2014届高考数学一轮复习 第8章《平面解析几何》(第1课时)知识过关检测 理 新人教A版

2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第8章《平面解析

几何》（第1课时）（新人教A版）

一、选择题

1．(2013²聊城质检)关于直线的倾斜角与斜率，下列说法正确的是( ) A．所有的直线都有倾斜角和斜率

B．所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率 C．直线的倾斜角和斜率有时都不存在

D．所有的直线都有斜率，但不一定有倾斜角

解析：选B.所有的直线都一定有倾斜角，而倾斜角为90°的直线不存在斜率． 2．直线5x－2y－10＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则( ) A．a＝2，b＝5 B．a＝2，b＝－5 C．a＝－2，b＝5 D．a＝－2，b＝－5 解析：选B.直线5x－2y＝10可化为＋＝1，

2－5

∴a＝2，b＝－5.

2

3．(2013²东营质检)直线经过A(2,1)，B(1，m)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角α的取值范围是( )

ππ

A．0≤α＜π B．0≤α≤或＜α＜π

42

ππππ

C．0≤α≤ D.≤α＜或＜α＜π

4422

2

m－12

解析：选B.直线l的斜率k＝＝1－m≤1，又直线l的倾斜角为α，则有tanα≤1，

1－2

即tanα＜0或0≤tanα≤1，

ππ

所以＜α＜π或0≤α≤，故选B.

24

4．已知ab＜0，bc＜0，则直线ax＋by＝c通过( ) A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限

解析：选C.原直线可化为y＝－x＋，则k＝－＞0，＜0.故直线通过第一、三、四象限．

2

5．直线x＋ay－a＝0(a＞0，a是常数)，当此直线在x，y轴上的截距和最小时，a的值是( )

A．1 B．2 C.2 D．0

xy1

解析：选A.方程可化为＋＝1，因为a＞0，所以截距之和t＝a＋≥2，当且仅当aa1axyabcbabcba1

＝，即a＝1时取等号．

a二、填空题

6．已知直线的倾斜角是60°，在y轴上的截距是5，则该直线的方程为________． 解析：因为直线的倾斜角是60°，所以直线的斜率为k＝tan60°＝3，又因为直线在

1

y轴上的截距是5，由斜截式，得直线的方程为y＝3x＋5.

答案：y＝3x＋5

7．若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是

________．

解析：∵直线的斜率k＝∴

a－1

，且直线的倾斜角为钝角， a＋2

a－1

＜0，解得－2＜a＜1. a＋2

答案：(－2,1)

8．(2013²日照质检)若点A(a,0)，B(0，b)，C(1，－1)(a＞0，b＜0)三点共线，则a－b的最小值等于________．

b－0－1－0

解析：因为A(a,0)，B(0，b)，C(1，－1)三点共线，所以kAB＝kAC，即＝，0－a1－a11ba11整理得－＝1，于是a－b＝(a－b)²－＝2－－

abab

ab＝2＋－＋－≥2＋2＝4，

即a－b的最小值等于4. 答案：4 三、解答题

9．求下列直线l的方程：

(1)过点A(2,1)，它的倾斜角是直线l1：3x＋4y＋5＝0的倾斜角的一半； (2)过点A(2,1)和直线x－2y－3＝0与2x－3y－2＝0的交点．

β33

解：(1)设直线l与l1的倾斜角分别为α、β，则α＝， 又tanβ＝－，则－＝244

2tanα1

，解得tanα＝3，或tanα＝－(舍去)． 2

1－tanα3

由点斜式得y－1＝3(x－2)，即3x－y－5＝0.

x－2y－3＝0，x＝－5，

(2)解方程组得即两条直线的交点坐标为(－5，－4)．

2x－3y－2＝0，y＝－4，y－1x－2

由两点式得＝，即5x－7y－3＝0.

－4－1－5－2

10．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的

1

方程：(1)过定点A(－3,4)；(2)斜率为.

