专升本高等数学习题集和答案解析

第一章 函数

一、选择题

1. 下列函数中，【 C 】不是奇函数

A. ytanxx B. yx

C. y(x1)(x1) D. y2sin2x x2. 下列各组中，函数f(x)与g(x)一样的是【 】

A. f(x)x,g(x)3x3 B.f(x)1,g(x)sec2xtan2x

x21C. f(x)x1,g(x) D. f(x)2lnx,g(x)lnx2

x13. 下列函数中，在定义域内是单调增加、有界的函数是【 】

A. yx+arctanx B. ycosx

C. yarcsinx

D. yxsinx

4. 下列函数中，定义域是[,+],且是单调递增的是【 】

A. yarcsinx B. yarccosx C. yarctanx D. yarccotx

5. 函数yarctanx的定义域是【 】

A. (0,)

B. (2,2)

C. [2,2]

D. (,+)

6. 下列函数中，定义域为[1,1]，且是单调减少的函数是【 】

A. yarcsinx C. yarctanx A. (,) C. (,) A. (,) C. (,)

B. yarccosx

D. yarccotx B. [1,1]

7. 已知函数yarcsin(x1)，则函数的定义域是【 】

D. [2,0]

B. [1,1]

8. 已知函数yarcsin(x1)，则函数的定义域是【 】

D. [2,0]

9. 下列各组函数中，【 A 】是相同的函数

A. f(x)lnx2和 gx2lnx B. f(x)x和gxx2 C. f(x)x和gx(x)2 D. f(x)sinx和g(x)arcsinx

10. 设下列函数在其定义域内是增函数的是【 】

A. f(x)cosx B. f(x)arccosx

C. f(x)tanx D. f(x)arctanx 11. 反正切函数yarctanx的定义域是【 】

A. (,) B. (0,)

22C. (,) D. [1,1]

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12. 下列函数是奇函数的是【 】

A. yxarcsinx B. yxarccosx C. yxarccotx D. yx2arctanx

13. 函数y5lnsin3x的复合过程为【 A 】

A.y5u,ulnv,vw3,wsinx B.y5u3,ulnsinx C.y5lnu3,usinx D.y5u,ulnv3,vsinx

二、填空题

xxarctan的定义域是___________. 55x2. f(x)x2arcsin的定义域为 ___________.

31. 函数yarcsin3. 函数f(x)

x1的定义域为 ___________。 34. 设f(x)3x,g(x)xsinx,则g(f(x))=___________.

x2arcsin5. 设f(x)x2,g(x)xlnx,则f(g(x))=___________.

f(x)2x,g(x)xlnx,则f(g(x))=___________. 7. 设f(x)arctanx,则f(x)的值域为___________.

6.

8. 设f(x)x2arcsinx,则定义域为 . 9. 函数yln(x2)arcsinx的定义域为 .

10. 函数ysin(3x1)是由_________________________复合而成。

2

第二章 极限与连续

一、选择题

1. 数列{xn}有界是数列{xn}收敛的【 】

A. 充分必要条件 C. 必要条件

B. 充分条件

D. 既非充分条件又非必要条件

B. 必要而非充分条件

2. 函数f(x)在点x0处有定义是它在点x0处有极限的【 】

A. 充分而非必要条件

kxC. 充分必要条件 D. 无关条件

23. 极限lim(1x)e，则k【 】

x0A. 2 B. 2 C. e2 D. e2

4. 极限limsin2x【 】

xx 专业整理 知识分享

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A. 2 B.  C. 不存在 D. 0

5. 极限lim(1sinx)【 】

x01xA. 1 B.  C. 不存在 D. e

x216. 函数f(x)2，下列说法正确的是【 】.

x3x2A. x1为其第二类间断点 B. x1为其可去间断点

C. x2为其跳跃间断点 D. x2为其振荡间断点

7. 函数f(x)x的可去间断点的个数为【 】.

sinxA. 0 B. 1 C. 2 D. 3

x218. x1为函数f(x)2的【 】.

x3x2A. 跳跃间断点 B. 无穷间断点 C. 连续点 D. 可去间断点

9. 当x0时，x2是x2x的【 】

A. 低阶无穷小 B. 高阶无穷小

C. 等价无穷小 D. 同阶但非等价的的无穷小

10. 下列函数中，定义域是[1,1],且是单调递减的是【 】

A. yarcsinx C. yarctanx A. 有界数列一定收敛 B. 无界数列一定收敛

B. yarccosx

D. yarccotx

11. 下列命题正确的是【 】

C. 若数列收敛，则极限唯一

2

D. 若函数f(x)在xx0处的左右极限都存在，则f(x)在此点处的极限存在

12. 当变量x0时，与x等价的无穷小量是【 】

A . sinx B. 1cos2x C. ln1x2 D. e2x1

x2213. x1是函数f(x)的【 】.

