2020衡水中学高三模拟理科数学

数学试题（理科）

考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1．ZM表示集合M中整数元素的个数，设集合Ax1x8，Bx52x17，则ZAB（A．32．已知复数满足）B．4C．5，则的共轭复数是（）D．6A．B．C．D．3．已知函数fx是定义在R上的偶函数，且在0,上单调递增，则（A．f3flog313f20.6C．f20.6flog313f3B．f3f20.6flog313D．f20.6f3flog313）4．宋代诗词大师欧阳修的《卖油翁》中有一段关于卖油翁的精湛技艺的细节描写：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”如果铜钱是直径为5cm的圆，钱中间的正方形孔的边长为2cm，则卖油翁向葫芦内注油，油正好进入孔中的概率是（）416

C．D．252525225．命题p:x,yR，xy2，命题q:x,yR，|x||y|2，则p是q的（A．B．A．充分非必要条件C．必要充分条件6．已知数列an中，a11，an1ann，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第2020项，则判断框内的条件是（A．n2018?B．n2019?C．n2020?D．n2021?7．函数f(x)

）B．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件25）sinx

x22x的大致图象为（x）A．B．C．D．ππ

)图象的一个对称中心为,0，其相23

8．若函数fxAsinx(其中A0，邻一条对称轴方程为x7π，该对称轴处所对应的函数值为1，为了得到gxcos2x的12图象，则只要将fx的图象（）π个单位长度6πC．向左平移个单位长度6A．向右平移9．已知AB是圆C:x1y1的直径，点P为直线xy10上任意一点，则22π个单位长度12πD．向右平移个单位长度12B．向左平移

PAPB的最小值是（）A．1B．0C．2D．21

10．圆锥SD（其中S为顶点，D为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1，则圆锥SD与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（）A．9:32B．8:27C．9:22D．9:28x2y211．已知直线ykxk0与双曲线221a0,b0交于A，B两点，以AB为直ab径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为4a2，则双曲线的离心率为（A．2B．312．若对于任意的0x1x2a，都有A．2e

n））B．e

x2lnx1x1lnx21，则a的最大值为（x1x21C．D．1

2C．2D．5二.填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）2

13．在3x的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等x

于．14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b27，c3，B2C，则cos2C的值为．．15．正四棱锥SABCD底面边长为2，高为1，E是边BC的中点，动点P在四棱锥

表面上运动，并且总保持PEAC0，则动点P的轨迹的周长为16．定义在0,上的函数fx满足fx0，fx为fx的导函数，且2fxxfx3fx对x0,恒成立，则f2的取值范围是f32

2

．三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本小题12分）在公差为d的等差数列an中，a1a2a1a2．（1）求d的取值范围；1（2）已知d1，试问：是否存在等差数列bn，使得数列2的前n项和为anbn

n

？若存在，求bn的通项公式；若不存在，请说明理由．n118．（本小题12分）如图1，梯形ABCD中，过A，B分别作AECD，AB∥CD，BFCD，垂足分别为E、F．ABAE2，CD5，已知DE1，将梯形ABCD沿AE，BF同侧折起，得空间几何体ADEBCF，如图2．（1）若AFBD，证明：DE平面ABFE；（2）若DE∥CF，CD3，线段AB上存在一点P，满足CP与平面ACD所成角的正5弦值为，求AP的长．2019．（本小题12分）《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、B、C、C、D、D、E共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至依照等比例转换法则，分别转换到91,100、81,90、E等级内的考生原始成绩，71,80、61,70、51,60、41,50、31,40、21,30八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N60,169．（1）求物理原始成绩在区间47,86的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间61,80的人数，求X的分布列和数学期望．（附：若随机变量N,2，则P0.682，P220.9，P330.997）x2y22

20．（本小题12分）已知椭圆C:221ab0，点1,e和2,都在椭圆C上，2ab其中e为椭圆C的离心率．（1）求椭圆C的方程；（2）若过原点的直线l1:ykx与椭圆C交于A，B两点，且在直线l2:2kxyk20上存在点P，使得△PAB是以P为直角顶点的直角三角形，求实数k的取值范围．21．（本小题12分）已知函数fxlnx

123

xaxaR，gxexx2x．22（1）讨论fx的单调性；（2）定义：对于函数fx，若存在x0，使fx0x0成立，则称x0为函数fx的不动点．如果函数Fxfxgx存在不动点，求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程xcos在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为（为参数）．以坐标原点O为极点，x

ysin轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2cos．（1）求C1，C2交点的直角坐标；π

（2）设点A的极坐标为4,，点B是曲线C2上的点，求△AOB面积的最大值．3

23.（本小题10分）选修4-5：不等式选讲已知函数fxx12x1．（1）解不等式fxx2；（2）若gx3x2m3x1，对x1R，x2R，使fx1gx2成立，求实数m的取值范围．2019～2020学年高三第二学期3月模块诊断

