2021学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的
1. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A.1，√2，√3
2. 某地需要开辟一条隧道，隧道𝐴𝐵的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点𝐶，使点𝐶均可直接到达𝐴，𝐵两点，测量找到𝐴𝐶和𝐵𝐶的中点𝐷，𝐸，测得𝐷𝐸的长为1100𝑚，则隧道𝐴𝐵的长度为（ ）
B.2，3，4
C.1，2，3
D.4，5，6
A.3300𝑚
3. 平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 中，有两个内角的比为1:2，则这个平行四边形中较小的内角是（ ） A.45∘
4. 在“我的中国梦”演讲比赛中，有5名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这5名学生成绩的( ) A.中位数
5. 一次函数𝑦=−2𝑥+1的图象不经过的象限是( ) A.第一象限
6. 已知一元二次方程𝑥2−6𝑥+𝑐=0有一个根为2，则另一个根为( ) A.2
7. 已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的周长是（ ） A.36
B.30
C.24
D.20
B.3
C.4
D.−8
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
1
B.2200𝑚 C.1100𝑚 D.550𝑚
B.60∘ C.90∘ D.120∘
B.众数 C.平均数 D.方差
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8. 关于𝑥的一元二次方程(𝑎−5)𝑥2−4𝑥−1=0有实数根，则𝑎满足( ) A.𝑎≥1
9. 如图，函数𝑦=2𝑥和𝑦=𝑎𝑥+4的图象相交于点𝐴(𝑚, 3)，则不等式2𝑥≥𝑎𝑥+4的解集为( )
B.𝑎>1且𝑎≠5
C.𝑎≥1且𝑎≠5
D.𝑎≠5
A.𝑥≥2
10. 如图，大小两个正方形在同一水平线上，小正方形从图①的位置开始，匀速向右平移，到图③的位置停止运动．如果设运动时间为𝑥，大小正方形重叠部分的面积为𝑦，则下列图象中，能表示𝑦与𝑥的函数关系的图象大致是（ ）
3
B.𝑥≤3
C.𝑥≤2
3
D.𝑥≥3
𝐵．
A. C.
D.
二、填空题：（本题共24分，每小题3分）
写出一个图象经过一，三象限的正比例函数𝑦=𝑘𝑥(𝑘≠0)的解析式（关系式）________．
甲乙两人8次射击的成绩如图所示（单位：环）根据图中的信息判断，这8次射击中成
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绩比较稳定的是________（填“甲”或“乙”）
方程𝑥2−2𝑥=0的根是________．
如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90∘，𝐷，𝐸，𝐹分别是𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐶𝐴的中点，若𝐶𝐷=6𝑐𝑚，则𝐸𝐹=________𝑐𝑚．
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈＝10尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面 1 尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是𝑥尺，根据题意，可列方程为________．
如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，若菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的顶点𝐴，𝐵的坐标分别为(−3, 0)，(2, 0)，点𝐷在𝑦轴上，则点𝐶的坐标是________．
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如图，沿折痕𝐴𝐸折叠矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的一边，使点𝐷落在𝐵𝐶边上一点𝐹处．若𝐴𝐵=8，且
△𝐴𝐵𝐹的面积为24，则𝐸𝐶的长为________．
在数学课上，老师提出如下问题：
如图1，将锐角三角形纸片𝐴𝐵𝐶(𝐵𝐶>𝐴𝐶)经过两次折叠，得到边𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐶𝐴上的点𝐷，𝐸，𝐹．使得四边形𝐷𝐸𝐶𝐹恰好为菱形． 小明的折叠方法如下： 如图2，（1）𝐴𝐶边向𝐵𝐶边折叠，使𝐴𝐶边落在𝐵𝐶边上，得到折痕交𝐴𝐵于𝐷； （2）𝐶点向𝐴𝐵边折叠，使𝐶点与𝐷点重合，得到折痕交𝐵𝐶边于𝐸，交𝐴𝐶边于𝐹． 老师说：“小明的作法正确．”
请回答：小明这样折叠的依据是________．
三、解方程：（本题共8分，每小题8分）
解方程：
（1）2𝑥2−3𝑥+1=0．
（2）𝑥2−8𝑥+1=0．（用配方法）
四、解答题：（本题共18分，21-22每小题4分，23-24每小题4分）
某乡镇企业生产部有技术工人15人，生产部为了合理制定产品的每月生产定额，统计了这15人某月的加工零件个数．（如下表）
每人加工零件数 54 45 30 24 21 12 人 数 （1）写出这15人该月加工零件数的平均数、中位数和众数；
（2）假设生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为24件，你认为是否合理？为什么？如果不合理，请你设计一个较为合理的生产定额，并说明理由．
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1 1 2 6 3 2