x1A. 无穷间断点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 D. 连续点

14. 下列命题正确的是【 】

A. 若f(x0)A，则limf(x)A

xx0 B. 若limf(x)A，则f(x0)A

xx0C. 若limf(x)存在，则极限唯一

xx02 D. 以上说法都不正确

15. 当变量x0时，与x等价的无穷小量是【 】

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A. tanx B.1cos2x C. ln1x2 D.

e2x1

x2+116. x0是函数f(x)的【 】.

1cos2xA. 无穷间断点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D. 连续点

17. f(x0+0)与f(x00)都存在是f(x)在x0连续的【 】

A. 必要条件 C. 充要条件

B. 充分条件 D. 无关条件

218. 当变量x0时，与x等价的无穷小量是【 】

e2x1 A. arcsinx B . 1cos2x C. ln1x2 D.

x2119. x2是函数f(x)2的【 】.

x3x2A. 无穷间断点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D. 连续点

20. {un}收敛是{un}有界的【 】

A. 充分条件 C. 充要条件

B. 必要条件

D. 无关条件

21. 下面命题正确的是【 】

A. 若{un}有界，则{un}发散 B. 若{un}有界，则{un}收敛 C. 若{un}单调，则{un}收敛

22. 下面命题错误的是【 】

D. 若{un}收敛，则{un}有界 B. 若{un}无界，则{un}发散 D. 若{un}单调有界，则{un}收敛

A. 若{un}收敛，则{un}有界 C. 若{un}有界，则{un}收敛

23. 极限lim(13x)x【 】

x01A. B. 0 C. e3 D. e3

24. 极限lim(13x)【 】

x01xA. B. 0 C. e3 D. e3

25. 极限lim(12x)【 】

x02xA.e4 B. 1 C. e2 D. e4

xx326. x1是函数f(x)2的【 】

xx2A. 连续点 B. 可去间断点 C.无穷间断点 D. 跳跃间断点

xx327. x2是函数f(x)2的【 】

xx2A. 连续点 B. 可去间断点 C.无穷间断点 D. 跳跃间断点

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x2428. x2是函数f(x)2的【 】

xx2A. 连续点 B. 可去间断点 C.无穷间断点 D. 跳跃间断点

29. 下列命题不正确的是【 】

A. 收敛数列一定有界 B. 无界数列一定发散

D. 有界数列一定收敛

C. 收敛数列的极限必唯一

x2130. 极限lim的结果是【 】

x1x1A. 2 B. 2 C. 0 D.不存在

31. 当x→0时, xsin1是【 】 xsinx的【 】. xA. 无穷小量 B.无穷大量 C. 无界变量 D. 以上选项都不正确

32. x0是函数f(x)A. 连续点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D.无穷间断点

(1)n33. 设数列的通项xn1,则下列命题正确的是【 】

nA. xn发散 B. xn无界 C. xn收敛 D. xn单调增加

x2x34. 极限lim的值为【 】

x1xA. 1 B. 1 C. 0 D. 不存在 35. 当x0时,xsinx是x的【 】

A. 高阶无穷小 B. 同阶无穷小,但不是等价无穷小 C. 低阶无穷小 D. 等价无穷小

36. x0是函数f(x)1的【 】. 1exA. 连续点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D. 无穷间断点

37. 观察下列数列的变化趋势，其中极限是1的数列是【 】

n B. xn2(1)n n111 C. xn3 D. xn21

nnx

38. 极限lim的值为【 】

x0x

A. 1 B. 1 C. 0 D. 不存在

A. xn39. 下列极限计算错误的是【 】

sinxsinx1 B. lim1

xx0xx11x

C. lim(1)e D. lim(1x)xe

x0xxxx240. x1是函数f(x)2的【 】.

xx2A. lim 专业整理 知识分享

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A. 连续点 B. 可去间断点 C. 无穷间断点 D. 跳跃间断点

41. 当x时，arctanx的极限【 】

A.2 B.2 C. D.不存在

42. 下列各式中极限不存在的是【 】

A. limC. limx3x7xx12x21

B. lim2x12xx1sin3x12 D. limxxcos

xx0xx43. 无穷小量是【 】

A.比0稍大一点的一个数 B.一个很小很小的数 C.以0为极限的一个变量 D. 数0 44. 极限lim(1x)x【 】

x01A. B. 1 C. e1 D. e

x2145. x1是函数f(x)的【 】.

