南京师范大学04-06年考研试卷(数分)

科目名称：数学分析

一、（每小题7分，共28分）计算或证明下列极限： 1．lim122n12nx2nn22222n(n1)；

2．limxex2xet22dt；

3．证明：若函数f(x)在[a,b]上严格增加，xn(a,b)(n1,2,)且limf(xn)f(a)，则limxna；

nn4．讨论二元函数f(x,y)累次极限.

xy22222xy(xy)在点(0,0)处的重极限与

二、（16分）设f(x)在(a,b)内连续，且满足：f(x)f(t)dt0

ax(x(a,b))，证明f(x)0.

三、（15分）设函数f(x)在[0,1]上单调减少，对任何正整数n，试证

明下列不等式f(x)dx011nnk1f()nkf(0)f(1)n，并说明该不

等式的几何意义.

四、（15分）设f(x)在[0,1]上可微，且f(0)0，若存在0M1，

使得f(x)Mf(x) (x[0,1])，证明：在[0,1]上f(x)0. 五、（16分）设an为数列，令

0fn(x)an线性x0或x12n1nx1

12n或12nx1n0x问：（1）fn(x)在[0,1]上是否处处收敛？

（2）为使f(an)在[0,1]上一致收敛，当且仅当an满足什

么条件？

（3）为使limfn(x)dxn01n10nlimfn(x)dx，当且仅当an满足

什么条件？

六、（15分）证明级数n1xn(1)xn22的和函数在(,)上的连续性.

七、（15分）设u(x)是由方程uf(x,y),g(x,y,z)0,h(x,z)0所

确定，且

hz0,gy0．试求

dudx．

八、（15分）设[a]表示a的最大整数部分，计算

2 [yx]dxdy．

2xy3九、（15分）设二元函数f(x,y)为[a,b][c,)上的连续非负函数，

I(x)cf(x,y)dy在[a,b]上连续，证明I(x)在[a,b]上一致收

敛．

南京师范大学2005年硕士研究生招生入学初试试卷 数学分析

一、判断正确与否，说明理由。（5分*3=15分） 1、un收敛，vn1,(n)，则unvn收敛。 2、若af(x)dx收敛，af(x)dx收敛，则limf(x)0。

x3、在f(x)在[a,b]上具有界值性（即f(x)可取得f(a)和f(b)之间的一切实数）的单调函数必一致连续。

二、计算下列各题：（7分*7=49分）

1x1、limxsinsin3xx210031x2x0 2、lim(2n)!cosnan!n\\(a2x3x0) 3、limx02x3x22 4、(1x)dx 5、求f(x,y)xy233xy在（0，0）处的重极限和累次极限。

6、忘了 7、lnxy22arctanyx，求y和y。

三、（10分）f(x)在[a,)单调递减，f(x)>0，证明相同。

四、（15分）已知fn(x)xennxkaf(x)dx和af(x)cos2xdx敛散性

，当k为何值时，函数列{fn(x)}在[0,)上（1）收敛，

（2）一致收敛，（3）积分与极限可交换，即lim五、（15分）考察cos收敛性。

六、（15分）（忘了）

(2n1)x2n(n1)x2n(n1)n0fn(x)dx0limfn(x)dx。

nsin在（1）[l,l]和（2）(,)上的一致

七、（16分）交换积分顺序,先对x再对y,最后对z积分:J11dx1x21x2dy1xy22f(x,y,z)dz.

八、（15分）证明sinxyy0dy在[a,）上一致收敛，而在(0,)上不一致收敛。

2006年硕士研究生招生入学初试试卷

南京师范大学 数学分析

一、判断下列命题是否正确，给出理由：（5分*2=10分） 1．若f(x)在区间I上有原函数且单调，则f(x)在I上连续。 2．若非正常积分af(x)dx收敛，则xlimf(x)2必存在。

2二、（15分）求极限：(1) (3)

(x,y)(0,0)lim(x02cosxcos2x)x2(n!) (2) limnn

lim(xy)ln(xy)

2三、（15分）设函数f(x)在[0,1]上连续且大于零，证

1x明:F(x)x22f(t)dt01f(t)dt在(0, 2)内有且只有一根.

22四、（15分）计算(x2Lyz)dx(yxz)dy(zxy)dz, L+为A(1,0,0)到

B(1,0,2)的任意一条曲线.

五、（15分）若f(x)在[a,b]上无界,证明:x0(a,b),对x0的任何邻域,

使f(x)都无界.

六、（15分）用可积条件证明函数

11x[x],x0f(x)在[0,1]上可积.

0,x0七、（15分）f(x)是偶函数,二阶导数在x=0的某邻域(,)(>0)

)1)绝对收敛. 内连续,且f(0)1,f(0)2,证明:(f(1n八、（15分）(1)证明 (2) 证明(1)x(1x)x222n2n在[-1,1]上一致收敛. 在[-1,1]上不一致收敛.

(1x)n九、（15分）若f(x)在[0,1]上连续,证明:limx01xf(t)tx20dt22f(0).