某地区2014年投入教育经费2500万元，2016年投入教育经费3025万元，求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率．
如图，已知𝐸、𝐹分别是▱𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐵𝐶、𝐴𝐷上的点，且𝐵𝐸＝𝐷𝐹．
（1）求证：四边形𝐴𝐸𝐶𝐹是平行四边形；
（2）若𝐵𝐶＝10，∠𝐵𝐴𝐶＝90∘，且四边形𝐴𝐸𝐶𝐹是菱形，求𝐵𝐸的长．
如图，直线𝐴𝐵与𝑥轴交于点𝐴(1, 0)，与𝑦轴交于点𝐵(0, −2)．
(1)求直线𝐴𝐵的表达式；
(2)若直线𝐴𝐵上的点𝐶在第一象限，且𝑆△𝐵𝑂𝐶=2，求点𝐶的坐标． 五、解答题：（本大题共20分，25-26题每题6分，27题8分）
在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形𝐴𝐵𝐶𝐷与边长为3的正方形𝐴𝐸𝐹𝐺按图1位置放置，𝐴𝐷与𝐴𝐸在同一条直线上，𝐴𝐵与𝐴𝐺在同一条直线上． （1）小明发现𝐷𝐺=𝐵𝐸且𝐷𝐺⊥𝐵𝐸，请你给出证明．
（2）如图2，小明将正方形𝐴𝐵𝐶𝐷绕点𝐴逆时针旋转，当点𝐵恰好落在线段𝐷𝐺上时，请你帮他求出此时△𝐴𝐷𝐺的面积．
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已知：关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2−2(𝑎−1)𝑥+𝑎−2=0(𝑎>
0)．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为𝑥1，𝑥2（其中𝑥1>𝑥2）．若𝑦是关于𝑎的函数，且𝑦=𝑎𝑥2⋅𝑥1，求这个函数的表达式；
（3）将（2）中所得的函数的图象在直线𝑎=2的左侧部分沿直线𝑎=2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象直接写出：当关于𝑎的函数𝑦=2𝑎+𝑏的图象与此图象有两个公共点时，𝑏的取值范围是________．
如图，将矩形𝐴𝐵𝐶𝐷置于平面直角坐标系中，其中𝐴𝐷边在𝑥轴上，𝐴𝐵=2，直线
𝑀𝑁:𝑦=𝑥−4沿𝑥轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的边截得的线段长度为𝑚，平移时间为𝑡，𝑚与𝑡的函数图象如图2所示． （1）点𝐴的坐标为________，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为________；
（2）求𝑎，𝑏的值；
（3）在平移过程中，求直线𝑀𝑁扫过矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积𝑆与𝑡的函数关系式，并写出自变量𝑡的取值范围．
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参考答案与试题解析
2021学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的
1.
【答案】 A
【考点】
勾股定理的逆定理 【解析】
求出两小边的平方和、最长边的平方，看看是否相等即可． 【解答】
𝐴、∵ 12+(√2)2＝(√3)2，
∴ 以1、√2、√3为边组成的三角形是直角三角形，故本选项正确； 𝐵、∵ 22+32≠42，
∴ 以2、3、4为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误； 𝐶、∵ 12+22≠32，
∴ 以1、2、3为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误； 𝐷、∵ 42+52≠62，
∴ 以4、5、6为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误； 2. 【答案】 B
【考点】
三角形中位线定理 【解析】
根据三角形中位线定理得到𝐴𝐵＝2𝐷𝐸，计算即可． 【解答】
∵ 𝐷，𝐸为𝐴𝐶和𝐵𝐶的中点， ∴ 𝐴𝐵＝2𝐷𝐸＝2200𝑚， 3. 【答案】 B
【考点】
平行四边形的性质 【解析】
根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角相等，邻角互补，故该平行四边形的四个角的比值为1:2:1:2，所以可以计算出平行四边形的各个角的度数． 【解答】
根据平行四边形的相邻的两个内角互补知，设较小的内角的度数为𝑋， 则有：𝑥+2𝑥＝180∘ ∴ 𝑥＝60∘，
即较小的内角是60∘ 4.
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【答案】 A
【考点】 统计量的选择 【解析】
由于比赛取前3名进入决赛，共有5名选手参加，故应根据中位数的意义分析． 【解答】
解：因为5位进入决赛者的分数肯定是5名参赛选手中最高的，
而且5个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之前的共有3个数， 故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否进入决赛了. 故选𝐴. 5.
【答案】 C
【考点】
一次函数图象与系数的关系 【解析】
根据一次函数𝑦=−2𝑥+1中𝑘=−2<0，𝑏=1>0，判断出函数图象经过的象限，即可判断出一次函数𝑦=−2𝑥+1的图象不经过的象限是哪个． 【解答】
解：∵ 一次函数𝑦=−2𝑥+1中𝑘=−2<0，𝑏=1>0， ∴ 此函数的图象经过第一、二、四象限，
∴ 一次函数𝑦=−𝑥+1的图象不经过的象限是第三象限．
21
1
1
1
1
1
故选𝐶． 6. 【答案】 C
【考点】
根与系数的关系 【解析】
利用根与系数的关系来求方程的另一根． 【解答】
解：设方程的另一个根为𝑎，则𝑎+2=6， 解得𝑎=4．故另一个根为4. 故选𝐶. 7.