x1A. 可去间断点 B. 跳跃间断点 C.无穷间断点 D. 连续点

1xsin46. x0是函数f(x)xx1ex0x0的【 】

A. 连续点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 D. 无穷间断点

47. limxsin1的值为【 】

x0xA. 1 B.  C. 不存在 D. 0

48. 当x时下列函数是无穷小量的是【 】

xcosxsinx1xx2sinx A. B. C. D. (1)

xxxxx21x049. 设f(x)，则下列结论正确的是【 】

2x1x0

A.f(x)在x0处连续 B.f(x)在x0处不连续，但有极限 C.f(x)在x0处无极限 D.f(x)在x0处连续，但无极限

二、填空题

21. 当x0时，1cosx是x的_______________无穷小量.

2. x0是函数f(x)sinx的___________间断点. x 专业整理 知识分享

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2x3. lim(1)___________。

x01x4. 函数f(x)arctan1的间断点是x=___________。 x1x2(ex1)5. lim___________.

x0xsinxsinx,x06. 已知分段函数f(x)x连续，则a=___________.

xa,x07. 由重要极限可知，lim1+2x___________.

x01x

sinx,x08. 已知分段函数f(x)2x连续，则a=___________.

xa,x01x)___________. 9. 由重要极限可知，lim(1x2xsinx1,x110. 知分段函数f(x)x1连续，则b=___________.

xb,x111. 由重要极限可知，lim(12x)___________.

x01x

12. 当x→1时，x3x2与xlnx相比，_______________是高阶无穷小量. 113. lim1n2n2n532=___________.

(x1)214. 函数f(x)2的无穷间断点是x=___________.

x2x315. limtan2x=___________.

x03x3n5116. lim1n2n=___________.

(x1)217. 函数f(x)2的可去间断点是x=___________.

x2x31cosx=___________.

x0x22n5319. lim1=___________. n2n18. limx2120. 函数f(x)2的可去间断点是x=___________.

x3x4 专业整理 知识分享

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21. 当x0时，sinx与x3相比，_______________是高阶无穷小量. 122. 计算极限lim1nn2n2=___________.

23. 设函数fx2x1,x0，在x0处连续, 则a__________

xa,x0f(x)_______ .

x1(x1)(x1)24. 若当x1时, f(x)是x1的等价无穷小, 则lim125. 计算极限lim1=__________.

xxex,26. 设f(x)xa,x0,x0.4x5x 要使f(x)在x0处连续, 则a= .

27. . 当x→0时，xsinx与x相比， 是高阶无穷小量. 128. 计算极限lim1xx1= .

x22,29. 为使函数f(x)xa,23x0x0在定义域内连续，则a= .

30. 当x→0时，1cosx与sinx相比，_________________是高阶无穷小量. 31. 当x→0时，4x与sinx相比，_______________是高阶无穷小量.

32. 当x→1时，x1与sinx1相比，__________________是高阶无穷小量. k33. 若lim1e3，则k=___________.

xxx234. 函数f(x)x1的无穷间断点是x=___________.

x23x4x21135. 极限lim=______________.

x0x236. 设fxxsin,求limfx=___________.

xxcosx,x037. 设函数f(x)在x0处连续，则a=___________.

ax,x038. x0是函数f(x)sinx的 x （填无穷、可去或跳跃）间断点.

39. 函数f(x)xx1的可去间断点是x=___________.

x22x3240. lim1___________

xx 专业整理 知识分享

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三、计算题

x32x41. 求极限lim 2x2x42. 求极限limcos3xcos2x 2x0ln(1x)23. 4. 5. 6. 7. 8.

(ex1)求极限lim

x0xln(16x)(ex1)sinx求极限lim

x0xln(16x)(1cosx)sinx求极限lim2

x0xln(16x)1cosx求极限lim

x0x(e2x1)1cosx求极限lim

x0ln(1x2)12求极限lim2

x1x1x1第三章 导数与微分

一、选择题

1. 设函数f (x)可导，则limh0f(x3h)f(x)【 】

hC. 3f(x) D.  A. 3f(x) B.

1f(x) 31f(x)3

2. 设函数f (x)可导，则limx0f(1)f(1x)【 】

2x A. 2f(1) B.

11f(1) C. 2f(1) D. f(1)

22C. 0

D. 1 3. 函数yx在x0处的导数【 】

A. 不存在 B. 1

4. 设f(x)e2x，则f(0)【 】

A. 8 B. 2 C. 0

D. 1

5. 设f(x)xcosx，则f(x)【 】

A. cosxsinx B. cosxxsinx

C. xcosx2sinx D. xcosx2sinx 专业整理 知识分享

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6. 设函数f (x)可导，则limh0f(x2h)f(x)【 】

hC. 2f(x) D.  A. 2f(x) B.

