1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定,线应变以伸长时为正,缩短时为负,与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定,切应变以直角变小时为正,变大时为负,与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后,其内部将发生内力,它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的,是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量,也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L-1MT-2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量x100MPa,
建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束,或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构,然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
15、每个单元的位移一般总是包含着两部分:一部分是由本单元的形变引起的,另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
16、每个单元的应变一般总是包含着两部分:一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的,是各点不相同的,即所谓变量应变;另一部分是与位置坐标无关的,是各点相同的,即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答,位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变,还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续,必须把位移模式取为坐标的单值连续函数,为了使得相邻单元的位移保持连续,就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时,也能在整个公共边界上具有相同的位移。
19、在有限单元法中,单元的形函数Ni
在i结点Ni=1;在其他结点Ni=0及∑Ni=1。
20、为了提高有限单元法分析的精度,一般可以采用两种方法:一是将单元的尺寸减小,以便较好地反映位移和应力变化情况;二是采用包含更高次项的位移模式,使位移和应力的精度提高。 二、判断题(请在正确命题后的括号内打“√”,在错误命题后的括号内打“×”)
1
y50MPa,xy1050 MPa,则主应
力1150MPa,20MPa,
13516。
8、已知一点处的应力分量, x200MPa,
y0MPa,xy400 MPa,则主应力1512 MPa,2-312 MPa,
1-37°57′。
9、已知一点处的应力分量,
x2000MPa,y1000MPa,
xy400 MPa,则主应力11052 MPa,2-2052 MPa,1-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题,要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件,分别
1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满,不留下任何空隙。(√) 2、均匀性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满,不留下任何空隙。(×) 3、连续性假定是指整个物体是由同一材料组成的。(×) 4、平面应力问题与平面应变问题的物理方程是完全相同的。(×) 5、如果某一问题中,zzxzy0,只存在平面应力分量x,y,xy,且它们不沿z方向变化,仅为x,y的函数,此问题是平面应力问题。(√) 6、如果某一问题中,zzxzy0,只存在平面应变分量x,y,xy,且它们不沿z方向变化,仅为x,y的函数,此问题是平面应变问题。(√) 7、表示应力分量与面力分量之间关系的方程为平衡微分方程。(×) 8、表示位移分量与应力分量之间关系的方程为物理方程。(×) 9、当物体的形变分量完全确定时,位移分量却不能完全确定。(√)
10、当物体的位移分量完全确定时,形变分量即完全确定。(√)
11、按应力求解平面问题时常采用位移法和应力法。(×)
12、按应力求解平面问题,最后可以归纳为求解一个应力函数。(×)
13、在有限单元法中,结点力是指单元对结点的作用力。(×)
14、在有限单元法中,结点力是指结点对单元的作用力。(√)
15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。(√ ) 三、简答题
1、简述材料力学和弹性力学在研究对象、研究方法方面的异同点。
答:在研究对象方面,材料力学基本
2
上只研究杆状构件,也就是长度远大于高度和宽度的构件;而弹性力学除了对杆状构件作进一步的、较精确的分析外,还对非杆状结构,例如板和壳,以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构加以研究。在研究方法方面,材料力学研究杆状构件,除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析以外,大都引用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定,这就大简化了数学推演,但是,得出的解答往往是近似的。弹性力学研究杆状构件,一般都不必引用那些假定,因而得出的结果就比较精确,并且可以用来校核材料力学里得出的近似解答。
2、简述弹性力学的研究方法。
答:在弹性体区域内部,考虑静力学、几何学和物理学三方面条件,分别建立三套方程。即根据微分体的平衡条件,建立平衡微分方程;根据微分线段上形变与位移之间的几何关系,建立几何方程;根据应力与形变之间的物理关系,建立物理方程。此外,在弹性体的边界上还要建立边界条件。在给定面力的边界上,根据边界上微分体的平衡条件,建立应力边界条件;在给定约束的边界上,根据边界上的约束条件建立位移边界条件。求解弹性力学问题,即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。 3、弹性力学中应力如何表示?正负如何规定?