【答案】 D
【考点】 菱形的性质 【解析】
根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形
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的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可． 【解答】
解：如图所示，
1
1
根据题意得𝐴𝑂=2×8=4，𝐵𝑂=2×6=3， ∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，
∴ 𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐷𝐴，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷， ∴ △𝐴𝑂𝐵是直角三角形， ∴ 𝐴𝐵=√𝐴𝑂2+𝐵𝑂2=5，
∴ 此菱形的周长为：5×4=20． 故选：𝐷． 8.
【答案】 C
【考点】 根的判别式 【解析】
由方程有实数根可知根的判别式𝑏2−4𝑎𝑐≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于𝑎一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 【解答】
𝑎−5≠0，解：由已知得：{
2
(−4)−4×(𝑎−5)×(−1)≥0，解得：𝑎≥1且𝑎≠5． 故选𝐶． 9.
【答案】 A
【考点】
一次函数与一元一次不等式 【解析】
将点𝐴(𝑚, 3)代入𝑦＝2𝑥得到𝐴的坐标，再根据图形得到不等式的解集． 【解答】
解：将点𝐴(𝑚, 3)代入𝑦=2𝑥得，2𝑚=3， 解得：𝑚=2，
∴ 点𝐴的坐标为(2, 3)，
∴ 由图可知，不等式2𝑥≥𝑎𝑥+4的解集为𝑥≥2． 故选𝐴. 10.
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3
3
3
【答案】 C
【考点】 动点问题 【解析】
小正方形运动过程中，𝑦与𝑥的函数关系为分段函数，即当0≤𝑥<完全重叠前，函数为为增函数；当完全重叠时，函数为平行于𝑥轴的线段；当不再完全重叠时，函数为为减函数．即按照自变量𝑥分为三段． 【解答】
依题意，阴影部分的面积函数关系式是分段函数， 面积由“增加→不变→减少”变化． 二、填空题：（本题共24分，每小题3分） 【答案】 𝑦=2𝑥 【考点】
正比例函数的性质 【解析】
根据正比例函数𝑦=𝑘𝑥的图象经过一，三象限，可得𝑘>0，写一个符合条件的数即可． 【解答】
解：∵ 正比例函数𝑦=𝑘𝑥的图象经过一，三象限， ∴ 𝑘>0，
取𝑘=2可得函数关系式𝑦=2𝑥． 故答案为：𝑦=2𝑥． 【答案】 甲
【考点】 折线统计图 方差
【解析】
根据方差的意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．观察图中的信息可知小华的方差较小，故甲的成绩更加稳定． 【解答】
由图表明乙这8次成绩偏离平均数大，即波动大，而甲这8次成绩，分布比较集中，各数据偏离平均小，方差小，
22则𝑆甲<𝑆乙，即两人的成绩更加稳定的是甲．
【答案】
𝑥1=0，𝑥2=2 【考点】
解一元二次方程-因式分解法 【解析】
因为𝑥2−2𝑥可提取公因式，故用因式分解法解较简便． 【解答】
解：因式分解得𝑥(𝑥−2)=0， 解得𝑥1=0，𝑥2=2． 故答案为：𝑥1=0，𝑥2=2. 【答案】
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6
【考点】
直角三角形斜边上的中线 三角形中位线定理
【解析】