1f(x) 21f(x) 27. 设ysinf(x)，其中f(x)是可导函数，则y=【 】 A. cosf(x) B. sinf(x)

C. cosf(x) D. cosf(x)f(x)

8. 设函数f (x)可导，则limh0f(x2h)f(x)【 】

hC. 2f(x) D.  A. 2f(x) B.

1f(x) 21f(x) 29. 设yf(arctanx)，其中f(x)是可导函数，则y=【 】

2 A. f(arctanx) B. f(arctanx)(1x)

C. f(arctanx)1x2 D.

f(arctanx)

1x210. 设yf(sinx)，其中f(x)是可导函数，则y=【 】 A. f(sinx) B. f(cosx)

C. f(sinx)cosx D. f(cosx)cosx

11. 设函数f (x)可导，则limh0f(x3h)f(x)【 】

2hC. f(x) D. A. 3f(x) B. 12. 设y=sinx，则y(10)

2f(x) 33f(x) 2|x=0=【 】

A. 1 B. -1 C. 0 13. 设函数f (x)可导，则limh0D. 2n f(x4h)f(x)【 】

2hC. 3f(x)

D. A. 2f(x) B. 4f(x) 14. 设y=sinx，则y|x=0=【 】

A. 1 B. 0 C. -1 15. 设函数f (x)可导，则lim(7)

1f(x) 2D. 2n

f(x4h)f(x)【 】

h02h A. -4f(x) B. 2f(x) C. -2f(x) D. 4f(x)

16. 设y=sinx，则y(7)x=【 】

A. 1 B. 0 C. -1 D. 2n 17. 已知函数f(x)在xx0的某邻域内有定义，则下列说法正确的是【 】 A. 若f(x)在xx0连续, 则f(x)在xx0可导

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B. 若f(x)在xx0处有极限, 则f(x)在xx0连续 C. 若f(x)在xx0连续, 则f(x)在xx0可微

D. 若f(x)在xx0可导, 则f(x)在xx0连续

18. 下列关于微分的等式中，正确的是【 】

A. d(11x2)arctanxdx B. d(2xln2)2xdx C. d(11x)2dx D. d(tanx)cotxdx

19. 设　limxf(x)f(0)sinxx0x24，则f(0)【 】 A. 3 B. 4 C. 43 D. 不存在

20. 设函数f(x)在xxf(x02h)f(x0)0可导，则limh0h【 】

A. 2f(x0) B. f(x0) C. 2f(x0) D. f(x0)

21. 下列关于微分的等式中，错误的是【 】

A. d(arctanx)11x2dx B. d(1x)1x2dx C. dcosxsinxdx D. d(sinx)cosxdx

22. 设函数fxcosx，则f(6)(0)【 】

A. 0 B. 1 C. -1 D. 不存在 23. 设f(x)ex，则f(1x)f(1)limx0x【 】

A. 1 B. e C. 2e D. e2

24. 设函数f(x)在xxf(x02h)f(x0)0可导，则limh0h【 】

A. 2f(x0) B. f(x0) C. 2f(x0) D. f(x0)

25. 下列关于微分的等式中，错误的是【 】

A. d(arctanx)111x2dx B. d(x)1x2dx C. dcosxsinxdx D. d(sinx)cosxdx

26. 设函数f(x)在xxf(x02h)f(x0)0处可导，且f(x0)k，则limh0h【 A. 2k B. 112k C. 2k D. 2k

27. 设函数f(x)在xx04h)f(x0)0可导，则limf(h0h【 】

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A. 4f(x0) B.

1f(x0) 4C. 4f(x0) D. 1f(x0) 428. 设函数f(x)在x0可导且f(x0)2，则limh0f(x0h)f(x02h)【 】

h A. -2 B. 1 C. 6 D. 3 29. 下列求导正确的是【 】

 A. sinx2xcosx B. sincos

441C. ecosxecosx D. ln5x

x30. 设fxxlnx，且fx02，则fx0=（ ）。

2eA. B. e C. D. 1

e2231. 设ysinx，则y=【 】

(8)

A. sinx B. cosx C. sinx D. cosx

32. 设yf(x)是可微函数，则df(cosx)（ ）． A.f(cosx)dx B.f(cosx)sinxdx

C.f(sinx)cosxdx D. f(cosx)sinxdx

633. 已知yxlnx,则y【 】

B.

A. C.

1 x! x51 x!D. 5

x二、填空题

12x1在点(2,3)处的切线方程是_____________. 2x2. 函数yln(1e)的微分dy=_____________.