答:弹性力学中正应力用表示,并加上一个下标字母,表明这个正应力的作用面与作用方向;切应力用表示,并加上两个下标字母,前一个字母表明作用面垂直于哪一个坐标轴,后一个字母表明作用方向沿着哪一个坐标轴。并规定作用在正面上的应力以沿坐标轴正方向为正,沿坐标轴负方向为负。相反,作用在负面上的应力以沿坐标轴负方向为正,沿坐标轴正方向为负。 4、简述平面应力问题与平面应变问题的区别。 答:平面应力问题是指很薄的等厚度薄板,只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力,同时,体力也平行于板面并
且不沿厚度变化。对应的应力分量只有x,y,xy。而平面应变问题是指很长的柱形体,在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力,同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化,对应的位移分量只有u和v
5、简述圣维南原理。
答:如果把物体的一小部分边界上的面力,变换为分布不同但静力等效的面力(主矢量相同,对于同一点的主矩也相同),那么,近处的应力分布将有显著的改变,但是远处所受的影响可以不计。
6、简述按应力求解平面问题时的逆解法。 答:所谓逆解法,就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数;并由应力分量与应力函数之间的关系求得应力分量;然后再根据应力边界条件和弹性体的边界形状,看这些应力分量对应于边界上什么样的面力,从而可以得知所选取的应力函数可以解决的问题。 7、以三节点三角形单元为例,简述有限单元法求解离散化结构的具体步骤。 答:(1)取三角形单元的结点位移为基本未知量。(2)应用插值公式,由单元的结点位移求出单元的位移函数。(3)应用几何方程,由单元的位移函数求出单元的应变。(4)应用物理方程,由单元的应变求出单元的应力。(5)应用虚功方程,由单元的应力出单元的结点力。(6)应用虚功方程,将单元中的各种外力荷载向结点移置,求出单元的结点荷载。(7)列出各结点的平衡方程,组成整个结构的平衡方程组。 8、为了保证有限单元法解答的收敛性,位移模式应满足哪些条件?
答:为了保证有限单元法解答的收敛性,位移模式应满足下列条件:(1)位移模式必须能反映单元的刚体位移;(2)位移模式必须能反映单元的常量应变;(3)位移模式应尽可能反映位移的连续性。 9、在有限单元法中,为什么要求位移模式必须能反映单元的刚体位移?
答:每个单元的位移一般总是包含着两部分:一部分是由本单元的形变引起的,另一部分是本单元的形变无关的,即刚体位
3
移,它是由于其他单元发生了形变而连带引起的。甚至在弹性体的某些部位,例如在靠近悬臂梁的自由端处,单元的形变很小,单元的位移主要是由于其他单元发生形变而引起的刚体位移。因此,为了正确反映单元的位移形态,位移模式必须能反映该单元的刚体位移。
10、在有限单元法中,为什么要求位移模式必须能反映单元的常量应变?