首先根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得𝐴𝐵=2𝐶𝐷=12𝑐𝑚，再根据中位线的性质可得𝐸𝐹=2𝐴𝐵=6𝑐𝑚． 【解答】
解：∵ ∠𝐴𝐶𝐵=90∘，𝐷为𝐴𝐵中点， ∴ 𝐴𝐵=2𝐶𝐷， ∵ 𝐶𝐷=6𝑐𝑚， ∴ 𝐴𝐵=12𝑐𝑚，
∵ 𝐸，𝐹分别是𝐵𝐶，𝐶𝐴的中点， ∴ 𝐸𝐹=𝐴𝐵=6𝑐𝑚，
21
1
故答案为：6． 【答案】
𝑥2+52＝(𝑥+1)2 【考点】
勾股定理的应用 【解析】
首先设水池的深度为𝑥尺，则这根芦苇的长度为(𝑥+1)尺，根据勾股定理可得方程𝑥2+52＝(𝑥+1)2，再解即可． 【解答】
设水池的深度为𝑥尺，由题意得： 𝑥2+52＝(𝑥+1)2， 解得：𝑥＝12， 则𝑥+1＝13，
答：水深12尺，芦苇长13尺， 故答案为：𝑥2+52＝(𝑥+1)2． 【答案】 (5, 4) 【考点】 菱形的性质 坐标与图形性质
【解析】
利用菱形的性质以及勾股定理得出𝐷𝑂的长，进而求出𝐶点坐标． 【解答】
解：∵ 菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的顶点𝐴，𝐵的坐标分别为(−3, 0)，(2, 0)，点𝐷在𝑦轴上， ∴ 𝐴𝐵=5， ∴ 𝐷𝑂=4，
∴ 点𝐶的坐标是：(5, 4)． 故答案为：(5, 4)． 【答案】 3
【考点】
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翻折变换（折叠问题） 矩形的性质
【解析】
先依据△𝐴𝐵𝐹的面积为24，求出𝐵𝐹的长，再根据勾股定理求出𝐴𝐹，也就是𝐵𝐶的长，接下来，求得𝐶𝐹的长，设𝐸𝐶=𝑥，则𝐹𝐸=𝐷𝐸=8−𝑥，在△𝐸𝐹𝐶中，依据勾股定理列出关于𝑥的方程，从而可求得𝐸𝐶的长． 【解答】
解：∵ 𝐴𝐵=8，𝑆△𝐴𝐵𝐹=24 ∴ 𝐵𝐹=6．
∵ 在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐹中，𝐴𝐹=√𝐴𝐵2+𝐴𝐹2=10， ∴ 𝐴𝐷=𝐴𝐹=𝐵𝐶=10 ∴ 𝐶𝐹=10−6=4
设𝐸𝐶=𝑥，则𝐸𝐹=𝐷𝐸=8−𝑥．
在𝑅𝑡△𝐸𝐶𝐹中，𝐸𝐹2=𝐶𝐹2+𝐶𝐸2，即(8−𝑥)2=𝑥2+42，解得，𝑥=3． ∴ 𝐶𝐸=3． 故答案为：3． 【答案】
𝐶𝐷和𝐸𝐹是四边形𝐷𝐸𝐶𝐹对角线，而𝐶𝐷和𝐸𝐹互相垂直且平分（答案不唯一） 【考点】 菱形的判定
翻折变换（折叠问题）
【解析】
根据折叠的性质得到𝐶𝐷和𝐸𝐹互相垂直且平分，结合菱形的判定定理“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”证得结论． 【解答】
如图，连接𝐷𝐹、𝐷𝐸．
根据折叠的性质知，𝐶𝐷⊥𝐸𝐹，且𝑂𝐷＝𝑂𝐶，𝑂𝐸＝𝑂𝐹． 则四边形𝐷𝐸𝐶𝐹恰为菱形． 三、解方程：（本题共8分，每小题8分） 【答案】 解：（1）2𝑥2−3𝑥+1=0， (2𝑥−1)(𝑥−1)=0， 2𝑥−1=0，𝑥−1=0， 𝑥1=2，𝑥2=1；
（2）𝑥2−8𝑥+1=0， 𝑥2−8𝑥=−1，
𝑥2−8𝑥+16=−1+16， (𝑥−4)2=15，
𝑥−4=±√15，
𝑥1=4+√15，𝑥2=4−√15． 【考点】
解一元二次方程-因式分解法 解一元二次方程-配方法
【解析】
（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
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1
（2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】 解：（1）2𝑥2−3𝑥+1=0， (2𝑥−1)(𝑥−1)=0， 2𝑥−1=0，𝑥−1=0， 𝑥1=2，𝑥2=1；
（2）𝑥2−8𝑥+1=0， 𝑥2−8𝑥=−1，
𝑥2−8𝑥+16=−1+16， (𝑥−4)2=15，
