同时能让学生用 当前所学知识理解和分析案例。案例最好来源来实际的 Ｏ ０ Ｏ １／４ ｌ，２ １ 上述两个案例都可以归结为用《线性代数》矩阵对 角化的方法结合极限方法求解。口怛两个案例的应用背 景不同，一个是人口问题，另一个则为生物育种问题。故 在案例教学中，对于经管类专业可以选取案例２进行讨 论分析，而对于农林类和生科类的学生，则选取案例３ 较为适宜。 工作或生活问题且难度适当，不切实际或难度太大的案 例都会让学生失去讨论和分析的兴趣。例如在讲概率论 与数理统计时，可选取如下在日常生活中常见的抽签问 题作为案例。 案例１一场精彩的足球比赛将要举行，５个球迷好 不容易才弄到一张球票，由于大家都很想去看球，只好 用抽签的方法来决定，试问后面抽签的比先抽签的吃亏 吗？ 这是一个很简单的案例，学生可先通过直观的认知 感觉对结果进行讨论，在教师的引导下，相信多数的学 生很快就会发现该问题实质上等价于用乘法公式计算 每个人抽中球票的概率。并通过分析计算得到结论：每 个人抽中球票的概率是一样的，即抽签不必争先恐后。 ２．针对性原则 案例应尽可能根据本专业特点来选择。通过案例教 学，让学生认识到数学理论和方法在本专业中的具体应 用，明确为何学数学的问题，进而增强学习数学的主动 性和积极性。如在讲《线性代数》中相似矩阵及矩阵对角 化的知识点时，可考虑如下的两个案例。 案例２有甲、乙两个地区，假设甲地每年有３０％的 人迁入乙地，乙地每年有２０％的人迁入甲地，设甲地人 口６０万。乙地人口４０万，且两地区总人口保持不变。问 ５年后甲地及乙地人口分别是多少？经过很长时间后， 两地人口的分布是否会趋于一个“稳定状态”？ 案例３设某个农业研究所植物园中某植物的基因 型为ＡＡ，Ａａ和ａａ．常染色体遗传的规律是：后代是从每 个亲体的基因对中继承一个基因，形成自己的基因对。 如果考虑的遗传特征是由两个基因Ａ，ａ控制的，那末就 有三种基因对，记为ＡＡ，Ａａ，ａａ．研究所计划采用ＡＡ型 的植物与每一种基因型植物相结合的方案培育植物后 代。另设双亲体结合形成后代的基因型概率如表一所 示，问经过若干年后，这种植物的任意一代的三种基因 型分布如何？ ３．趣味性原则 兴趣是最好的老师，一个生动、有趣的案例会引起 学生极大的兴趣，从而积极主动地参与到案例的讨论和 分析中。例如讲授《高等数学》差分方程的内容时，可以 选择以下案例。 案例４［４１设某人目前体重１００ｋｇ，如果每周吸收 ２００００ｋｅａｌ的热量，则体重维持不变，现欲通过控制饮食 和增加运动减肥至７５ｋｇ．考虑以下的塑身计划问题。 （ａ）如果在不运动的情况下分两阶段进行塑身。第 一阶段：每周减肥ｌｋｇ，每周吸收热量逐渐减少，直至达 到下限（１００００ｋｃａ１）．第二阶段：每周吸收热量保持下限， 直至达到减肥目标。则第一阶段每周应吸收多少热量？ 第一和第二阶段各需多少周？ （ｂ）如果在第二阶段增加运动以加快塑身计划进 程，试就表二给的数据安排计划。 （ｅ）给出达到目标后维持体重的方案。 表二每小时每千克体重消耗的热量（ｋｃａ１） 跑步 跳舞ｌ 乒乓 ｌ自行车（ｅｅ１）ｌ游泳（５０米，秒） ７．０ ３．０ ｌ ４．４ ｌ ２．５ Ｉ ７．９ 该案例可以通过求解一阶非齐次差分方程得到塑 身计划方案。由于减肥问题是日常生活中喜闻乐见的问 题，故该案例能吸引学生浓厚的兴趣，在对问题的探究 求解过程中也必将加深对所学数学内容的理解和掌握。 （二）发挥好教师的主导作用 案例教学强调以学生为参与的主体，教师为主导， 主导服务于主体。虽然教师不再是讲授的主要角色，但 发挥好教师的主导作用是案例教学成功的重要保证。这 需要求其做好以下几方面的工作。 １．课前准备。首先，任课教师需根据授课内容在课前 确定所用案例，教师可以从已有的案例库中选取，也可 以安排学生课前分组通过网络、报刊、杂志等渠道搜集 他们感兴趣的案例。其次，确定案例后，教师需充分熟悉 案例及蕴涵在案例中的理论方法，并对案例教学过程中 （下转第１０８页） １０３ ， 菊 假设，并针对不同情况建立ＳＩＳ模型和ＳＩＲ模型，这两个 模型描述了传播过程、分析感染人数的变化规律，预测 传染病高潮到来时刻，度量传染病蔓延的程度并探索制 止蔓延的手段，是比较成功的模型。如正规战与游击战： 在第一次世界大战期问，Ｆ．Ｗ．Ｌａｎｃｈｅｓｔｅｒ提出了几个预 ［ 参考文献 ］ ［１］ 李大潜．中国大学生数学建模竞赛［Ｍ］．北京：高等教育出 版社．２００８． 