盐水稀释

在甲、乙两个大桶内各装有100升的盐水（两桶均为装满），其浓度均为5g/L，

先用一根细管将净水以2 l/ min 速度输入甲桶，搅拌均匀，同时又将混合液仍以2 l/min速度输入乙桶（两桶容积足够大，在稀释过程中不会溢出），然后再用细管以1 l/min速度从乙桶将混合输出，问时刻t乙桶内盐水的浓度是多少

二、问题的求解

设y1(t),y2(t)分别表示t时刻甲、乙两桶内盐的数量。

先分析甲桶：任取一段时间t,tt，则该时段甲桶内盐的改变量为

y1(t)•2t 100 y1(tt)y1(t)0.2t 两边同除以t，并令t0，得初值问题

1dy1y1(t) dt （） 50y1(0)500 这就是甲桶中盐含量的数学模型。 对（）式分离变量并积分，可得

t50 y1(t)500e

它表示甲桶内盐的变化，显然甲桶中盐水在稀释。

现分析乙桶：同理在任意时间段t,tt内乙桶内盐的改变量为

y2(tt)y2(t)流入量－流出量y1(t)y2(t)•2t－•1t 100100(21)t两边同除以t，并令t0，得初值问题

11 dy2dt50y1(t)y2(t) （） y100t2(0)500这就是乙桶中盐含量的数学模型。

将y)500et1(t50代入（）并整理得

dy21yt2(t)10e50dt100yt 2(0)500求解此一阶线性微分方程，得

y1t2(t)100t125000500(150t)e50

所以任意时刻，乙桶内盐水的浓度为

y2(t)1t125000500(150t)e50100t(100t)2(g/L) 

（）