𝑥−4=±√15，
𝑥1=4+√15，𝑥2=4−√15．
四、解答题：（本题共18分，21-22每小题4分，23-24每小题4分）
【答案】
这15人该月加工零件数的平均数为26件，中位数为24件，众数为24件．
（2）24件较为合理，24既是众数，也是中位数，且24小于人均零件加工数，是大多数人能达到的定额． 【考点】 众数 统计表 加权平均数 中位数
【解析】
（1）先根据加权平均数公式即可求得平均数，再将表中的数据按照从大到小的顺序排列，根据中位数和众数的概念求解即可；
（2）应根据（1）中求出的中位数和众数综合考虑． 【解答】 解：（1）平均数=
总加工零件数总人数1
=
54+45+30×2+24×6+21×3+12×2
15
=26（件），
将表中的数据按照从大到小的顺序排列，可得出第8名工人的加工零件数为24件，且零
件加工数为24的工人最多，
故中位数为：24件，众数为：24件．
答：这15人该月加工零件数的平均数为26件，中位数为24件，众数为24件．
（2）24件较为合理，24既是众数，也是中位数，且24小于人均零件加工数，是大多数人能达到的定额．
【答案】
解：设增长率为𝑥，根据题意2015年为2500(1+𝑥)万元，2016年为2500(1+𝑥)2万元． 则2500(1+𝑥)2=3025，
解得𝑥=0.1=10%，或𝑥=−2.1（不合题意舍去）． 所以该地区投入教育经费的年平均增长率为10%. 【考点】
一元二次方程的应用——增长率问题 【解析】
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一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2015年要投入教育经费是2500(1+𝑥)万元，在2015年的基础上再增长𝑥，就是2016年的教育经费数额，即可列出方程求解． 【解答】
解：设增长率为𝑥，根据题意2015年为2500(1+𝑥)万元，2016年为2500(1+𝑥)2万元． 则2500(1+𝑥)2=3025，
解得𝑥=0.1=10%，或𝑥=−2.1（不合题意舍去）． 所以该地区投入教育经费的年平均增长率为10%. 【答案】
证明：∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形， ∴ 𝐴𝐷 // 𝐵𝐶，且𝐴𝐷＝𝐵𝐶， ∴ 𝐴𝐹 // 𝐸𝐶， ∵ 𝐵𝐸＝𝐷𝐹， ∴ 𝐴𝐹＝𝐸𝐶，
∴ 四边形𝐴𝐸𝐶𝐹是平行四边形． ∵ 四边形𝐴𝐸𝐶𝐹是菱形， ∴ 𝐴𝐸＝𝐸𝐶， ∴ ∠1＝∠2，
∵ ∠3＝90∘−∠2，∠4＝90∘−∠1， ∴ ∠3＝∠4， ∴ 𝐴𝐸＝𝐵𝐸，
∴ 𝐵𝐸＝𝐴𝐸＝𝐶𝐸=2𝐵𝐶＝5．
1
【考点】 菱形的性质
平行四边形的性质与判定
【解析】
（1）首先由已知证明𝐴𝐹 // 𝐸𝐶，𝐵𝐸＝𝐷𝐹，推出四边形𝐴𝐸𝐶𝐹是平行四边形．（2）由已知先证明𝐴𝐸＝𝐵𝐸，即𝐵𝐸＝𝐴𝐸＝𝐶𝐸，从而求出𝐵𝐸的长． 【解答】
证明：∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形， ∴ 𝐴𝐷 // 𝐵𝐶，且𝐴𝐷＝𝐵𝐶， ∴ 𝐴𝐹 // 𝐸𝐶， ∵ 𝐵𝐸＝𝐷𝐹， ∴ 𝐴𝐹＝𝐸𝐶，
∴ 四边形𝐴𝐸𝐶𝐹是平行四边形． ∵ 四边形𝐴𝐸𝐶𝐹是菱形， ∴ 𝐴𝐸＝𝐸𝐶， ∴ ∠1＝∠2，
∵ ∠3＝90∘−∠2，∠4＝90∘−∠1， ∴ ∠3＝∠4， ∴ 𝐴𝐸＝𝐵𝐸，
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∴ 𝐵𝐸＝𝐴𝐸＝𝐶𝐸=𝐵𝐶＝5．
21
【答案】
解：(1)设直线𝐴𝐵的表达式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)， ∵ 直线𝐴𝐵过点𝐴(1, 0)、点𝐵(0, −2)， 𝑘+𝑏=0∴ {，