答:每个单元的应变一般总是包含着两部分:一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的,是各点不相同的,即所谓变量应变;另一部分是与位置坐标无关的,是各点相同的,即所谓常量应变。而且,当单元的尺寸较小时,单元中各点的应变趋于相等,也就是单元的应变趋于均匀,因而常量应变就成为应变的主要部分。因此,为了正确反映单元的形变状态,位移模式必须能反映该单元的常量应变。
11、在平面三结点三角形单元中,能否选取如下的位移模式并说明理由:
(1)u(x,y)12x23y,
v(x,y)45x6y2
(2)u(x,y)1x22xy3y2,
v(x,y)4x25xy6y2 答:(1)不能采用。因为位移模式没有反映全部的刚体位移和常量应变项;对坐标x,y不对等;在单元边界上的连续性条件也未能完全满足。(2)不能采用。因为,位移模式没有反映刚体位移和常量应变项;在单元边界上的连续性条件也不满足。
四、分析计算题
1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件,并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。
CxDyxyExFy(1)xAxBy,y,;
2222A(xy),yB(xy),xyCxy; x(2)
其中,A,B,C,D,E,F为常数。
解:应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件:(1)在区域内的平衡微分方程
xyx0y22x;(2)在区域内的相容方程x2y2yxy0xy(3)在边界上的应力xy0;lxmyxsfxs边界条件;(4)对于多连体的位移单值条件。 mylxysfys(1)此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程,必须A=-F,D=-E。此外还应满足应力边界条件。
(2)为了满足相容方程,其系数必须满足A+B=0;为了满足平衡微分方程,其系数必须满足A=B=-C/2。上两式是矛盾的,因此,此组应力分量不可能存在。
23y3C2xy2xyC2y3C3x2yQxyCx2x12、已知应力分量,,,体力不计,Q为
常数。试利用平衡微分方程求系数C1,C2,C3。
xyx0xy解:将所给应力分量代入平衡微分方程
yxy0xyQy23C1x23C2y2C3x20得 3C2xy2C3xy03C1C3x2Q3C2y20即 3C22C3xy03C1C30由x,y的任意性,得Q3C20
3C2C032由此解得,C1QQQ,C2,C3 6323、已知应力分量xq,yq,xy0,判断该应力分量是否满足平衡微分方程和
相容方程。 解:将已知应力分量xq,yq,xy0,代入平衡微分方程
4
xyxX0xy
yxyY0yx可知,已知应力分量xq,yq,xy0一般不满足平衡微分方程,只有体力忽略不计时才满足。
按应力求解平面应力问题的相容方程:
2xy22 (xy)2(yx)2(1)xyy2x将已知应力分量xq,yq,xy0代入上式,可知满足相容方程。
按应力求解平面应变问题的相容方程:
222xy (xy)2(yx)2111xyyx将已知应力分量xq,yq,xy0代入上式,可知满足相容方程。
4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件,并考虑下列平面问题的应变分量是否
可能存在。
(1)xAxy,yBy3,xyCDy2; (2)xAy2,yBx2y,xyCxy; (3)x0,y0,xyCxy; 其中,A,B,C,D为常数。
解:应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件,即
222xyxy2 2xyyx2将以上应变分量代入上面的形变协调方程,可知:
(1)相容。
(2)2A2ByC(1分);这组应力分量若存在,则须满足:B=0,2A=C。
(3)0=C;这组应力分量若存在,则须满足:C=0,则x0,y0,xy0(1分)。 5、证明应力函数by2能满足相容方程,并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计,b0)。
h/2 x O
h/2
解:将应力函数by2代入相容方程
l/2 y l/2 5
44420 x4x2y2y4
可知,所给应力函数by2能满足相容方程。
由于不计体力,对应的应力分量为
2220 x22b,y20,xyxxyy对于图示的矩形板和坐标系,当板内发生上述应力时,根据边界条件,上下左右四
个边上的面力分别为:
h上边,y,l0,m1,fx(xy)h0,fy(y)h0;
yy222h下边,y,l0,m1,fx(xy)h0,fy(y)h0;
yy222l
左边,x,l1,m0,fx(x)l2b,fy(xy)l0;
xx222l右边,x,l1,m0,fx(x)l2b,fy(xy)l0。