1. 曲线y3. 设函数f(x)有任意阶导数且f'(x)f(x)，则f(x) 。 4. 曲线ycosx在点(5. 函数yesin2x21,)处的切线方程是 。 32的微分dy= dx。

6. 曲线yxlnxx在点xe处的切线方程是_____________. 7. 函数yx21的微分dy=_____________.

1Q2，则Q900时的边际成本是___________. 12008. 某商品的成本函数C1100 专业整理 知识分享

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9. 设函数yf(x)由参数方程xcosdy所确定，则=_____________.

dxysin10. 函数y(2x5)9的微分dy=_____________.

11. 曲线f(x)lnx在点(1,0)处的法线方程是___________. 12. 设函数yf(x)由参数方程xacostdy所确定，则=_____________.

dxybsint13. 函数ylnsinx2的微分dy=_____________. 14. 某商品的成本函数C___________.

12Q20Q160，0则Q500时的边际成本是100xtsintdy15. 设函数yf(x)由参数方程所确定，则=_____________.

dxy1cost16. 函数yarctan1x2的微分dy=_____________.

17. 曲线ylnx1在点e,2处的切线与y轴的交点是_____________. 18. 函数ye2xcos3xln2的微分dy=_____________.

19. 曲线y2lnx1在点e,3处的切线与y轴的交点是_____________. 20. 函数yesin3xln2的微分dy=_____________.

21. 曲线y2lnx21在点1,1处的切线与y轴的交点是___________. 22. 函数yesin3x6的微分dy=___________. 23. 已知f(x0)1，则limh02xx2f(x02h)f(x0)＝_____________.

3h24. 已知函数ye，则y_____________. 25. 函数yln(x1)的微分dy_____________. 26. 已知函数ysinx，则y22x2(6) .

27. 函数yxex的微分dy= .

28. 已知曲线y22xx的某条切线平行于x轴，则该切线的切点坐标为 . 29. 函数yln(cos2x)的微分dy= .

30. 已知曲线yfx在x2处的切线的倾斜角为，则f2 . 31. 若y256x(x1)(x2)，则y(0)

．

32. 函数yarctan2x的微分dy=______________.

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33. 已知函数yf(x)是由参数方程dyxacost______________. 确定，则dxybsint34. 函数yln1x2的微分dy=_____________. 35. 函数ylnsinx的微分dy= 36. 由参数方程

xtsintdy ． 所确定的函数的导数dxy1cost三、计算题

1. 设函数yxln(1x2)，求dyx1

2. 求由方程ex2yxy所确定的隐函数yyx的导数y。

xt12ytt在t0相应点处的切线与法线方程. 3. 求曲线

4. 设函数yx1x2，求dy.

yyxye20所确定的隐函数，求dy,dy5. 设是由方程

dxdxx0。

6. 求椭圆

7. 设函数yxarctanx，求dy.

xyyxyee0所确定的隐函数，求dy,dy8. 设是由方程

dxdxx0x4cost在t相应点处的切线与法线方程.

4y2sint。

xtsint9. 求摆线在t相应点处的切线与法线方程.

2y1cost

d2y10. 设函数yln(x1x)，求y(0)及2.

dx2

11. 求由方程ysin(xy)所确定的隐函数y的导数

dy. dxd2y12. 设函数ysinlnxesin2x，求2

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13. 求由方程eyxye所确定的隐函数y的导数y(0).

14. 设函数ylnx1x

15. 求由方程x2y21所确定的隐函数y在x3处的导数y(3).

16. 设函数yarctan1x2cos2x，求微分dy.

17. 设函数yln(1ex)sin2x，求微分dy..

18. 设函数ysinx31lnex,求微分dy.

19. 求由方程ysinxexy1所确定的隐函数y的导数20. 求由方程ysinxexy

21. 求由方程ycosxyexy1所确定的隐函数y的导数

xx02e1,22. 设函数f(x)2在x0处可导，求b的值.

x0xbx1,22d2y，求2.

dxdydy并求dxdxdydy1所确定的隐函数y的导数并求dxdxx0. .

x0dydy并求dxdxx0.

23. 已知方程sin(xy)ln(x1)lny1所确定的隐函数yy(x)，求

24. 已知函数yarctan1x2，求函数在x0处的微分dy

25. 用对数求导法求函数yx

26. 求由方程xye

27. 设yf(sin2x),其中f是可微函数，求y

28. 设ye

2x2dydxx0.

cosx(x0)的导数.

xey0所确定的隐函数y，求函数在x0处的微分dy.

cos3x,求dy.