𝑏=−2𝑘=2解得{，
𝑏=−2
∴ 直线𝐴𝐵的表达式为𝑦=2𝑥−2． (2)设点𝐶的坐标为(𝑥, 𝑦)， ∵ 𝑆△𝐵𝑂𝐶=2， ∴ 2⋅2⋅𝑥=2， 解得𝑥=2，
∴ 𝑦=2×2−2=2， ∴ 点𝐶的坐标是(2, 2)． 【考点】
一次函数图象上点的坐标特点 待定系数法求一次函数解析式 三角形的面积
【解析】
(1)设直线𝐴𝐵的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，将点𝐴(1, 0)、点𝐵(0, −2)分别代入解析式即可组成方程组，从而得到𝐴𝐵的解析式；
(2)设点𝐶的坐标为(𝑥, 𝑦)，根据三角形面积公式以及𝑆△𝐵𝑂𝐶=2求出𝐶的横坐标，再代入直线即可求出𝑦的值，从而得到其坐标．
【解答】
解：(1)设直线𝐴𝐵的表达式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)， ∵ 直线𝐴𝐵过点𝐴(1, 0)、点𝐵(0, −2)， 𝑘+𝑏=0∴ {，
𝑏=−2𝑘=2解得{，
𝑏=−2
∴ 直线𝐴𝐵的表达式为𝑦=2𝑥−2． (2)设点𝐶的坐标为(𝑥, 𝑦)， ∵ 𝑆△𝐵𝑂𝐶=2， ∴ 2⋅2⋅𝑥=2， 解得𝑥=2，
∴ 𝑦=2×2−2=2，
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11
∴ 点𝐶的坐标是(2, 2)．
五、解答题：（本大题共20分，25-26题每题6分，27题8分） 【答案】
（1）如图1，延长𝐸𝐵交𝐷𝐺于点𝐻，
∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷与四边形𝐴𝐸𝐹𝐺是正方形，
∴ 𝐴𝐷=𝐴𝐵，∠𝐷𝐴𝐺=∠𝐵𝐴𝐸=90∘，𝐴𝐺=𝐴𝐸 𝐴𝐷=𝐴𝐵
在△𝐴𝐷𝐺与△𝐴𝐵𝐸中，{∠𝐷𝐴𝐺=∠𝐵𝐴𝐸，
𝐴𝐺=𝐴𝐸∴ △𝐴𝐷𝐺≅△𝐴𝐵𝐸(𝑆𝐴𝑆)， ∴ ∠𝐴𝐺𝐷=∠𝐴𝐸𝐵，
∵ △𝐴𝐷𝐺中∠𝐴𝐺𝐷+∠𝐴𝐷𝐺=90∘， ∴ ∠𝐴𝐸𝐵+∠𝐴𝐷𝐺=90∘，
∵ △𝐷𝐸𝐻中，∠𝐴𝐸𝐵+∠𝐴𝐷𝐺+∠𝐷𝐻𝐸=180∘， ∴ ∠𝐷𝐻𝐸=90∘， ∴ 𝐷𝐺⊥𝐵𝐸；
（2）如图2，过点𝐴作𝐴𝑀⊥𝐷𝐺交𝐷𝐺于点𝑀，
∠𝐴𝑀𝐷=∠𝐴𝑀𝐺=90∘，
∵ 𝐵𝐷是正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角， ∴ ∠𝑀𝐷𝐴=45∘ 在𝑅𝑡△𝐴𝑀𝐷中，
∵ ∠𝑀𝐷𝐴=45∘，𝐴𝐷=2， ∴ 𝐴𝑀=𝐷𝑀=√2， 在𝑅𝑡△𝐴𝑀𝐺中，
∵ 𝐴𝑀2+𝐺𝑀2=𝐴𝐺2
∴ 𝐺𝑀=√7，
∵ 𝐷𝐺=𝐷𝑀+𝐺𝑀=√2+√7，
∴ 𝑆△𝐴𝐷𝐺=2𝐷𝐺⋅𝐴𝑀=2(√2+√7)√2=1+2√14．
【考点】 四边形综合题 【解析】
（1）利用正方形得到条件，判断出△𝐴𝐷𝐺≅△𝐴𝐵𝐸，根据全等三角形的性质即可得到
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1
1
1
结论；
（2）利用正方形的性质在𝑅𝑡△𝐴𝑀𝐷中，∠𝑀𝐷𝐴=45∘，𝐴𝐷=2从而得出𝐴𝑀=𝐷𝑀=√2，在𝑅𝑡△𝐴𝑀𝐺中，𝐴𝑀2+𝐺𝑀2=𝐴𝐺2从而得出𝐺𝑀=√7即可． 【解答】
（1）如图1，延长𝐸𝐵交𝐷𝐺于点𝐻，
∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷与四边形𝐴𝐸𝐹𝐺是正方形，
∴ 𝐴𝐷=𝐴𝐵，∠𝐷𝐴𝐺=∠𝐵𝐴𝐸=90∘，𝐴𝐺=𝐴𝐸 𝐴𝐷=𝐴𝐵
在△𝐴𝐷𝐺与△𝐴𝐵𝐸中，{∠𝐷𝐴𝐺=∠𝐵𝐴𝐸，
𝐴𝐺=𝐴𝐸∴ △𝐴𝐷𝐺≅△𝐴𝐵𝐸(𝑆𝐴𝑆)， ∴ ∠𝐴𝐺𝐷=∠𝐴𝐸𝐵，
∵ △𝐴𝐷𝐺中∠𝐴𝐺𝐷+∠𝐴𝐷𝐺=90∘， ∴ ∠𝐴𝐸𝐵+∠𝐴𝐷𝐺=90∘，
∵ △𝐷𝐸𝐻中，∠𝐴𝐸𝐵+∠𝐴𝐷𝐺+∠𝐷𝐻𝐸=180∘， ∴ ∠𝐷𝐻𝐸=90∘， ∴ 𝐷𝐺⊥𝐵𝐸；
