投稿旃箱ｓ￣ｉｋ＠ｒｉｐ １ ６３ ｅ０ｍ 数学教学通讯（教师版） 教学研究＞备课参考 《一元二次不等式》第一课时的 江苏白蒲高级中学一出博 一泽一善可舭兰 一潆机删 黼一． 一作～襁 彬一～ 学一 缪德军 ２２６５００ 教学过程实录 １．借助实例。引入课题 二次． 小组２：把ｘ２－５０ｘ＋６００＜Ｏ写成（ 一２５）２＜ ２５形式．从而一５＜ｘ一２５＜５，１／Ｉ］２０＜ｘ＜３０． 师：很好！这就是本节课我们要学习 实例：（投影）用一根长为１００ｍ的绳 子围成一个面积大于６００ ｍ 的矩形，设长 的内容“一元二次不等式” 得到定义：像这样只含有一个未知 小组３：因为Ａ＝５０。－－４ｘ６００＝１００＞０，又 因为ｘＺ－５Ｏｘ＋６００＝Ｏ的解为 ｌ＝２０，ｘ２＝３０，所 数．并且未知数的最高次数是２的不等式 为 ｍ（Ｏ＜ｘ＜５０），求 的取值范围． 叫做一元二次不等式， 师：请同学们思考如何解决？ 以不等式的解集为｛ Ｉ２０＜ｘ＜３０｝． 实例简洁，目标明确，学生精力集中， 学生思考．留时１分钟． 迅速转入重点问题． ＼ ／ ０ ２０＼／３０ Ｖ 生１：根据题意，可写出关于 的～元 ２．类比联想。探索解法 问题１：如何解不等￣ｘ２－５Ｏｘ＋６００＜Ｏ呢？ 学生先思考．完成．再分小 图１ 二次不等式ｘ２－５０ｘ＋６００＜０，这个不等式解 集就是 的取值范围． 师：对他们的解法，其他小组有什么 看法？ 师：很好！列出了关于 的不等式并且 作了整理、化简．你为什么把它叫做一元 二次不等式的呢？ 生１：因为ｙ 一５０ｘ＋６００叫一元二次 函数，Ｘ２－５０ｘ＋６００－－０￣ｑ一元二次方程．所 以我想它就叫一元二次不等式． 师：很好！用到了类比的思维，有道 组（全班５３人，分成８个小组）讨论、合作探 究．形成共识． 小组４：小组１先因式分解．然后分类 讨论，有点繁；小组３是用图象法做的，能 直观地看到不等式的解集，但是没有小组 教师观察各小组讨论情况，８分钟后， 请３个小组的代表到黑板展示． 小组１：把ｘ２－５０ｘ＋６００＜Ｏ写成 一２Ｏ）・ ｆ 一２０＞０． ２的配方法来得简洁，我们觉得小组２的解 法较好． （ 一３０）＜０形式，再分类讨论，｛ ｆ 一２０＜０． 或 【 一３０＜０ 听完小组４的见解后．各小组争相发 小组５：刚开始我们也觉得小组２的解 法较好．对这个题可能是的，但对于其他 理．它们为什么标有“一元二次”呢？ 生２：未知数只有一个 且最高次是 ｛ 【 一３Ｏ＞Ｑ 解得２０＜ｘ＜３０． ０２１ 教学研究＞备课参考 一数学教学通讯《教师版） （４）— ７ｘ一１２＞０． 投稿邮籀：ｓｘｊｋ＠ｖｉｐ１６３．ｃｏｍ ．般的情况可能还不一定。例如：７ｘ２＋ １３ｘ一９＜０，用配方法可能就比较麻烦了．没 ， 学生先完成，小组５一小组８分别 到黑板展示（１）～（４）题． 有用图象好，因式分解后分类讨论也比较 ３／，、４一 麻烦．因此，我们觉得图象法更能解决一 般的问题，应该更好一点． 展示情况如下： 小组５： 一７ｘ＋１２＝０的两根为 ｌ＝３，Ｘ２＝ ｏ ／ ＼ 图５ 小组３：我们也是这么想的． 小组６：我们也觉得图象法直观，解决 一４，如图２所示，所以原不等式解集为（一∞， ３）Ｕ（４，＋∞）． 小组１一小组４分别点评小组５一小组 ８的展示． 般情况更好！ 小组７，小组８，…… 小组１：小组５的画图没写明白，不等 到这里，教室里是一片热腾，同学们 ＼ ／ 一 式是没有图象的，应写成“画出函数 ｚ－ ７ｘ＋１２的图象”． 基本都达成了一个共识：用图象法解一元 二次不等式较直观．且更具一般性． 师：我想问第三小组，这是一个不等 式的问题，你们是怎么想到用图象法来 解的． 