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29. 求由方程xyexy所确定的隐函数y的导数

dydy,dxdx.

x1y130. 求由方程exeysinxy所确定的隐函数y的导数

31. 设函数f(x)ln(x1x2)，求f(x)和f(0)

dydy,dxdxx0.

tx2e32. 求曲线在t0相应点处的切线方程与法线方程. tye33. 已知y是由方程sinyxey0所确定的隐函数，求y的导数

线在点0,0处切线的斜率。

34. 设函数ycos3xsin3x，求dy.

dy,以及该方程表示的曲dx四、综合应用题

xlnt2t1. 求在t1相应点处的切线与法线方程. 2yt2

xlnt3t2．求在t1相应点处的切线与法线方程. 2yt1 3．求xlnt3tyet1t在t1相应点处的切线与法线方程.

第四章 微分中值定理与导数应用

一、选择题

1. 设函数f(x)sinx在[0,]上满足罗尔中值定理的条件，则罗尔中值定理的结论中的

【 】

A.  B.  C. D. 2341 D. ln(2x) lnx2. 下列函数中在闭区间[1,e]上满足拉格朗日中值定理条件的是【 】

A. lnx B. lnlnx C.

3. 设函数f(x)(x1)(x2)(x3)，则方程f'(x)0有【 】

A. 一个实根 C. 三个实根

B. 二个实根 D. 无实根

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4. 下列命题正确的是【 】

A. 若f(x0)0，则x0是f(x)的极值点 B. 若x0是f(x)的极值点，则f(x0)0

C. 若f(x0)0，则x0，fx0是f(x)的拐点 D. 0,3是f(x)x42x33的拐点

5. 若在区间I上，f(x)0,f(x)0,, 则曲线f (x) 在I上【 】

A. 单调减少且为凹弧 B. 单调减少且为凸弧 C. 单调增加且为凹弧 D. 单调增加且为凸弧

6. 下列命题正确的是【 】

A. 若f(x0)0，则x0是f(x)的极值点 B. 若x0是f(x)的极值点，则f(x0)0

C. 若f(x0)0，则x0，fx0是f(x)的拐点 D. 0,3是f(x)x42x33的拐点

7. 若在区间I上，f(x)0,f(x)0,, 则曲线f (x) 在I上【 】

A. 单调减少且为凹弧 B. 单调减少且为凸弧 C. 单调增加且为凹弧 D. 单调增加且为凸弧

8. 下列命题正确的是【 】

A. 若f(x0)0，则x0是f(x)的极值点

B. 若x0是f(x)的极值点，则f(x0)0

C. 若f(x0)0，则x0，fx0是f(x)的拐点 D. 0,3是f(x)x42x33的拐点

9. 若在区间I上，f(x)0,f(x)0,, 则曲线f (x) 在I上【 】

A. 单调减少且为凹弧 B. 单调减少且为凸弧 C. 单调增加且为凹弧 D. 单调增加且为凸弧

10. 函数yx5x6, 在闭区间 [2,3]上满足罗尔定理，则=【 】

2A. 0 B.

215 C. D. 2 221 C. 1 D. 2 211. 函数yxx2在闭区间[1,2]上满足罗尔定理，则=【 】

A. 0 B.

12. 函数yx21,在闭区间[2,2]上满足罗尔定理，则=【 】

1A. 0 B. C. 1 D. 2

213. 方程xx10至少有一个根的区间是【 】

A.(0,1/2) B.(1/2,1) C. (2,3) D.(1,2)

414. 函数yx(x1).在闭区间1,0上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的

 【 】

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11 C. 1 D. 2215. 已知函数fxx32x在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，则拉格朗日

A. 0 B. 定理成立的是【 】

1111 B. C.  D. 

333316. 设yx327，那么在区间(,3)和(1,)内分别为【 】

A. A.单调增加，单调增加 B.单调增加，单调减小 C.单调减小，单调增加 D.单调减小，单调减小

二、填空题

1. 曲线f(x)x33x25的拐点为_____________. 2. 曲线f(x)xe2x的凹区间为_____________。

3. 曲线f(x)x35x23x5的拐点为_____________. 4. 函数y2x2lnx的单调增区间是___________. 5. 函数yexx1的极小值点为_____________.

6. 函数y2x39x212x3的单调减区间是___________. 7. 函数y2xlnx的极小值点为_____________. 8. 函数yexx的单调增区间是___________. 9. 函数yx2x的极值点为_____________.

10. 曲线yx42x36在区间(,0)的拐点为_____________. 11. 曲线yx3x1在区间(,0)的拐点为_____________. 12. 曲线yx33x26的拐点为___________.

