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复合梯形公式&(精选.)

来源：六九路网

《复合梯形公式》实验报告

实验名称：复合梯形公式成绩：___________

专业班级：数学与应用数学1202班姓名：张晓彤学号：20122010227 实验日期： 2014年11月23日实验报告日期： 2014年11月3日

一、实验目的

（1）掌握数值积分函数的调用格式（2）掌握复合梯形公式的思想和构造过程

（3）能够应用matlab软件编写复合梯形公式的程序并能熟悉应用，以此来解决

相关例题

（4）利用复合梯形公式求数值积分的近似值，以解决其它科学实验的计算问题

二、实验内容

2.1验证积分函数的调用格式并求函数积分值例1：用两种不同的方法求：I122xedx. 012例2：计算二重积分I1xe22sin(x2y)dxdy

2.2编写复合梯形公式程序并验证

例：用符合梯形求积公式求积分Iexsinxdx的近似值.要求将区间3等分，

0124的等分，6等分，9等分，分别得到积分值，并与真值进行比较.能得到什么结

论？

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三、实验环境

该实验应用matlab2014来进行实验的验证和设计.

四、实验步骤和实验结果

4.1验证积分函数的调用格式并求函数积分值例3：（数值积分）用两种不同的方法求：I法一：建立被积函数文件法：先建立一个函数文件ex.m:

function ex=ex(x) ex=exp(-x.^2); end

xedx. 012然后在MATLAB命令窗口，输入命令：

format long

I=quad('ex',0,1) I =

0.7468241807225 I=quadl('ex',0,1) I =

0.746824133988447

法二：不建立关于被积函数的函数文件时:

g=inline('exp(-x.^2)'); I=quadl(g,0,1) I =

0.746824133988447

例4：（数值积分）计算二重积分I（1）建立一个m文件fxy.m

function f=fxy(x,y) global ki; ki=ki+1;

11xe2222sin(x2y)dxdy

2 / 6word.

f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);

(2)调用dblquad函数求解

global ki;ki=0;

I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1) Ki I =

1.5744931744944 ki =

1050

使用inline函数不建立被积函数的函数文件，程序如下：

f=inline('exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y)','x','y'); I=dblquad(f,-2,2,-1,1) I =

1.5744931744944

4.2编写复合梯形公式程序并验证

例：用符合梯形求积公式求积分Iexsinxdx的近似值.要求将区间3等分，

0124的等分，6等分，9等分，分别得到积分值，并与真值进行比较.能得到什么结论？

建立复合梯形公式的fhTX.m文件：

function [H] = fhTX(a,b,n) %ab分别是积分函数的上下限% %n为区间等分份数%

%I返回的是得到的积分近似值% h=(b-a)/n; %h为步长% I=0;

x=a:h:b; %等分点出的节点Xi%

f=exp(x.^2).*sin(x); %被积函数表达式% for k=1:n; %节点xi开始循环%

J=f(k)+f(k+1); %复合梯形公式的递推公式% I=I+J; %递推公式求和% end

H=I*h/2; End

(1) 将区间3等分得到结果

3 / 6word.

H=fhTX(0,1,3) %函数调用% H =

0.8246 %得到近似解%

I1=quad('exp(x.^2).*sin(x)',0,1) %quad计算真值% I1 = 0.7787

R=abs(I1-H) %近似解和真值之间的误差% ans =

0.0458 所以，将区间3等分后得到的结果为0.8246，和真值之间存在的误差为0.0458.

（2）将区间4等分得到的结果

H=fhTX(0,1,4) %函数调用% H =

0.8047 %得到近似解% abs(I1-H) ans =

0.0260 %近似解和真值之间的误差%

通过结果可以看出，将区间4等分后的结果和真值之间的误差缩小为0.0260，较三等分得到的结果略微良好.

（3）将区间6等分得到的结果

H=fhTX(0,1,6) %函数调用% H =

0.7904 %得到近似解% abs(I1-H) ans =

0.0116 %近似解和真值之间的误差%

当区间等分数为6时，误差减小到0.0116，比区间等分数为4的时候更精

确

（4）将区间9等分得到的结果

H=fhTX(0,1,9) %函数调用% H =

4 / 6word.

0.7839 %得到近似解% abs(I1-H) ans =

0.0052 %近似解和真值之间的误差%

这时的误差缩小为0.0052，更加靠近真值了.

通过四种不同的等分区间来对积分值进行近似估计，我们可以发现，区间等分份数越多，得到的结果越靠近真值，得到的结果越精确

我们用相同的方法得到更多数据的结果入下： n I n I 10 20 30 40 50 0.7829408 0.77979 0.7792120 0.7790078 0.7713 100 500 800 1000 10000 0.778787 0.7787468 0.7787458 0.7787458 0.7787458 从表格中我们很清楚的可以看到在某个较大的范围内，当n越大时，得到的结果和真值越接近，当达到一定程度时，近似值将不会再变化.

五、实验讨论、结论

通过四种不同的等分区间来对积分值进行近似估计，我们可以发现，区间等分份数越多，得到的结果越靠近真值，得到的结果越精确，但符合梯形公式在对积分值进行估计的过程中存在的问题是：在某个较大的范围内，无论区间等分多少份，或者说无论步长取得多么小，总会存在一个更小的步长h，使得结果过更加精确，但当超过这个规定的范围，当区间等分份数过大时，得到的近似值将不会再变价.所以说，采用梯形公式得到的结果，随着区间等分份数的增多，会越来越接近真值，但永远不能得到最精确的结果.

所以，在对某些函数进行积分计算的时候，一些简单的函数我们可以直接进行积分到精确的结果，但是对于一些较复杂，找不到原函数的函数而言，利用复

5 / 6word.

合梯形公式可以很好的得到近似解，它在进行函数积分的过程中起到了很好作用，能解决我们在积分环节的一些问题.

六、参考资料

【1】李庆阳，王能超，易大义，数值分析第五版，清华大学出版社，1995. 【2】刘卫国，matlab程序设计与应用，高等教育出版社，2002.