xx222可见,上下两边没有面力,而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此,
应力函数by2能解决矩形板在x方向受均布拉力(b>0)和均布压力(b<0)的问题
6、证明应力函数axy能满足相容方程,并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计,a0)。 h/2 x O
h/2
l/2 l/2
解:将应力函数axy代入相容方程
y 44422240 4xxyy可知,所给应力函数axy能满足相容方程。由于不计体力,对应的应力分量为
222a x20,y20,xyxxyy对于图示的矩形板和坐标系,当板内发生上述应力时,根据边界条件,上下左右四
个边上的面力分别为:
6
h上边,y,l0,m1,fx(xy)ha,fy(y)h0;
yy222h下边,y,l0,m1,fx(xy)ha,fy(y)h0;
yy222l
左边,x,l1,m0,fx(x)l0,fy(xy)la;
xx222l右边,x,l1,m0,fx(x)l0,fy(xy)la。
xx222可见,在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a,而在上下两边分别受有向右
和向左的均布面力a。因此,应力函数axy能解决矩形板受均布剪力的问题。 7、如图所示的矩形截面的长坚柱,密度为,在一边侧面上受均布剪力,试求应力分量。 O x 解:根据结构的特点和受力情况,可以假定纵向纤维互不挤压,
b 即设x0。由此可知
q g 2x20
y 将上式对y积分两次,可得如下应力函数表达式
x,yf1(x)yf2(x)
将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得
y d4f1(x)d4f2(x)y0 dx4dx4这是y的线性方程,但相容方程要求它有无数多的解(全柱内的y值都应该满足它),
可见它的系数和自由项都应该等于零,即
d4f1(x)d4f2(x)0, 0 44dxdx这两个方程要求
f1(x)Ax3Bx2CxI, f2(x)Dx3Ex2JxK
代入应力函数表达式,并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后,便得
y(Ax3Bx2Cx)Dx3Ex2
22对应应力分量为 x20 y2y(6Ax2B)6Dx2Egy
xy 7
2xy3Ax22BxC
xy以上常数可以根据边界条件确定。
左边,x0,l1,m0,沿y方向无面力,所以有
(xy)x0C0
右边,xb,l1,m0,沿y方向的面力为q,所以有
(xy)xb3Ab22Bbq
上边,y0,l0,m1,没有水平面力,这就要求xy在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零,即(xy)y0dx0
032将xy的表达式代入,并考虑到C=0,则有(3Ax22Bx)dxAx3Bx2b0AbBb0
0bb而(xy)y00dx0自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力,这就要求y在这部
0b分边界上合成的主矢量和主矩均为零,即
bb0(y)y0dx0,
(0by)y0xdx0
将y的表达式代入,则有
(6Dx2E)dx3Dx0222Exb03Db2Eb0
由此可得Ab032(6Dx2E)xdx2Dx3Ex2b02DbEb0
qqB,,C0,D0,E0 bb2xxyx应力分量为x0, y2q13gy, xyq32
bbbb虽然上述结果并不严格满足上端面处(y=0)的边界条件,但按照圣维南原理,在稍远
离y=0处这一结果应是适用的。
8、证明:如果体力分量虽然不是常量,但却是有势的力,即体力分量可以表示为
VV2fx,fy,其中V是势函数,则应力分量亦可用应力函数表示为,x2V,
xyy22y2V,xy,试导出相应的相容方程。
xxy证明:在体力为有势力的情况下,按应力求解应力边界问题时,应力分量x,y,xy应当满足平衡微分方程
8
xyxV0xyx(1分) yxyV0xyy还应满足相容方程
fxfy22x2y2xy1xy221fxfyx2y2xy1xy(对于平面应力问题) (对于平面应变问题) 并在边界上满足应力边界条件(1分)。对于多连体,有时还必须考虑位移单值条件。 首先考察平衡微分方程。将其改写为
yx0xVxy Vxy0yyx这是一个齐次微分方程组。为了求得通解,将其中第一个方程改写为
xVyx xy根据微分方程理论,一定存在某一函数A(x,y),使得xVyVyx(1分) yxAA,yx
xy同样,将第二个方程改写为
可见也一定存在某一函数B(x,y),使得yVBB,yx xy由此得
AB因而又一定存在某一函数x,y,使得A,B
xxyy222代入以上各式,得应力分量x2V,y2V,xy
xxyy为了使上述应力分量能同量满足相容方程,应力函数x,y必须满足一定的方程,将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程,得