6

解：(1)设直线l的方程是y＝k(x＋3)＋4，

4

它在x轴、y轴上的截距分别是－－3,3k＋4，

baab

k4

由已知，得|(3k＋4)(－－3)|＝6，

k28

解得k1＝－或k2＝－.

33

所以直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0. (2)设直线l在y轴上的截距为b，

1

则直线l的方程是y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，

6

由已知，得|－6b²b|＝6，∴b＝±1.

∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.

2

一、选择题

1．已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是( )

1A．k≥ B．k≤－2

211C．k≥或k≤－2 D．－2≤k≤ 22

解析：选D.由已知直线l恒过定点P(2,1)，若l与线段AB相交，则kPA≤k≤kPB，∵kPA11

＝－2，kPB＝，∴－2≤k≤.

22

2．(2013²东营质检)过点(1,3)作直线l，若l经过点(a,0)和(0，b)，且a、b∈N＋，则可作出这样的直线l的条数为( )

A．1 B．2 C．3 D．多于3

xy13

解析：选B.由题意可知直线l：＋＝1，∴＋＝1，

abab3a3a－133＝＋＝3＋(a≥2，且a∈N＋)． a－1a－1a－1a－1

∴a－1为3的正约数，当a－1＝1时，b＝6，当a－1＝3时，b＝4，所以这样的直线有2条，故选B.

二、填空题 3．已知A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上移动，则xy的最大值等于________．

∴b＝

解析：AB所在直线方程为＋＝1，

34

xy1xy21∴²≤(＋)＝， 344344

∴xy≤3，当且仅当＝时取等号．

34

答案：3

4．(2011²高考安徽卷)在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点．下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点； ③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；

④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数； ⑤存在恰经过一个整点的直线．

1

解析：①正确．设y＝2x＋，当x是整数时，y是无理数，(x，y)必不是整点．

2②不正确．设k＝2，b＝－2，则y＝2(x－1)，过整点(1,0)．

③正确．直线l经过无穷多个整点，则直线l必然经过两个不同的整点，显然成立；反之亦成立，设直线l经过两个整点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则l的方程为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，令x＝x1＋k(x2－x1)(k∈Z)，则x∈Z，且y＝k(y2－y1)＋y1也是整数，故直线l经过无穷多个整点．

④不正确．由③知直线l经过无穷多个整点的充要条件是直线l经过两个不同的整点，设为P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则直线l的方程为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，

又∵直线方程为y＝kx＋b的形式，∴x2≠x1，

y2－y1y1x2－y2x111∵y＝x＋，∴k，b∈Q；反之不成立，若k，b∈Q，设y＝x＋，则xx2－x1x2－x134

3

xyxy

3＝3y－，

4

3若y∈Z，则3y－∈/Z，即x∈/Z，即由k，b∈Q得不到y＝kx＋b经过无穷多个整点． 4⑤正确．直线y＝2(x－1)只经过整点(1,0)．

答案：①③⑤ 三、解答题

5．直线l过点P(－2,1)且斜率为k(k>1)，将直线l绕P点按逆时针方向旋转45°得到直线m，若直线l和m分别和y轴交于Q、R两点．

(1)用k表示直线m的斜率；

(2)当k为何值时，△PQR的面积最小，并求面积最小时直线l的方程． 解：(1)设直线l的倾斜角为α，则直线m的倾斜角为α＋45°，

1＋tanα1＋k故km＝tan(45°＋α)＝＝.

1－tanα1－k1＋k(2)由题意及(1)可知直线l：y－1＝k(x＋2)，直线m：y－1＝(x＋2)，故Q(0,2k1－kk＋3.

＋1)，R0，

1－k

k＋34

∴|RQ|＝|2k＋1－|＝2k＋＋2

1－kk－14

＝2(k－1)＋＋4.

k－1

41＋4∴S△PQR＝³2³2k－1＋ k－12

4

＝2(k－1)＋＋4.

k－1

∵k>1，∴k－1>0， ∴S△PQR≥42＋4.

4

当且仅当2(k－1)＝，即k＝2＋1时等号成立，

k－1

此时直线l方程为(2＋1)x－y＋22＋3＝0.

4