小组３：在初中学过ｘ一１＞１３的解集就是 函数ｙ＝ｘ一１的图象在 轴上方的点的横坐 标的取值集合．我们想，ｘ２－５０ｘ＋６００＜０的 解集也应该是函数ｙ ２－５０ｘ＋６００的图象 在 轴下方的点的横坐标的取值集合． 师：好，太好了！非常正确．从“一元 一次不等式与一元一次函数之间的关系” 类比到“一元二次不等式与一元二次函数 之间的关系”． 用“图象法解一元二次不等式”的思 路就在这样的思考、活动、合作、探究、交 流、辨析中形成了．学生是主角．唱响了 整个探究过程．这样的结果是学生在亲 自体验中得到的，对学生而言，是自然的， 是深刻的．其中不只得到了结果，更重要 的是培养了思维，这也正是数学思想教 学的有效落实．教师似乎退到了“幕后”， 事实上，教师的大胆“退”造就了学生更 有效的“进”． ３．巩固运用．熟悉解法 利用图象法解不等式： （１）ｘ￣Ｔｘ＋１２＞０； （２）ｘＺ－Ｔｘ＋１４￣＜０； （３） ２＿７ ＋ Ｉ＞０； ０２２ ０ ３Ｖ４一 小组２：我们想问小组６一个问题：你 图２ 们怎么知道图象是这么画的？ 小组６：ｙ＝ｘ 一７ ＋１４的图象如图３所 小组６：因为Ａ＜Ｏ，问得很对．应该 示，所以原不等式解集为 写明． 小组３：小组７的问题和小组５的问题 一样。未写明白画谁的图象． 小组４：他们做得是对的．但我们觉得 把二次项系数化为正数来做会更顺一点． 图３ 小组７：Ａ－－０，如图４所示，所以原不等 原不等式化为： ２一 ＋１２＜０．则３ ＜ 式解集为Ｒ 师：前四个小组做得不错，后四个小 组点评更好．解（４）题时，一般地，我们都 是先把二次项系数化为正数来做。直接考 虑开口向上的图象就可以了． 能否总结一下，解一元二次不等式的 图４ 一般步骤如何？ 小组８：Ａ＝Ｉ＞０，，，＝ ２＋ 一１２的图象如 在同学们的相互交流、讨论中达成一 图５所示，所以原不等式解集为（３，４）． 致：化正一求根一画图一写解集． 表１ 判别式Ａ＝ｂ２－４ｏｃ Ａ＞０ Ａ－－０ Ａ＜Ｏ Ｊ Ｊ Ｉ二次函数 （ａ＞０）的图象 ￣－．ａｘ２＋ｂｘ４－ｃ 乱ｆ ＼ ｜ｌ… １． ｆ ● －● ０ ｌ： ２ Ｄ 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 （ａ＞Ｏ）的根 Ｚ＋ｂｘ＋ｃ－－Ｏ ｌ， ２（ ｌ・＜ ２） Ｆ一 ｂ 无实根 （ｃｎ ＞２Ｏ＋ｂ） 的解集 （＋ｃ＞Ｏ 一∞， １）Ｕ（ ２，＋∞） ｛ ≠一 １２ｎ Ｊ Ｒ （ａｘ ６ａ＞０）的解集 ＜０ （ ｌ， ２） 投稿勰籀：ｓ× ｋ＠ｒｉｐ ｛靠３ ｃｏｆｆｌ１ ４．归纳特殊。发现一般 数学教学通讯（教师版） 不高，但能够有效沟通学生的新旧经验， 教学研究＞备课参考 是学生学习数学的重要方式，学生的数学 学习活动应该是一个生动活泼、富有个性 问题２：能否归纳出二次函数 ＝ ＋ ｂｘ＋ｃ（ａ＞Ｏ）与它所对应的一元二次方程、 一能够使学生产生兴趣，迅速地把精力集中 到对重点问题——“如何解一元二次不等 式”的深入研究． ２．问题引导学习．注重“整体” 在数学教学中，问题是引发学生思维 与探索活动的向导，是学生课堂学习活动 的过程．因此，在备课时，我们不仅要考 虑学生会怎么想，教师该怎么问，还要考 虑如何设计学生的个体学习和合作学习 元二次不等式之间的联系？ 先完成表１，再小组交流讨论，形 成小组意见，投影仪展示，教师点评、修 正、补充、完善． 学生、小组、教师进行着热烈的互动， 全体师生共“生”共“荣”．整个课堂一片 活动．更要考虑如何给学生让出时间，让 出空间．从而让出精彩． 