13. 函数y2x36x212x8的拐点坐标为 . 14. 函数y2x33x2在x_______有极大值．

15. 曲线yxarctanx在x0处的切线方程是___________. 16. 曲线y3x44x31在区间(0,)的拐点为_____________. 17. 过点(1,3)且切线斜率为2x的曲线方程是y= ．

322

三、计算题

1. 求极限lim(x011x) xe11x1)sinx

求极限lim(2.

x0 专业整理 知识分享

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exx13. 求极限lim

x0ln(1x2)

4. 求极限lim(x1x1) x1lnx

5. 求极限lim(x011) 2xxsinx

6. 求极限lim(x01x1) xe1

7. 求极限limx0xsinxx(e1)x2

四、综合应用题

1. 设函数f(x)2x3x4.求

(1) 函数的单调区间；(2)曲线yf(x)的凹凸区间及拐点.

2. 设函数f(x)x3x3.求

3232(1) 函数的单调区间；(2)曲线yf(x)的凹凸区间及拐点.

3. 设函数f(x)x3x9x1.求f(x)在[0,4]上的最值

4. 设函数f(x)4x-12x3.求

(1) 函数的单调区间与极值；(2)曲线yf(x)的凹凸区间及拐点.

5. 某企业每天生产x件产品的总成本函数为C(x)2000450x0.02x，已知此产品

的单价为500元，求：

23232 专业整理 知识分享

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(1) 当x50时的成本；

(2) 当x50到x60时利润变化多少?

(3) 当x50时的边际利润，并解释其经济意义。

6. 设生产某种产品x个单位的总成本函数为C(x)9002xx2，问：x为多少时能使

平均成本最低，最低的平均成本是多少？并求此时的边际成本，解释其经济意义。

7. 某商品的需求函数为q3003p(q为需求量, P为价格)。问该产品售出多少时得到

的收入最大？最大收入是多少元？并求q30时的边际收入，解释其经济意义。

8. 某工厂要建造一个容积为300m的带盖圆桶，问半径r和高h如何确定，使用的材料

最省？

9. 某商品的需求函数为Q1021P(Q为需求量, P为价格). 2 (1) 求P2时的需求弹性, 并说明其经济意义.

(2) 当P3时, 若价格P上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少?

10. 求函数f(x)ecosx在,上的最大值及最小值。

x

11. 某商品的需求函数为Q80P12P(Q为需求量, P为价格). 100 (1) 求P5000时的需求弹性, 并说明其经济意义.

(2) 当P5000时, 若价格P上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少?

12. 某商品的需求函数为Q658PP2(Q为需求量, P为价格).

(1) 求P5时的边际需求, 并说明其经济意义. (2) 求P5时的需求弹性, 并说明其经济意义.

(3) 当P5时, 若价格P上涨1%, 总收益将如何变化? 14. 某商品的需求函数为Q402PP(Q为需求量, P为价格).

(1) 求P5时的边际需求, 并说明其经济意义. (2) 求P5时的需求弹性, 并说明其经济意义.

(3) 当P5时, 若价格P上涨1%, 总收益将如何变化?

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15. 某商品的需求函数为Q354PP2 (Q为需求量, P为价格).

(1) 求P5时的边际需求, 并说明其经济意义. (2) 求P5时的需求弹性, 并说明其经济意义.

(3) 当P5时, 若价格P上涨1%, 总收益将如何变化?

16. 设函数f(x)4x3-12x23.求

(1) 函数的单调区间与极值；(2)曲线yf(x)的凹凸区间及拐点.

17. 设某企业每季度生产的产品的固定成本为1000(元),生产x单位产品的可变成本为

0.01x210x(元).如果每单位产品的售价为30(元).试求:

(1)边际成本,收益函数,边际收益函数;

(2)当产品的产量为何值时利润最大,最大的利润是多少?

18. 设函数f(x)x33x29x1.求

(1) 函数的单调区间与极值；(2)曲线yf(x)的凹凸区间及拐点.

19. 求函数f(x)sinxcosx在[0,]上的极值.

20试求fxx3x的单调区间，极值，凹凸区间和拐点坐标．

3

五、证明题

1. 证明：当0x时，arctanxx。

2. 应用拉格朗日中值定理证明不等式：

当0ab时，

3. 设f(x)在[0,1]上可导，且f(1)0。证明：存在(0,1)，使f()f()0成

立。

4. 设f(x)在闭区间[0, ]上连续，在开区间(0, )内可导， （1）在开区间(0, )内，求函数g(x)sinxf(x)的导数.

babbaln。 baa 专业整理 知识分享

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（2）试证：存在(0,)，使 f()cotf()0.