（2）如图2，过点𝐴作𝐴𝑀⊥𝐷𝐺交𝐷𝐺于点𝑀，
∠𝐴𝑀𝐷=∠𝐴𝑀𝐺=90∘，
∵ 𝐵𝐷是正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角， ∴ ∠𝑀𝐷𝐴=45∘
在𝑅𝑡△𝐴𝑀𝐷中，
∵ ∠𝑀𝐷𝐴=45∘，𝐴𝐷=2， ∴ 𝐴𝑀=𝐷𝑀=√2， 在𝑅𝑡△𝐴𝑀𝐺中，
∵ 𝐴𝑀2+𝐺𝑀2=𝐴𝐺2
∴ 𝐺𝑀=√7，
∵ 𝐷𝐺=𝐷𝑀+𝐺𝑀=√2+√7，
∴ 𝑆△𝐴𝐷𝐺=2𝐷𝐺⋅𝐴𝑀=2(√2+√7)√2=1+2√14． 【答案】
−11<𝑏<−5． 【考点】
试卷第17页，总22页
1
1
1
翻折变换（折叠问题） 根的判别式 根与系数的关系 一次函数的性质
【解析】
（1）根据一元二次方程的根的判别式判断即可；
（2）先根据一元二次方程的求根公式得出𝑥1，𝑥2，即可得出函数函数关系式； （3）画出新函数的图形和直线𝑦=2𝑎+𝑏，利用图形和直线与𝑦轴的交点坐标即可得出结论．
【解答】
（1）证明：∵ 𝑎𝑥2−2(𝑎−1)𝑥+𝑎−2=0(𝑎>0)是关于𝑥的一元二次方程， ∴ △=[−2(𝑎−1)]2−4𝑎(𝑎−2)=4>0，
∴ 方程𝑎𝑥2−2(𝑎−1)𝑥+𝑎−2=0(𝑎>0)有两个不相等的实数根． （2）解：由求根公式，得𝑥=∴ 𝑥=1或𝑥=1−𝑎． ∵ 𝑎>0，𝑥1>𝑥2， ∴ 𝑥1=1，𝑥2=1−𝑎，
∴ 𝑦=𝑎𝑥2⋅𝑥1=𝑎×(1−𝑎)−1=𝑎−3． 即函数的表达式𝑦=𝑎−3(𝑎>0)，
（3）解：如图，直线𝐵𝐷刚好和折线𝐶𝐵𝐴只有一个公共点，再向下平移，就和这些𝐶𝐵𝐴有两个公共点，
继续向下平移到直线𝐶𝐸的位置和直线𝐶𝐵𝐴刚好有1个公共点，再向下平移和这些𝐶𝐵𝐴也只有一个公共点，
由（2）知，函数的表达式𝑦=𝑎−3(𝑎>0)， 当𝑎=2时，𝑦=2−3=−1， ∴ 𝐵(2, −1)，
由折叠得，𝐶(4, −3)，
当函数𝑦=2𝑎+𝑏的图象过点𝐵时， ∴ −1=2×2+𝑏， ∴ 𝑏=−5，
当函数𝑦=2𝑎+𝑏的图象过点𝐶时， ∴ −3=2×4+𝑏， ∴ 𝑏=−11，
∴ −11<𝑏<−5．
2
22
2(𝑎−1)±√△2𝑎
=
2(𝑎−1)±2
2𝑎
．
试卷第18页，总22页
【答案】 (1, 0),8
（2）如图1所示；当直线𝑀𝑁经过点𝐵时，直线𝑀𝑁交𝐷𝐴于点𝐸．
∵ 点𝐴的坐标为(1, 0)， ∴ 点𝐵的坐标为(1, 2)
设直线𝑀𝑁的解析式为𝑦=𝑥+𝑐， 将点𝐵的坐标代入得；1+𝑐=2． ∴ 𝑐=1．
∴ 直线𝑀𝑁的解析式为𝑦=𝑥+1．
将𝑦=0代入得：𝑥+1=0，解得𝑥=−1， ∴ 点𝐸的坐标为(−1, 0)．
∴ 𝐵𝐸=√𝐴𝐸2+𝐴𝐵2=√22+22=2√2． ∴ 𝑎=2√2
如图2所示，当直线𝑀𝑁经过点𝐶时，直线𝑀𝑁交𝑥轴于点𝐹．
∵ 点𝐷的坐标为(−3, 0)， ∴ 点𝐶的坐标为(−3, 2)．
设𝑀𝑁的解析式为𝑦=𝑥+𝑑，将(−3, 2)代入得：−3+𝑑=2，解得𝑑=5． ∴ 直线𝑀𝑁的解析式为𝑦=𝑥+5．
将𝑦=0代入得𝑥+5=0，解得𝑥=−5． ∴ 点𝐹的坐标为(−5, 0)．
试卷第19页，总22页
∴ 𝑏=4−(−5)=9．
（3）当0≤𝑡<3时，直线𝑀𝑁与矩形没有交点． ∴ 𝑠=0．
当3≤𝑡<5时，如图3所示；
𝑆=𝑆△𝐴𝐸𝐹=2𝐴𝐸⋅𝐴𝐹=2(𝑡−3)2=2𝑡2−3𝑡+2； 当5≤𝑡<7时，如图4所示：过点𝐵作𝐵𝐺 // 𝑀𝑁．
1
1
1
9
由（2）可知点𝐺的坐标为(−1, 0)． ∴ 𝐹𝐺=𝑡−5．
∴ 𝑆=𝑆𝐵𝐸𝐹𝐺+𝑆𝐴𝐵𝐺=2(𝑡−5)+2×2×2=2𝑡−8． 当7≤𝑡≤9时，如图5所示．
1
𝐹𝐷=𝑡−7，𝐶𝐹=2−𝐷𝐹=2−(𝑡−7)=9−𝑡． 𝑆=𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷−𝑆𝐶𝐸𝐹=8−2(9−𝑡)2=−2𝑡2+9𝑡−