数学（理科）参

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号答案1C2B3C4567101112DABDBAADD51751．【解答】∵A1,8，B,，∴AB,8，∴ZAB5．故选C．2222．【解答】由12iz43i，得z

3．【解答】根据题意，函数fx是定义在R上的偶函数，则f3f3，43i

2i，所以z2i．故选B．12i

flog313flog313，有20.62log313log3273，又由fx在0,上单调递增，则有f20.6flog313f3，故选C．S正方形16525

P4．【解答】由题S圆=π=，，所以．故选D．S=4π正方形

S圆25π42

5．【解答】在平面直角坐标系中作出满足p,q的区域，如图所示，则p是q的充分不必2

要条件．故选A．6．【解答】由递推式an1ann，可得anan1n1，…an1an2n2，a3a22，a2a11.将以上n1个式子相加，可得an1123n1，则a202011232019.①由程序框图可知，当判断框内的条件是n

k?kN*时，则输出的S1123k，②.综合①②可知，若要想输出①式的结果，则k2019．故选B．7．【解答】f1sin112sin110，排除B，C，sinx1，fx101，排除A，故选D．xππ

8．【解答】根据已知函数fxAsinx(其中A0，)的图象过点,0，23

12π7πππ7π

可得A1，解得2．再根据五点法作图可得2π，，,1，3412312

π可得，3当x0时，sinxx0，则x0时，πππ

可得函数解析式为fxsin2x，故把fxsin2x的图象向左平移个单1233

位长度，可得ππ

ysin2xcos2x的图象，故选B．36

9．【解答】如图所示，122PAPBPCCBPCCAPCAB，所以PAPB

4

取最小值时，即PC取最小值，即PC与直线xy10垂直，1011

241．故选2，则PAPB此时PC=min42A．10．【解答】设圆锥底面圆的半径为r，圆锥母线长为l，πrll则侧面积为πrl，侧面积与底面积的比为22，rπr则母线l2r，圆锥的高为hl2r23r，133则圆锥的体积为πr2hπr，33设外接球的球心为O，半径为R，截面图如图，则OBOSR，ODhR3rR，BDr，在直角三角形BOD中，由勾股定理得OB2OD2BD2，22即R2r23rR，展开整理得Rr，34348332πr3

r∴外接球的体积为πRπ，33339333πr93故所求体积比为．故选A．32πr3329311．【解答】由题意可得图像如右图所示：F为双曲线的左焦点，∵AB为圆的直径，∴AFB90，根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF为矩形，1∴S△ABFSAFBFS△FAF，2b2又S△FAFb24a2，可得c25a2，∴e25e5．故选tan45D．12．【解答】由0x1x2，得x1x20，x2lnx1x1lnx2lnx11lnx21

，1化为x2lnx1x1lnx2x1x2，即

x1x2x1x21

xlnx1lnxlnx1x即函数fx在0,a上单调递增，fx，

xx2x2令fx0，得0x1，故a的最大值为1．故选D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．11214．5915．23n16．

84

,279

13．【解答】该二项式的二项式系数之和为2256，得n8．该二项式的展开式通项r为C8

x38r

84r

84rr2r30，得r2，则常数项为，令2Cx8

3x

r

222C8112．bc，sinBsinCbsinBsin2C2sinCcosC277即2cosCcosCcsinCsinCsinC3375cos2C2cos2C121．9914．【解答】由正弦定理可得：，∴15．【解答】如图所示，取SC，DC的中点M，F，则EF//BD，ME//SB，所以平面SBD//平面MEF，而AC平面SBD，所以AC平面MEF，则动点P在四棱锥表面上运动的轨迹为△MEF，则动点P的轨迹的周长为11

l△MFEl△SDB223323．22fxx22xfx16．【解答】由2fxxfx，得0，22x令gx则gx增，fx2xfxx22xfx，x220，所以gx在0,上单调递得g3g2，即f222

f332，得f24

.f39由xfx3fx，得fxx33x2fxxf333320，令hx

fxx3，则hx

fxx33x2fxx320，所以函数hx在0,上单调递减，，得得h3h2，即综上所述，f223

f28

.

f327f24884．故填,．27f39279

三.解答题(本大题共6小题,共70分.)17．（本小题满分12分）【解答】（1）∵a12a22a1a2，∴a12a1d2a1d，2

整理得2a122d1a1d2d0，…………2分2则4d18dd0，2解得1d1，则d的取值范围为1,1．…………5分（2）∵d1，∴2a124a120，即a11，则an2n．…………6分1111a2b21b2b11111b假设存在等差数列n，则，即，解得，112112b62222b23a1b1a2b23从而bn5n4，…………8分此时1111，…………9分22nn1anbnnn111111111n11，…………1223nn1n1n1a12b1a22b2an2bn1分n1故存在等差数列bn，且bn5n4，使得数列2．…………12的前n项和为n1abnn分18．（本小题满分12分）【解答】（1）由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在图2中，AFBE，……1分由已知得AFBD，BEBDB，∴AF平面BDE，…………2分又DE平面BDE，∴AFDE，…………3分又AEDE，AEAFA，∴DE平面ABFE．…………5分（2）在图2中，AEDE，AEEF，DEEFE，即AE面DEFC，在梯形DEFC中，过点D作DM∥EF交CF于点M，连接CE，π由题意得DM2，CM1，由勾股定理可得DCCF，则CDM，CE2，6过E作EGEF交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直，以E为坐标原点，以EA，EF，EG分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，…………7分1313