.

5. 设f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)f(b)0, （1）在开区间(a,b)内，求函数g(x)e-kxf(x)的导数.

（2）试证：对任意实数k，存在(a,b)，使 f()kf().

6. 求函数f(x)arctanx的导函数，

（2）证明不等式：arctanx2arctanx1x2x1，其中x2x1.（提示：可以用中值定理）

7. 证明方程x53x210x10有且只有一个大于1的根.

528. 证明方程x4x8x1有且只有一个大于1的根.

9. 证明方程x53x27x1有且只有一个大于1的根.

10. 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导，f(a)f(b)0,且存在点c(a,b)使

f(c)0.证明：至少存在一点(a,b)，使f()0.

11. 设f(x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 且f(0)0, f(1)1.

证明: (1) 存在(0,1), 使得f()1; (2) 存在两个不同的,(0,1), 使f()f()1.

12. 设f(x)在[1,2]上有二阶导数，且f(1)f(2)0.又

F(x)(x1)2f(x).证明：至少存在一点(1,2)，使F()0

413. 证明方程xx10在(0,1)上有且只有一个根.

14. 证明：当0x时，arctanxx.

x15. 设f(x)在(,)内满足关系式f'(x)f(x)，且f(0)1，则f(x)e。（提示：

设辅助函数Fx

fx）

ex第五章 不定积分

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一、填空题

1. 若F(x)是f(x)的一个原函数, 则【 】

A. f(x)dxF(x)C B. f(x)dxF(x)C C. df(x)F(x)C D. dF(x)f(x)C

2. 若

f(x)dxe2xxC, 则f(x)【 】

A. 2xe2x(1x) B. 2e2x C. e2x D. 2e2x1

3. 下列哪个函数不是sin2x的原函数【 】

A. sin2x B. -cos2x C. -cos2x D. cos2x

12f(x)2dxxC, 则f(x)=【 】 x21A. 2x3 B. x2 C. x3 D. 3x3

2f(x)dxx2C, 则f(x) =【 】 5. 若sinx22A. xsinx B. 2xcosx C. 2xsinx D. xcosx

33f(x)dxx2C, 则f (x)=【 】 6. 若cosx22A. xsinx B. 2xcosx C. 2xsinx D. xcosx

337. 若f(x)sinx2,则f(x)dx【 】

4. 若

A. 2xcosx2 C. cosx2C

8. 设函数f(x)3x3x2，则

32B. sinx2 D. sinx2C

f(x)dx【 】

32A. 9x22x B. 9x22xC

C. 3xxC D. 3xx 9.

x4x21dx【 】

133222xC B.C C.x2C D.x22xC A.332x2x10.

sin2xdx【 】

1cos2xC B.sin2xC 21C.cos2xC D.cos2xC

2A.

二、填空题

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1. 设sinx是f(x)的一个原函数，则[f(x)+x]dx_________________________. 2. 若3. [f(x)dxF(x)C，则exf(ex)dx _________________________。

1sin2xdx]'_________________________.

4. 设F(x)f(x)，则

f(x2)2xdx=__________________.

5. 已知F(x)f(x)，则6. 设F(x)f(x)，则

f(cosx)sinxdx__________________.

f(lnx)dx__________________. x27. 设f(x)的一个原函数为lnx,则8. 9.

2f(x)dx_________________________.

设f(x)的一个原函数为cosx,则f(x)dx_________________________.

_________________________. （f(x)dx）设f(x)的一个原函数为xe,则

x10. 设[lnf(x)]1,则f(x) . 21x211. 已知f(x)ex,则

f(x)dx__________________.

12. 已知f(x)的一个原函数为tanx,则f(x)f(x)dx . 13. (ex)dx＝_______________________.

x(1x)2dx ． 14. x

三、计算题：

1. 求arcsinxdx 2.

x求exdx

cosx2sinx3dx

4. 求xsinxdx

3. 求

5. 求xedx 6. 求

x11(sin+1)dx x2x7. 求xedx 8. 求

2xxarctanx1x2dx

9. 求xcosxdx

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10. 求

1x1xdx

11. 求arccosxdx

12. 求

1x1xdx

13. 求xe3xdx

14. 求x1xdx 15. 求x2sinxdx

16. 求

1(x1)(x3)dx

17. 求xe2xdx

18. 求

113xdx

19. 求2xcosxdx

20. 求

11exdx 21. 求x2lnxdx

22. 求tanxdx

23. 求arccosxdx. 24. 求x2lnxdx

25. 求

cosx2sinx3dx

26. 求exdx.

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