12𝑡2
1
1
652
．
0(0≤𝑡<3)2𝑡−8(5≤𝑡<7)−3𝑡+2(3≤𝑡<5)
9
综上所述，𝑆与𝑡的函数关系式为𝑆=
−1𝑡2+9𝑡−65(7≤𝑡≤9){22
．
【考点】
一次函数的综合题 【解析】
（1）根据直线解析式求出点𝑁的坐标，然后根据函数图象可知直线平移3个单位后经过点𝐴，从而求的点𝐴的坐标，由点𝐹的横坐标可求得点𝐷的坐标，从而可求得𝐴𝐷的长，据此可求得𝐴𝐵𝐶𝐷的面积；
试卷第20页，总22页
（2）如图1所示；当直线𝑀𝑁经过点𝐵时，直线𝑀𝑁交𝐷𝐴于点𝐸，首先求得点𝐸的坐标，然后利用勾股定理可求得𝐵𝐸的长，从而得到𝑎的值；如图2所示，当直线𝑀𝑁经过点𝐶时，直线𝑀𝑁交𝑥轴于点𝐹，求得直线𝑀𝑁与𝑥轴交点𝐹的坐标从而可求得𝑏的值； （3）当0≤𝑡<3时，直线𝑀𝑁与矩形没有交点；当3≤𝑡<5时，如图3所示𝑆=△𝐸𝐹𝐴的面积；当5≤𝑡<7时，如图4所示：𝑆=𝑆𝐵𝐸𝐹𝐺+𝑆𝐴𝐵𝐺；当7≤𝑡≤9时，如图5所示．𝑆=𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷−𝑆𝐶𝐸𝐹．
【解答】 解：（1）令直线𝑦=𝑥−4的𝑦=0得：𝑥−4=0，解得：𝑥=4， ∴ 点𝑀的坐标为(4, 0)．
由函数图象可知：当𝑡=3时，直线𝑀𝑁经过点𝐴， ∴ 点𝐴的坐标为(1, 0)
沿𝑥轴的负方向平移3个单位后与矩形𝐴𝐵𝐶𝐷相交于点𝐴，
∵ 𝑦=𝑥−4沿𝑥轴的负方向平移3个单位后直线的解析式是：𝑦=𝑥+3−4=𝑥−1， ∴ 点𝐴的坐标为 (1, 0)；
由函数图象可知：当𝑡=7时，直线𝑀𝑁经过点𝐷， ∴ 点𝐷的坐标为(−3, 0)． ∴ 𝐴𝐷=4．
∴ 矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积=𝐴𝐵⋅𝐴𝐷=4×2=8．
（2）如图1所示；当直线𝑀𝑁经过点𝐵时，直线𝑀𝑁交𝐷𝐴于点𝐸．
∵ 点𝐴的坐标为(1, 0)， ∴ 点𝐵的坐标为(1, 2)
设直线𝑀𝑁的解析式为𝑦=𝑥+𝑐， 将点𝐵的坐标代入得；1+𝑐=2． ∴ 𝑐=1．
∴ 直线𝑀𝑁的解析式为𝑦=𝑥+1．
将𝑦=0代入得：𝑥+1=0，解得𝑥=−1， ∴ 点𝐸的坐标为(−1, 0)．
∴ 𝐵𝐸=√𝐴𝐸2+𝐴𝐵2=√22+22=2√2． ∴ 𝑎=2√2
如图2所示，当直线𝑀𝑁经过点𝐶时，直线𝑀𝑁交𝑥轴于点𝐹．
∵ 点𝐷的坐标为(−3, 0)，
试卷第21页，总22页
∴ 点𝐶的坐标为(−3, 2)．
设𝑀𝑁的解析式为𝑦=𝑥+𝑑，将(−3, 2)代入得：−3+𝑑=2，解得𝑑=5． ∴ 直线𝑀𝑁的解析式为𝑦=𝑥+5．
将𝑦=0代入得𝑥+5=0，解得𝑥=−5． ∴ 点𝐹的坐标为(−5, 0)． ∴ 𝑏=4−(−5)=9．
（3）当0≤𝑡<3时，直线𝑀𝑁与矩形没有交点． ∴ 𝑠=0．
当3≤𝑡<5时，如图3所示；
𝑆=𝑆△𝐴𝐸𝐹=2𝐴𝐸⋅𝐴𝐹=2(𝑡−3)2=2𝑡2−3𝑡+2； 当5≤𝑡<7时，如图4所示：过点𝐵作𝐵𝐺 // 𝑀𝑁．
1
1
1
9
由（2）可知点𝐺的坐标为(−1, 0)． ∴ 𝐹𝐺=𝑡−5．
∴ 𝑆=𝑆𝐵𝐸𝐹𝐺+𝑆𝐴𝐵𝐺=2(𝑡−5)+2×2×2=2𝑡−8． 当7≤𝑡≤9时，如图5所示．
1
𝐹𝐷=𝑡−7，𝐶𝐹=2−𝐷𝐹=2−(𝑡−7)=9−𝑡． 𝑆=𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷−𝑆𝐶𝐸𝐹=8−2(9−𝑡)2=−2𝑡2+9𝑡−
12𝑡2
1
1
652
．
0(0≤𝑡<3)−3𝑡+2(3≤𝑡<5)
9
综上所述，𝑆与𝑡的函数关系式为𝑆=
．
2𝑡−8(5≤𝑡<7)
−1𝑡2+9𝑡−65(7≤𝑡≤9){22
试卷第22页，总22页
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