222222x2y2y2Vx2V1x2y2V 9
22222222x2y2y2x22x2y2V1x2y2V 简写为4(1)2V
将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程,得
2222122x2y2y2Vx2V1x2y2V 222222122x2y2y2x22x2y2V1x2y2V 122简写为4V
19、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用,而梁的密度为,试用纯三次的应力函数求解。
O x g y 解:纯三次的应力函数为ax3bx2ycxy2dy3 相应的应力分量表达式为
2222bx2cy x2xfx2cx6dy, y2yfy6ax2bygy, xyxxyy这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察,如果适当选择各个系数,
是否能满足应力边界条件。
上边,y0,l0,m1,没有水平面力,所以有(xy)y02bx0 对上端面的任意x值都应成立,可见b0
同时,该边界上没有竖直面力,所以有(y)y06ax0 对上端面的任意x值都应成立,可见a0
因此,应力分量可以简化为x2cx6dy,ygy,xy2cy
斜面,yxtan,lcossin,mcoscos,没有面力,所以有
2lxmyxyxtan0 mylxyyxtan0由第一个方程,得2cx6dxtansin2cxtancos4cxsin6dxtansin0
10
对斜面的任意x值都应成立,这就要求4c6dtan0
由第二个方程,得2cxtansingxtancos2cxtansingxsin0 对斜面的任意x值都应成立,这就要求2ctang0(1分)
11由此解得cgcot(1分),dgcot2
23从而应力分量为xgxcot2gycot2, ygy, xygycot
h设三角形悬臂梁的长为l,高为h,则tan。根据力的平衡,固定端对梁的约束
l1反力沿x方向的分量为0,沿y方向的分量为glh。因此,所求x在这部分边界上
21合成的主矢应为零,xy应当合成为反力glh。
20xhxlhdyglcot2gycot2dyglhcotgh2cot20
0hh112dygycotdyghcotglh xyxl0022可见,所求应力分量满足梁固定端的边界条件。
10、设有楔形体如图所示,左面铅直,右面与铅直面成角,下端作为无限长,承受重力及液体压力,楔形体的密度为1,液体的密度为2,试求应力分量。
O x 2g1gy 解:采用半逆解法。首先应用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式。取坐标轴如图所示。在楔形体的任意一点,每一个应力分量都将由两部分组成:一部分由重力引起,应当与1g成正比(g是重力加速度);另一部分由液体压力引起,应当与2g成正比。此外,每一部分还与,x,y有关。由于应力的量纲是L-1MT-2,1g和2g的量纲是L-2MT-2,是量纲一的量,而x和y的量纲是L,因此,如 果应力分量具有多项式的解答,那么它们的表达式只可能是A1gx,B1gy,C2gx,D2gy四项的组合,而其中的A,B,C,D是量纲一的量,只与有关。这就是说,各应力
分量的表达式只可能是x和y的纯一次式。
其次,由应力函数与应力分量的关系式可知,应力函数比应力分量的长度量纲高二次,应该是x和y纯三次式,因此,假设ax3bx2ycxy2dy3 相应的应力分量表达式为
2222bx2cy x2xfx2cx6dy, y2yfy6ax2by1gy, xyxxyy这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察,如果适当选择各个系数,
是否能满足应力边界条件。
11
左面,x0,l1,m0,作用有水平面力2gy,所以有(x)x06dy2gy 对左面的任意y值都应成立,可见d2g6
同时,该边界上没有竖直面力,所以有(xy)x02cy0 对左面的任意y值都应成立,可见c0
因此,应力分量可以简化为x2gy,y6ax2by1gy,xy2bx
斜面,xytan,lcos,mcossin,没有面力,所以有
2lxmyxxytan0 ml0yxyxytan由第一个方程,得2gycos2bytansin0
对斜面的任意y值都应成立,这就要求2gcos2btansin0 由第二个方程,得
6aytan2by1gysin2bytancos6atansin4bsin1gsiny0 对斜面的任意x值都应成立,这就要求6atan4b1g0 由此解得
111a1gcot2gcot3,b2gcot2 632从而应力分量为
x2gy, y1gcot22gcot3x2gcot21gy, xy2gxcot2
12
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