在探究“不等式Ｘ２－５０ｘ＋６００＜０的解 法”和“归纳出二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ与它所 对应的一元二次方程、一元二次不等式之 的载体．能有效激发学生的好奇心．通过 问题．可以把知识的逻辑结构与学生的思 维过程有机地联系起来．将知识的逻辑结 “生机”． ５．课堂小结。形成结论 构转化为学生的认知结构；通过问题，能 间的联系”时，让学生思考，小组讨 师生共同进行，以学生的思考、总结 使学生主动探究、发现数学的内在规律， 论，黑板（投影仪）展示，自己去判断，组间 归纳为主体． 从而认识、理解数学本质． 点评．相互质疑．在系列学习活动中，充 （１）一元二次不等式的解法： 在设计问题时．要注重问题的层次 分为学生提供了大量动手实践、探索交流 化正一求根一画图一写解集． 性．本节课中．学生在三个问题的引领下 的机会，通过自主探索与合作学习的方 （２）“三个二次的关系”．有序进行．即“如何解不等式ｘＺ－５Ｏｘ＋６００＜ 式，形成新的知识与新的思维．进而建立 ０７”“能否归纳出二次函数ｙ＝ ２＋６ （ｎ＞ 起符合个体认知特点的知识结构． ０）与它所对应的一元二次方程、一元二次 学生从不同角度充分发表自己的意 教学反思 不等式之间的联系？”“解一元二次不等式 见，有了自我发现、自我完善的时间和空 本课在市优秀课评比中获一等奖，在 的一般步骤？”三个问题之间层次性鲜明 间，有利于培养学生的探究性发散思维能 课后产生了几点体会． 又构成一个整体．如此低起点，小坡度， 力；在生生互动中，相互学习，自我更正， １．情境激发兴趣。但要“简单” 密台阶．让学生可以自主学习；问题间的 Ａ我比较，自我选择，有益于培养学生的 新课标指出：数学教学要从已有的知 适度思维差又让学生有合作探究兴趣． 选择意识，优化学生的思维品质．这样才 识出发．创没生动有趣的情境，然后展开 在这样的情境下．学生能从自主学习与合 真正做到了为学生提供一个精彩的人生 一系列的数学活动．在数学教学中．从学 作学习中去发现、去归纳．从而真正提高 舞台．让学生“学”数学．本节课更多的是 生的起点出发，通过合适的实例创设有效 学生的探索与发现的能力． 学生在学，在唱响课堂；教师不再围着教 的学习情境．能引导学生主动学习．深入 ３．活动培养能力。做好“三让” 师的“教“转，教师而多为学生的“学”服 思考．本课的实例一个现实中经常遇到 “数学教学就是数学活动的教学．”新 务，真正培养学生的终身学习能力和合作 的“长定面积变化”问题，情境简单，起点 课标指出：动手实践，自主探索，合作交流 交流能力． （上接第２Ｏ页） 们会经常使用． 思维方法，学习了数学探究的方法．培养 生８：证明两个三棱锥体积相等时．要 这节课，首先由学生猜测锥体的体 了学生的探究意识，发展了学生的创新 不断地转换顶点． 积计算公式，并通过实验验证了猜想的 意识． 生９：我领略了探究的乐趣，懂得了研 正确，然后通过类比，猜测到探究三棱锥 探究性学习是新课程中最突出的新理 究数学的一种思维方法——猜想、验证、 与同底等高的 棱柱体积关系的方法， 念之一，我们一线的教师要不断提高探 证明． 再通过学生不断观察、操作．得到了推理 索性的教学水平，营造探究的学习氛围． 论证的方法．学生经历了猜想、实验、验 激发学生的探究情感，重视探究过程，落 师：同学们说得很好．计算三棱锥体 证、类比、观察、操作、推理证明等思维过 实新课程中的每一个探究内容．让学生在 积时，可以转换顶点．这就是类似于面积 程，探究出锥体体积．学生尝试了一次数 探究巾学会数学研究的方法．激发学生学 法的体积法．体积法的用途很大，今后我 学研究的过程，体验了发现数学结论的 习数学的兴趣。不断提高数学成绩． ０２３