D0,,AD2,,则A2,0,0，，，B2,2,0，C0,1,3，AC2,1,3．2222

设平面ACD的一个法向量为nx,y,z，2xy3z0nAC0由得，取x1得n1,1,3，…………9分13z0nAD02xy22设APm，则P2,m,0，0m2，得CP2,m1,3…………10分设CP与平面ACD所成的角为，sincosCP,n2．…………12分319．（本小题满分12分）m57m1252m．203∴AP【解答】（1）因为物理原始成绩N60,132，所以P4786P4760P608611P60136013P6021360213220.6820.90.818．…………3分22所以物理原始成绩在47,86的人数为20000.8181636（人）．…………5分（2）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间61,80内的概率为2．52

所以随机抽取三人，则X的所有可能取值为0，1，2，3，且XB3,，…………7分5

27233所以PX0；PX1C1；3512555125823362；PX3．PX2551255125所以X的分布列为2C32332XP02712511252361253812511分所以数学期望EX320.(本小题满分12分)…………26．55…………12分c．a【解答】（1）由题设知a2b2c2，e1c2

由点1,e在椭圆上，得2221，解得b21，aab

212又点在椭圆上，2,1．222a2b11

即21，解得a24，2ax2所以椭圆的方程是y21．…………4分4ykx42

x（2）【法1】设Ax1,y1、Bx2,y2，由x2，得，2214ky144k24x1x20，x1x2，y1y20，y1y2，…………6分14k214k2设Px0,y0，则y02kx0k2，依题意PAPB，得kPAkPB1，

y0y1y0y21，x0x1x0x2

22即y0y1y2y0y1y2x0x1x2x0x1x20，…………8分22y0x0y1y2x1x20，214k2x04kk2x0k2

2

41k214k20有解，41k2Δ16k2k22414k22k214k20，…………10分化简得3k24kk0或k40，3．…………12分【法2】设Ax1,y1、Bx2,y2，由ykxx2

4x22，得2，24y114k不妨设x1

4k2，1x224k21则AB1k2x1x241k24k21…………7分设原点O到直线lk22的距离为d，则d

4k21…………8分若存在满足条件的点P，则以AB为直径的圆与l2有公共点，故dAB2即k221k24k21

4k2，…………10分1化简得3k24kk0或k40，21.(本小题满分3．…………12分12分)）fx的定义域为0,，fxx2【解答】（1ax1xx0，…………1分对于函数yx2ax10，①当Δa240时，即2a2时，x2ax10在x0恒成立．fxx2ax1x0在0,恒成立，fx在0,为增函数；………2分②当Δ0，即a2或a2时，当a2时，由fx0，得xaa24或x

aa24220aa24a2a242，fx在aa24aa24a0,为增函数，a24减函数，2,22，aa24,为增函数，…………4分2x2ax1当a2时，由fx0在0,恒成立，fx在0,为增函x数．…………5分aa24aa24aa24为增函数，减综上，当a2时，fx在0,,222aa24函数，,为增函数；2当a2时，fx在0,为增函数．123xaxexx2xlnxx2axxexx0，22exlnxx2Fx存在不动点，方程Fxx有实数根，即a有解，…………7分xexx2lnx令hxx0，x（2）Fxfxgxlnxx2令hx0，得x1，hx

exx1lnxx1x1e

x

x1x1lnx

x2，…………8分当x0,1时，hx0，hx单调递减；当x1,时，hx0，hx单调递增，…………10分hxh1e1，…………11分当ae1时，Fx有不动点，a的范围为e1,．…………12分22.（本小题满分10分）【解答】（1）C1:x2y21，…………1分C2:2cos，∴22cos，∴x2y22x．…………3分11xx1222xy1联立方程组得，解得，，2233yyxy2x12221313∴所求交点的坐标为，,,222．…………5分2

（2）设B,，则2cos．…………6分22∴△AOB的面积S11ππOAOBsinAOB4sin4cossin2233π2cos23，…………8分611π∴当时，Smax23．…………10分1223.（本题满分10分）

11x11xx【解答】（1）不等式等价于或或，…………3分223xx2x2x23xx211解得x或0x或x1，22所以不等式fxx2的解集为x0x1．…………5分3x,x11113（2）由fxx2,1x知，当x时，fxminf；…………7222213x,x2分gx3x2m3x12m1，…………8分当且仅当3x2m3x10时取等号，所以2m131515

，解得m．故实数m的取值范围是,．…………10分24444