教学案例 ｎ—ｎｏｖ ａｔｌｏ ｎ Ｈ ｅｒａｌｄ ＿ 浅谈数学中的猜想 胡罗生 陈小霞 （湖北省石首市南岳中学 湖北石首４３４４００） 摘要：有关猜想的四种方法，指出学习数学必须具备对未知世界大胆的猜想和坚持不懈的探求精神。 关键词：猜想归纳类比审美探索 中图分类号：Ｇ６ ３ ３．６ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７３—９７ ９５（Ｚ０１０）０８（ｃ）－ｏ０８７－０１ 猜想是人们依据已知事实和知识，对研究的问题和对象作出 ＰＢＣ＝ＳＡＡＢＣ，便可得３ｘ＋４ｙ＋５ｚ＝６，于是： 的一种预测性的判断，它是一种极具创造性的思维活动，牛顿曾说 过：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。”笔者认为，教师在数 厂（Ｐ）＝ｘｙｚ＝ （３ｘ＇４ｙ＇５ Ｚ）≤ （ ） ＝ １（ｊ６） ＝ 学教学中不仅要鼓励学生进行大胆猜想，使学生养成取于猜想，勇 于探索的思维习惯，更要教给他们一些猜想的规律和方法，使它们 的猜想，猜之有“理”，猜之有“据”。 １归纳猜想 归纳猜想是通过对一类事物的部分对象部分性质的研究，从 中做出这类事物的一般性结论的猜想，拉普拉斯说：“甚至在数学 里，发现真理的工具也是归纳与类比。”利用这种猜想，可发现和解 决某些一般性问题。 例１：平面内的ｎ条直线最多把平面分成几个部分？并证明你的 结论 显然，直线把平面分成的部分最多的条件是每两条直线都相 交，且任何３条直线不过同一点。由于１条直线把平面分成２个部分； ２条直线把平面分面４＝２＋２个部分；３条直线把平面分成７＝２＋２＋３ 个部分…… 归纳猜想：ｎ条直线最多把平面分成２＋２＋３＋４＋… ｎ（ｎ＋１、 １ ＋ｎ＝ｌ＋— （ｎ２＋ｎ＋２）个部分。 二 最后用数学归纳法证明这个猜想（证略）。 ２类比猜想 类比猜想是根据两个或两类对象之间在某些方面的相似或相 同，从而猜测它们在其它方面也可能相似或相同的一种猜想。可由 两个命题中条件的相似，去猜想结论的相似；也可由两个命题中条 件结论的相似，去猜想推理方法的相似。比如在学习立体几何时， 由“正三角形内任意一点到三边距离之和为定值”，猜想出“正四面 体内任意一点到各面的距离之和为定值”，便是通过维数的高低进 行类比猜想的。 正如德国数学家康德所指出的：“每当理智缺乏可靠论证时， 类比这个方法往往能指引我们前进。”恰当地运用类比猜想，可以 巧妙地解决一些问题。 ３探索猜想 正如张楚迂教授所说：“在创造过程中，猜想常常是一个接一 个的，一个猜想被证实了，又转入另一个猜想；一个猜想被否定了， 又调换一个新猜想。” 我们对问题的猜想实际上就是一个探索的 过程，若猜想错误，需要新猜想，通过多次探索修改，逐步增强共可 靠性或合理性。 例２：已知ＡＡＢＣ的边长分别为２，１．５和２．５，Ｐ为△ＡＢＣ内一 点，求点Ｐ到三边距离积的最大值。 分析：设点Ｐ到三边的距离为ｘ、Ｙ、Ｚ，ｆ（ｐ）＝ｘｙｚ，考虑用平均值不 等式求最大值。为此，猜想ｘ＋ｙ＋ｚ为定值。由已知易得，ＡＡＢＣ是直 角三角形，我们只要在斜边所在的高上取两点，便可验证ｘ＋ｙ＋ｚ为 定值不可能，进一步猜想：如果Ｘ、Ｙ、ｚ的若干倍之和为定值，则问题 可解决。事实上，根据三角形面积关系ｓ△ＰＡＣ＋Ｓ△ＰＡＢ＋ＳＡ ２ １ ２ ２ ’＿・Ｎ３ｘ＝４ｙ ， Ｉｌｘ＝ ，ｙ ， 时，ｘｙ 最大值为 。 ４审美猜想 审美猜想是根据数学美的特点——简单性、对称性、相似性、和 谐性、奇异性等，对研究的对象或问题的特点，结合已有的知识与 经验做出的直觉性猜想。例如在计算１＋２＋３＋…＋９９＋１００＝？中，就 是数学的对称美，有ｌ＋１００＝２＋９９＝…＝５０＋５１＝１０１，故结果为ｌ０１ Ｘ ５０＝５０５０。 ４ １ ， 】０００ 例 ：设 （ｘ） ，求和式ｆ‘ ）＋ｆ‘ －＿）＋…＋ｆ‘而 ）的 值。［４１ 初看本题似难以下手，通过观察发现，待求式中自变量呈对称 ． １ １０００ ２ ９９９ ５００ ５０１ 美，有而＋而 而＋而一…一１００１＋而 的关系， 从数学的和谐统一出发，猜想：若自变量的和为ｌ，则其函数值之和 等于一个常数，经检验，果然有ｆ（ｘ）＋ｆ（１一ｘ）＝１于是所求之和为５００。 这道题不仅反映了数学知识内部的和谐统一，也反映了人们 对数学美的心理追求，这种追求意识越强，越容易产生直觉思维， 也越能把握与发现数学知识和谐的关系，确定解题方向。 以上几种是中学数学中常用的猜想，但这些猜想有时是不能 截然划分的，如审美直觉在解题过程中往往起着和决策作用， 正是由于人们对数学美的追求才引发对所研究的问题提出种种猜 想，而且数学猜想的结果不一定是正确的。它的正确性要经过逻辑 论证，波利亚曾指出：“如果把这样的猜想的似真性当作肯定的，那 将是愚蠢的。但是忽视这种似真的猜想的规律将同样是愚蠢甚至 更为愚蠢的。” 参考文献 ［１］Ｇ・波利亚．数学与猜想（第一卷）【Ｍ］．北京科学出版社，１９８４，３ 【２］数学教学研究．甘肃省数学会与西北师范大学合办，２００２，４． 【３】张楚迁．数学与创造［Ｍ】．长沙：湖南教育出版社，１９９０，１ １． 【４］任樟辉．数学思维论［Ｍ］．南宁：广西教育出版社，１ ９９６． 中国科教创新导刊 Ｃｈｉｎａ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ ８７