测战争结局的简单数学模型，其中有描述传统的正规战 争的，也有考虑稍微复杂的游击战争的，以及双方分别 使用正规和游击的混合战争的。后来对这些模 型进行进一步的改进和完善，用以分析一些著名的战 争。Ｊ．Ｈ．Ｅｎｇｅｌ用二次大战末期美Ｅｔ硫磺岛战役中的美军 战地记录，对正规战争模型进行了验证，发现模型结果 ［２］姜启源，谢金星，叶俊．数学模型（第三版）［Ｍ］．北京：高 等教育出版社，２００３． ［３］毕晓华，许钧．将数学建模思想融入应用型本科数学教学 初探［ＪＪ．教育与职业，２０１１，（９）：１１３—１１４． ［４］ 李大潜．将数学建模思想融入数学类主干课程［Ｊ］．中国大 学教学，２００６，（１）：９－１１． ［５］唐红兵．浅谈《概率论》教学中如何融入数学建模［Ｊ］．黑 与实际数据吻合得很好。 ５．在考核中适当渗透数学建模思想 在传统的数学专业课程考核中，教师大都采用一套 试卷来进行测试，试题的题型是固定的，内容是例题的 翻版。这种考核方式根本不能看出学生对知识掌握的程 度。因此，教师有必要在考核中适当引入一些数学建模 问题；或者在考核中引人一些趣味游戏，由学生或 龙江生态工程职业学院学报，２０１０，２３（４）：１０１—１０２． ［６］林远华，卢钰松．关于数学分析课程渗透数学建模思想的 思考［Ｊ］．科教文汇（下旬刊），２０１１，（４）：７２—７３． ［７］ 商秀印，顾志华．将数学建模思想融入大学数学课堂［Ｊ］． 长春理工大学学报，２０１０，５（６）：１６４—１６５． ［８］ 刘振云．将数学建模思想融入高职数学教学初探［Ｊ］．高等 职业教育（天津职业大学学报），２００７，１６（６）：５３—５５． 组队去完成问题，记录成绩，把这作为学生平时成绩的 一［９］王汝发．数学教学中融入数学文化与数学建模思想之探 索［Ｊ］．教育文化论坛，２０１１，（４）：９０—９３． 个方面。通过这种做法，学生体会到数学与实际确实 是不可分开的，数学来源于实际，同时也体会到团队合 作的重要性，从而获得除数学知识本身以外的素质与能力。 （上接第１０３页） ［责任编辑：陈明］ 要因素。另外，案例教学也存在传授知识缺乏系统性及 教学复杂、耗时等不足。因而，案例教学应与多种教学方 式、方法相结合，才能发挥其最大的作用。 五、结束语 数学是一门理论与实践并重的科学，随着社会的发 可能出现的各种情景预先做出估计和分析，并制定相应 的应对措施。 ２．课中引导。教师作为案例教学的主持人，在积极引 导学生发言和讨论的同时，需根据所授内容的难易以及 学生的现场反应，把握好节奏和尺度，调动和营造良好 的课堂气氛，使学生的主体性得以充分的发挥，实现最 佳的教学效果。 ３．课后总结。案例教学结束后，教师要及时进行总 结。一方面，对学生在案例讨论分析中的表现进行点评， 如对学生在分析解决问题中呈现出的创造性思维给予 表扬，而对于某些不足之处则加以指正和鼓励。同时，教 师应引导学生归纳和整理案例教学中所用到的知识和 方法，使知识系统化。另一方面，教师也要根据案例教学 的实践情况，对案例选择、教学方法、组织方式等方面进 展进步，数学与其他学科的交叉融合不断得到加强和发 展。时代的发展要求学生不但要学会数学的基本理论和 方法，更重要的是学会将其灵活运用。案例教学法作为 理论联系实际的桥梁，虽然其也存在一定的不足，但通 过教学实践表明，在大学数学课程中引人案例教学，对 培养学生学习数学的兴趣、提升教学效果、完善数学课 程建设及实现学生的素质教育等多方面都有着积极的 作用 ［参考文献 ］ 行总结，不断地改进和完善案例教学方法。 （三）案例教学与多种教学方式相结合 如前所述，案例教学在激发学生学习兴趣，实现教 学相长等方面具有传统教学方法所不能比拟的优势。但 我们也应注意到，案例教学的有效开展无论是对教师还 是学生都有较高的要求，学生只有将相关数学理论和方 法理解得透彻，才能充分参与案例讨论。而作为主导者 的教师，能在案例教学的过程中熟练融合运用启发式、 问题式、讨论式等教学方法也是案例教学取得成功的重 １０８ ［１］关秋，陈梅．案例教学的理论研究综述［Ｊ］＿教育与职业， ２０１１，（２０）：１４５—１４６． ［２］郭德红，纪向荣．案例教学的要素和方法［Ｊ］．衡水学院学 报，２００７，９（２）：１０７—１１０． ［３］黎虹．线性代数教学中结合应用问题举例［Ｊ］．菏泽学院学 报，２００９，３１（２）：１２７—１３０． ［４］王中兴．微积分［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１２． ［责任编辑：林志恒］
