立体几何中的外接球问题的分析

1.问题呈现

题目 已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，且SC平面ABC,若SCABAC1,BAC120,则球O的表面积为 .2.分析与解

分析：根据球的对称性，画出球和平面ABC的截面圆，构建Rt利用勾股定理求出球的半径.

图1

解：如图1所示，设 ABC的外接圆的圆心为O'，由题可知

ABAC1，BAC120,则O'B1,所以球心O在O'的正上方，且

1151OO'=SC，所以外接球的半径r1，所以球O的表面积为

2222S4r2523.举一反三

题1 已知四棱锥PABCD的顶点都在球O上，底面ABCD是矩形，平面PAD平面ABCD，PAD为正三角形，AB2AD4,则球O的表面积为A.

32 B.32 C. D.33解 如图2，将四棱锥PABCD补为一个三棱柱PADQBC,因为PAD为正三角形，AD2,所以PAD的外接圆的半径为223，所以球O的半径为322343432R233,所以球O的表面积为433图2

题2 已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为22，则该球的体积为 .

解 如图3所示，正四棱锥PABCD的外接球的球心O在它的高PO1上，设球的半径为R,底面边长为22，所以AC4,在RtAO'O中，OA2O'O2O'A2,即

R24R22,所以R2125，所以球的体积VR3 236图3

题3 在半径为5的球面上有不同的四点A,B,C,D,若ABACAD25,则平面BCD被球所截得图形的面积为 .

解法1 如图4所示，过A点作平面BCD的垂线AO',连接OO',OB,设BCD所在截面的半径为r，因为OAOB5,AB25,所以在ABO中，由余弦定理知：

BO2AB2AO22ABAOcosBAO,所以cosBAOsinBAO5,所以55，在RtABO'中，r25sinBAO4，所求面积Sr2165图4

解法2 如图4所示，过A点作平面BCD的垂线AO',连接OO',OB,设BCD所在截面的半径为r，OO'25r2,AO'525r2.

在RtAO'B中，ABO'BO'A,则20r525r面积Sr21622222，解得r4，所求

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